2025年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數學試卷全國二卷注意事項:1.答題前,請務必將自己的姓名、準考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置。2.請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符。3.作答選擇題必須用2B鉛筆將答題卡上對應選項的方框涂滿、涂黑；如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案。作答非選擇題,必須用0.5毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效。4.考試結束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本大題共8小題,每小題5分,共計40分.每小題給出的四個選項中,只有一個選項是正確的.請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.2，8，14，16，20平均數為()A.8 B.9 C.12 D.182.，()A. B.i C. D.13.，，()A. B. C. D.4.的解集是()A. B. C. D.5.，，，，()A. B. C. D.6.拋物線焦點F，，過A作C準線的垂線，垂足為B.若，則()A.3 B.4 C.5 D.67.為等差前n項和，，，()A. B. C. D.8.，，()A. B. C. D.二、選擇題:本題共3小題,每小題6分,共18分。在每小題給出的選項中,有多項符合題目要求。全部選對的得6分,部分選對的得部分分,有選錯的得0分。9.為等比數列的前n項和，q為的公比，，，，則()A. B. C. D.10.是定義在R上的奇函數，時，，則()A. B.當時，C.當且僅當 D.是的極大值點11.雙曲線（，），左右焦點為，.左右頂點為，.以為直徑的圓與C的一條漸近線交于M，N，且，則()A.B.C.C離心率為D.當時，四邊形的面積為三、填空題:本大題共3小題,每小題5分,共計15分.12.，，，則__________.13.是的極值點，則__________.14.一個底面半徑為，高為的封閉圓柱形容器內有兩個半徑相等的鐵球，則鐵球半徑的最大值為__________.四、解答題:本題共5小題,共77分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。15.，.（1）求；（2），求值域和單調區(qū)間.16.橢圓的離心率為，長軸長為4.（1）求橢圓C的方程（2）過點的直線l與C交于A，B，O為坐標原點，若，求.17.如圖，四邊形中，，，F為中點，E在上，，，.將四邊形EFDA沿EF翻折至四邊形，使得面與面所成的二面角為.（1）證明：平面.（2）求面與面所成二面角的正弦值.18.，.（1）證明：在存在唯一極值點和唯一零點；（2）設，為在的極值點和零點，（i），證明：在單調遞減；（ii）比較與的大小，并證明.19.甲、乙乒乓球練習，每個球勝者得1分，負者得0分，設每個球甲勝概率為，乙勝概率為q，，且各球勝負獨立，對正整數，記為打完k個球后乙比甲至少多得2分的概率.（1）求，（用p表示）；（2）若，求p.（3）證明：對任意正整數m，.

參考答案1.C解析：.2.A解析：.3.D解析：，.4.C解析：且.5.A解析：由余弦定理，，故.6.C解析：與x軸交于F點，則，故；設與y軸交于N點，則；準線與x軸交于M點，由，，故，代入得，，.7.B解析：為等差數列的前n項和，故為等差數列，該等差數列的公差為.8.D解析：，，又，，則.9.AD解析：由已知條件，又，則，故，，，，，，綜上，AD正確.10.ABD解析：為R上的奇函數，故，A正確；時，，故，，B正確；時，，；時，單調遞減，時，單調遞增，故為極小值點，由為R上的奇函數，故為極大值點，D正確；，C錯.11.ACD解析：由對稱性不妨取斜率為正的漸近線，又，則易知，又，，則，如圖，，A選項正確；則在中，，B選項錯誤，，則，C選項正確；當時，，D選項正確.12.解析：，所以.13.解析：，若為的極值點，則，.14.解析：設鐵球半徑為r，兩鐵球位置如圖所示，豎直方向有，，即，水平方向有，，即，則化簡得：，解得：，（舍）故答案為：.15.（1）（2）的值域為；單調遞減區(qū)間為，，單調遞增區(qū)間為，解析：（1），由，故；（2），，，故的值域為，令，解得，即的單調遞減區(qū)間為，，同理可得的單調遞增區(qū)間為，.16.（1）（2）解析：（1），，，橢圓方程為：；（2）設，點，點，，聯立可得：，其判別式為，，（兩根同號），由，可得或，，解得，.17.（1）證明見解析（2）解析：（1）由，，可得平面平面，又由平面，故平面；（2）由且，可知即為二面角的平面角，為不妨設，在平面內，由點作EB垂線，垂足為O，可證底面，，如圖建系，，，設平面的法向量為則有，取，；，，設平面的法向量為，則有，取，則，即平面與平面成角，則有，故.18.（1）證明見解析（2）（i）證明見解析（ii），證明見解析解析：（1）證明：因為，，所以，當時，令，解得，所以當時，，單調遞增；當時，，單調遞減，所以是在上唯一的極值點，是極大值點.又因為，，所以，，即是在上唯一的零點；（2）（i）因為，所以，因為，所以，，所以，即在上單調遞減；（ii）由（i）得，在上單調遞減，所以，即，，因為是的零點，所以，所以，又因為，，且在上單調遞減，所以.19.（1），（2）（3）證明見解析解析：（1）3球后甲比乙至少多兩分，只能是甲3分乙0分，因此；4球后甲比乙至少多兩分，可能是甲4分乙0分，或者甲3分乙1分，因此.（2）根據對稱性，以及