福建省晉江市磁灶中學(xué)等校2023?2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，則（

）A． B． C． D．2．若，則（

）A． B． C．1 D．23．已知空間中不過同一點(diǎn)的三條直線m，n，l，則“m，n，l在同一平面”是“m，n，l兩兩相交”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件4．已知為銳角，，則（

）．A． B． C． D．5．已知，，，則的最小值為（

）A．4 B．6 C．8 D．106．有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種7．已知向量，，則向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．8．已知a，b，，且，，，則a，b，c的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．如圖所示，下列頻率分布直方圖顯示了三種不同的分布形態(tài).圖（1）形成對稱形態(tài)，圖（2）形成“右拖尾”形態(tài)，圖（3）形成“左拖尾”形態(tài)，根據(jù)所給圖作出以下判斷，正確的是（

）A．圖（1）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)B．圖（2）的平均數(shù)<眾數(shù)<中位數(shù)C．圖（2）的眾數(shù)中位數(shù)<平均數(shù)D．圖（3）的平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)10．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的部分圖象如圖所示，設(shè)函數(shù)，則（

）A．在區(qū)間上是減函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù)C．在時取極小值 D．在時取極小值11．甲、乙、丙、丁四名教師分配到，，三個學(xué)校支教，每人分配到一個學(xué)校且每個學(xué)校至少分配一人.設(shè)事件：“甲分配到學(xué)?！?；事件：“乙分配到學(xué)?！保瑒t（

）A．事件與互斥 B．C．事件與相互獨(dú)立 D．三、填空題（本大題共3小題）12．已知函數(shù)，則.13．的展開式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．14．已知定義在上的函數(shù)滿足，且為奇函數(shù)，，，則四、解答題（本大題共5小題）15．設(shè)函數(shù)，曲線y=f（x）在點(diǎn)（2，f（2））處的切線方程為7x-4y-12=0．（1）求y=f（x）的解析式；（2）證明：曲線y=f（x）上任一點(diǎn)處的切線與直線x=0和直線y=x所圍成的三角形面積為定值，并求此定值．16．已知的內(nèi)角A，，所對的邊分別為，，，的最大值為.(1)求角；(2)若點(diǎn)在上，滿足，且，，解這個三角形.17．從某企業(yè)生產(chǎn)的某種產(chǎn)品中抽取500件，測量這些產(chǎn)品的一項(xiàng)質(zhì)量指標(biāo)值，由測量結(jié)果得如下圖頻率分布直方圖：

（I）求這500件產(chǎn)品質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）；（II）由直方圖可以認(rèn)為，這種產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差.（i）利用該正態(tài)分布，求；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，記表示這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù).利用（i）的結(jié)果，求.附：若則，．18．已知函數(shù)．(1)當(dāng)時，討論函數(shù)在上的單調(diào)性；(2)當(dāng)時，求在內(nèi)的最大值；19．為考察藥物對預(yù)防疾病以及藥物對治療疾病的效果，科研團(tuán)隊(duì)進(jìn)行了大量動物對照試驗(yàn)．根據(jù)個簡單隨機(jī)樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計(jì)未服用服用合計(jì)(1)依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，分析藥物對預(yù)防疾病的有效性；(2)用頻率估計(jì)概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機(jī)抽樣的方法每次選取只，用藥物進(jìn)行治療．已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為．若共選取次，每次選取的結(jié)果是相互獨(dú)立的．記選取的只動物中被治愈的動物個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828

參考答案1．【答案】A【分析】先確定集合，再根據(jù)集合的交集運(yùn)算即可求解.【詳解】根據(jù)題意，可得，所以.故選A.2．【答案】D【分析】利用復(fù)數(shù)的除法可求，從而可求.【詳解】由題設(shè)有，故，故.故選D.3．【答案】B【分析】將兩個條件相互推導(dǎo)，根據(jù)能否推導(dǎo)的結(jié)果判斷充分必要條件.【詳解】依題意是空間不過同一點(diǎn)的三條直線，當(dāng)在同一平面時，可能，故不能得出兩兩相交.當(dāng)兩兩相交時，設(shè)，根據(jù)公理可知確定一個平面，而，根據(jù)公理可知，直線即，所以在同一平面.綜上所述，“在同一平面”是“兩兩相交”的必要不充分條件.故選B.4．【答案】D【分析】根據(jù)二倍角公式（或者半角公式）即可求出．【詳解】因?yàn)椋鵀殇J角，解得：．故選D．5．【答案】B【分析】由換底公式和基本不等式即可求解.【詳解】由知,結(jié)合，以及換底公式可知，，當(dāng)且僅當(dāng)，，即時等號成立，即時等號成立，故的最小值為，故選B.6．【答案】B【分析】利用捆綁法處理丙丁，用插空法安排甲，利用排列組合與計(jì)數(shù)原理即可得解【詳解】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個元素，連同乙，戊看成三個元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個元素的中間兩個位置任選一個位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選B.7．【答案】D【分析】由投影向量的公式計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)橄蛄浚韵蛄吭诜较蛏系耐队跋蛄繛?故選D.8．【答案】C【分析】根據(jù)三個等式特征，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)進(jìn)行求解判斷即可.【詳解】構(gòu)造函數(shù)，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，，，，因?yàn)?，所以，即，而a，b，，所以，故選C.9．【答案】ACD【詳解】圖（1）的分布直方圖是對稱的，所以平均數(shù)=中位數(shù)=眾數(shù)，故A正確；圖（2）眾數(shù)最小，右拖尾平均數(shù)大于中位數(shù)，故B錯誤，C正確；圖（3）左拖尾眾數(shù)最大，平均數(shù)小于中位數(shù)，故D正確.故選：ACD.10．【答案】BC【詳解】根據(jù)圖象得到的符號，即可得到的符號，進(jìn)而得到的單調(diào)性和極值.【分析】結(jié)合圖象可知，當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，，因，故當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，故在處取得極小值，在處取得極大值.故選BC.【思路導(dǎo)引】根據(jù)圖象得到不同取值范圍時的符號，對求導(dǎo)從而得到的單調(diào)性和極值，即可得出答案.11．【答案】BD【分析】利用互斥事件、相互獨(dú)立事件的定義判斷AC；利用古典概率計(jì)算判斷B；計(jì)算條件概率判斷D作答.【詳解】對于A，甲分配到學(xué)校的事件與乙分配到學(xué)校的事件可以同時發(fā)生，即事件與不互斥，A錯誤；對于B，甲分配到，，三個學(xué)校是等可能的，則，B正確；對于C，由選項(xiàng)B知，，，顯然，因此事件與相互不獨(dú)立，C錯誤；對于D，由選項(xiàng)BC知，，D正確.故選BD.12．【答案】-2【分析】利用復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則求導(dǎo)，求出函數(shù)，再求函數(shù)值作答.【詳解】由函數(shù)求導(dǎo)得：，當(dāng)時，，解得，因此，，所以.故答案為：-2.13．【答案】-28【分析】可化為，結(jié)合二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式求解.【詳解】因?yàn)?，所以的展開式中含的項(xiàng)為，的展開式中的系數(shù)為-28故答案為：-28.14．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性與周期性計(jì)算函數(shù)值.【詳解】因?yàn)椋?，所以的周期為，因?yàn)闉槠婧瘮?shù)，所以，所以，又因?yàn)?，所以，所以，所以函?shù)是偶函數(shù)，，，，所以，，所以，，故答案為：.15．【答案】(1)；(2)證明見解析.【詳解】(1)方程7x－4y－12＝0可化為y＝x－3，當(dāng)x＝2時，y＝．又f′(x)＝a＋，于是，解得故f(x)＝x－．(2)證明：設(shè)P(x0，y0)為曲線上任一點(diǎn)，由f′(x)＝1＋知，曲線在點(diǎn)P(x0，y0)處的切線方程為y－y0＝(1＋)·(x－x0)，即y－(x0－)＝(1＋)(x－x0)．令x＝0得，y＝－，從而得切線與直線x＝0，交點(diǎn)坐標(biāo)為(0，－)．令y＝x，得y＝x＝2x0，從而得切線與直線y＝x的交點(diǎn)坐標(biāo)為(2x0,2x0)．所以點(diǎn)P(x0，y0)處的切線與直線x＝0，y＝x所圍成的三角形面積為|－||2x0|＝6．曲線y＝f(x)上任一點(diǎn)處的切線與直線x＝0和直線y＝x所圍成的三角形面積為定值，此定值為6．16．【答案】(1)(2)【分析】（1）利用三角恒等變換先化簡函數(shù)式，再利用三角函數(shù)的性質(zhì)求A；（2）利用平面向量的基本定理及數(shù)量積計(jì)算可得AC，余弦定理可得BC，再由勾股定理逆定理可得B、C.【詳解】（1）由由題意及三角函數(shù)的性質(zhì)可知：，即，又，所以；（2）

如圖所示，易得，∴(負(fù)值舍去)，由余弦定理可得：，所以，顯然：，由勾股定理逆定理可得.綜上.17．【答案】（I）；（II）（i）；（ii）．【分析】（I）由頻率分布直方圖可估計(jì)樣本特征數(shù)眾數(shù)、中位數(shù)、均值、方差．若同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表，則眾數(shù)為最高矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)．中位數(shù)為面積等分為的點(diǎn)．均值為每個矩形中點(diǎn)橫坐標(biāo)與該矩形面積積的累加值．方差是矩形橫坐標(biāo)與均值差的平方的加權(quán)平均值．（II）（i）由已知得，，故；（ii）某用戶從該企業(yè)購買了100件這種產(chǎn)品，相當(dāng)于100次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，則這100件產(chǎn)品中質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的產(chǎn)品件數(shù)，故期望．【詳解】（I）抽取產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值的樣本平均值和樣本方差分別為，．（II）（i）由（I）知，服從正態(tài)分布，從而．（ii）由（i）可知，一件產(chǎn)品的質(zhì)量指標(biāo)值位于區(qū)間的概率為，依題意知，所以．【關(guān)鍵點(diǎn)撥】1、頻率分布直方圖；2、正態(tài)分布的原則；3、二項(xiàng)分布的期望．18．【答案】(1)函數(shù)在上單調(diào)遞增．(2)0【分析】（1）根據(jù)求導(dǎo)公式和運(yùn)算法則可得，由可得，，即可求解；（2）由題意可得，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的性質(zhì)可得，進(jìn)而，則在內(nèi)單調(diào)遞增，即可求解.【詳解】（1）當(dāng)時，，，且．當(dāng)時，，，則，即，故函數(shù)在上單調(diào)遞增．（2），令，則，由且，可得，，則，在內(nèi)單調(diào)遞增，所以，又當(dāng)時，，所以，在內(nèi)單調(diào)遞增，故．19．【答案】(1)認(rèn)為藥物對預(yù)防疾病有效果(2)分布列見解析，期望為【分析】（1）提出零假設(shè)為藥物對預(yù)防疾病無效果，根據(jù)列聯(lián)表計(jì)算出的值，結(jié)合臨界值