四川省樂山市2025屆第三次調(diào)查研究考試數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．已知在復(fù)平面內(nèi)，，復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，則（

）A．5 B． C．2 D．3．已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，則下列不是數(shù)列的項(xiàng)的是（

）A．2 B．13 C．39 D．494．已知，，則的值為（

）A． B． C． D．5．與雙曲線有公共焦點(diǎn)，且離心率為的橢圓方程為（

）A． B． C． D．6．已知等腰三角形中，，，，，，那么（

）A． B． C． D．7．在平面直角坐標(biāo)系中，角與角均以為始邊，它們的終邊關(guān)于軸對(duì)稱.若，則的值為（

）A． B． C． D．8．已知函數(shù)，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．有一組樣本數(shù)據(jù)按從小到大排列為，，，是不為0的常數(shù)，則（

）A．的極差等于的極差B．的第50百分位數(shù)等于的第50百分位數(shù)C．的平均數(shù)等于的平均數(shù)D．的方差等于的方差10．拋物線有如下光學(xué)性質(zhì)：由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對(duì)稱軸的方向射出.已知拋物線的焦點(diǎn)為，一束平行于軸的光線從點(diǎn)射入，經(jīng)過拋物線上的點(diǎn)反射后，再經(jīng)拋物線上另一點(diǎn)反射后，沿直線射出，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．若直線傾斜角為，則C． D．與之間的距離為311．已知函數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)成立，則下列說法正確的是（

）A． B．C． D．三、填空題12．曲線與在點(diǎn)處的切線方程為.13．如圖，在矩形中，，，分別為邊，的中點(diǎn)，在以，，，，，為起點(diǎn)和終點(diǎn)的所有有向線段表示的向量中，相反的向量共有對(duì).

14．三棱錐中，，，，，，向量與向量的夾角為，則三棱錐外接球的表面積為.四、解答題15．已知數(shù)列是等差數(shù)列，前項(xiàng)和為，前三項(xiàng)分別是，，，且.（1）求和的值；（2）若（為常數(shù)），使得，，成等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和的最小值，及其取最小值時(shí)的值.16．在中，角的對(duì)邊分別為，，，已知.（1）求；（2）若，，的角平分線交于，求.17．如圖，直五棱柱中，四邊形為正方形，，二面角的平面角為，為中點(diǎn).（1）當(dāng)時(shí)，證明：平面；（2）當(dāng)直線與平面所成的角為時(shí)，求的值.18．電影《哪吒2》上映以來引起了全社會(huì)甚至全世界的關(guān)注，全球票房突破百億.“跟著吒兒去旅游”成為熱門出游方式，某景點(diǎn)宣傳投入金額（單位：萬元）與游客滿意度評(píng)分（滿分：100分）之間可能存在一定的關(guān)系，以下是隨機(jī)抽取的6個(gè)不同線上宣傳投入金額和游客滿意度評(píng)分的數(shù)據(jù)：線上宣傳投入金額（萬元）203040506070游客滿意度評(píng)分（分）606570788085（1）根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)，用相關(guān)系數(shù)加以判斷，是否可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系？若可以，求出關(guān)于之間的線性回歸方程；若不可以，請(qǐng)說明理由（精確到小數(shù)點(diǎn)后兩位）；（2）《哪吒2》中更是蘊(yùn)含著豐富的中國(guó)傳統(tǒng)文化，某校舉辦中國(guó)傳統(tǒng)文化比賽，甲、乙兩人進(jìn)入決賽，決賽采用“五局三勝制”，已知在每局比賽中，甲獲勝的概率為，.①若甲以獲勝的概率為，求的最大值；②在①中，若，以作為的值，設(shè)甲、乙比賽的局?jǐn)?shù)為，求的分布列和期望.參考公式：相關(guān)系數(shù)，，參考數(shù)據(jù)：.19．已知?jiǎng)狱c(diǎn)與兩個(gè)定點(diǎn)，的距離的比為.（1）求動(dòng)點(diǎn)的軌跡的方程；（2）過上的動(dòng)點(diǎn)作的切線交軸于點(diǎn)，以為圓心，為半徑的圓與軸交于，.已知，，連接，交于點(diǎn).①求動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程；②過點(diǎn)的直線與點(diǎn)的軌跡交于，兩點(diǎn)，過作軸的垂線，記與直線0的交點(diǎn)為，若，證明：直線過定點(diǎn).

參考答案1．【答案】A【詳解】因?yàn)?，所以，則，故選A.2．【答案】B【詳解】法一：因?yàn)椋?，所以，，所以，則，即.法二：如圖，在坐標(biāo)系內(nèi)做出復(fù)數(shù)，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為，，由勾股定理易得.故選B.3．【答案】C【詳解】對(duì)于A，令，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，當(dāng)為偶數(shù)，令，解得：，當(dāng)為奇數(shù)，令，解得：，故39不是數(shù)列的項(xiàng)，故C正確；對(duì)于D，令，，故D錯(cuò)誤.故選C.4．【答案】B【詳解】由可得，又因?yàn)椋?，故選B.5．【答案】C【詳解】設(shè)橢圓的方程為：，雙曲線的焦點(diǎn)為，所以，又因?yàn)殡x心率為，所以，所以，又因?yàn)?，所以圓的方程為.故選C.6．【答案】B【詳解】解法一：由余弦定理可知：，所以，；解法二：由余弦定理可知，因?yàn)椋瑒t，所以，即，故選B.7．【答案】D【詳解】解法一：由題意可得：，，從而；解法二：由得，平方可得，所以，又，，從而.故選D.8．【答案】C【詳解】由函數(shù)，可得其定義域?yàn)?，且，?dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，當(dāng)時(shí)，，且，所以的大致圖象，如圖所示.由，可知與的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選C.9．【答案】AD【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A，極差為一組數(shù)據(jù)中最大值與最小值的差，原來的極差是的極差為的極差等于的極差，A選項(xiàng)正確；對(duì)于選項(xiàng)B，記樣本數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，則數(shù)據(jù)的第50百分位數(shù)為，是不為0的常數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；故B選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，不妨設(shè)的平均數(shù)為，是不為0的常數(shù)，則的平均數(shù)為，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)D，由方差的定義可知與的離散程度相同，兩組數(shù)據(jù)方差相等，故選項(xiàng)D正確.故選AD10．【答案】AC【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，由軸，，得，直線斜率，直線方程為，由，得，對(duì)于A，，，A正確；對(duì)于B，，由，，得，B正確；對(duì)于C，，C正確；對(duì)于D，與之間的距離為，D錯(cuò)誤.故選AC11．【答案】ABD【詳解】由得，，則的定義域?yàn)?，又?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)成立，則的解集為，即的解集為，則，，，則，故A正確；，令，則，則得；得，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，則，故B正確；C錯(cuò)誤；因，則，則，記，則，兩式相加得，則，記，故D正確.故選ABD12．【答案】【詳解】由，可得，可得所以曲線在點(diǎn)處的切線方程.13．【答案】39【詳解】當(dāng)取兩個(gè)點(diǎn)時(shí)，比如與，這樣的相反向量有對(duì)；當(dāng)不是上述情況時(shí)：①斜著時(shí)，有4對(duì)；②豎著時(shí)，有對(duì)；③橫著時(shí)，短橫有對(duì)；長(zhǎng)橫有對(duì)；相反的向量共有對(duì).14．【答案】【詳解】過作，過作，交于，因?yàn)橄蛄颗c向量的夾角為，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，且，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，所以平面平面，且平面平面，過作于，且平面，所以平面，在直角中，因?yàn)?，所以，，在直角中，因?yàn)?，，可得，所以，取中點(diǎn)，則為直角的外心，且，在中，由余弦定理可得，則三棱錐外接球的球心在過且垂直于平面的直線上，由于平面，平面，故，如圖所示，過作交于，則四邊形為矩形，所以，設(shè)，三棱錐外接球的半徑為，則，可得，即，解得，所以三棱錐外接球的表面積為.15．【答案】（1），（2）或，【詳解】（1）由題意知等差數(shù)列的前三項(xiàng)分別是，，，則，解得.當(dāng)時(shí)，，，故.又，即，則或（舍去），故.（2）由（1）可得，，，，，成等比數(shù)列，即即，解得.故，且為等差數(shù)列，時(shí)，，且，當(dāng)時(shí)，，故或時(shí)，有最小值.且.16．【答案】（1）（2）2【詳解】（1）由，得，所以，因?yàn)?，所以，所以，?（2）解法一：等面積法.因?yàn)椋?，由?）知，所以，，，因?yàn)?，即，所以解?解法二：在中，因?yàn)椋?，由?）知，由余弦定理，解得，由正弦定理可得，所以，即或（舍），所以.又，所以是等腰三角形，所以.17．【答案】（1）證明見解析；（2）.【詳解】（1）因?yàn)闉橹蔽謇庵?，所以平面，又平面，所以，，由，得，所?因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，在中，由勾股定理得.因?yàn)?，，，所以，故，又，，平面，所以平?（2）如圖，易知，，兩兩垂直，以為原點(diǎn)，，，為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)槠矫?，平面，所以，，所以為二面角的平面角，所以，則，，，，故，.設(shè)平面的法向量為，由得取，得，故.又，，即，化簡(jiǎn)可得.解得得（舍去）.18．【答案】（1）可以，（2）①；②分布列見解析，【詳解】（1）解：由已知得，，可得，，，所以，因?yàn)椋梢酝茢嗯c正兩個(gè)變量正線性相關(guān)，且相關(guān)程度很強(qiáng)，可用線性回歸模型擬合與的關(guān)系，則，所以，所以關(guān)于的線性回歸方程為：.（2）解：①若甲以獲勝，則前四局中甲、乙各勝兩局，且第五局甲獲勝，所以，所以，令，可得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，取得最大值，②由①知，，隨機(jī)變量，可得；；，所以隨機(jī)變量的分布列為345所以.19．【答案】（1）（2）①；②證明見解析【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)，由，即，化簡(jiǎn)得.（2）①解法一：設(shè)，則：，.：，.，，即...解法二：設(shè)，