§2.3函數(shù)的奇偶性課標要求1.了解函數(shù)奇偶性的概念和幾何意義.2.會依據函數(shù)的性質進行簡單的應用.函數(shù)的奇偶性奇偶性定義圖象特點偶函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做偶函數(shù)關于y軸對稱奇函數(shù)一般地,設函數(shù)f(x)的定義域為D,如果?x∈D,都有－x∈D,且f(－x)＝－f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做奇函數(shù)關于原點對稱1.判斷下列結論是否正確.(請在括號中打“√”或“×”)(1)若函數(shù)f(x)為奇函數(shù),則f(0)＝0.(×)(2)不存在既是奇函數(shù),又是偶函數(shù)的函數(shù).(×)(3)對于函數(shù)y＝f(x),若f(－2)＝－f(2),則函數(shù)y＝f(x)是奇函數(shù).(×)(4)若f(x)是奇函數(shù),g(x)是偶函數(shù),則f(x)·g(x)是奇函數(shù).(√)2.下列函數(shù)中是偶函數(shù)的是()A.y＝2x B.y＝cosxC.y＝lnx D.y＝sinx答案B解析對于A,y＝2x為定義域內的增函數(shù),故為非奇非偶函數(shù)；對于B,y＝cosx的定義域為全體實數(shù),且f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝f(x),故為偶函數(shù)；對于C,y＝lnx的定義域為(0,＋∞),不關于原點對稱,故為非奇非偶函數(shù)；對于D,y＝sinx的定義域為全體實數(shù),但是f(－x)＝sin(－x)＝－sinx＝－f(x),故為奇函數(shù).3.(多選)若函數(shù)f(x)是定義在R上的奇函數(shù),則下列結論正確的是()A.f(x)＋f(－x)＝0B.f(0)＝0C.f(x)·f(－x)≤0D.f(x答案ABC解析因為f(x)是定義在R上的奇函數(shù),所以f(x)＋f(－x)＝0,且f(0)＝0,A,B正確；因為f(－x)＝－f(x),所以f(x)·f(－x)＝－[f(x)]2≤0,當x＝0時,等號成立,C正確；當x＝0時,f(－x)＝0,此時f(x)f(-4.設f(x)是定義在R上的奇函數(shù),當x≥0時,f(x)＝2x＋b,則f(－1)＝.

答案－2解析f(x)是奇函數(shù),則f(0)＝b＝0,即當x≥0時,f(x)＝2x,所以f(1)＝2,從而f(－1)＝－f(1)＝－2.1.理解函數(shù)奇偶性的常用結論(1)①如果一個奇函數(shù)f(x)在原點處有定義,即f(0)有意義,那么一定有f(0)＝0.②如果函數(shù)f(x)是偶函數(shù),那么f(x)＝f(|x|).(2)奇函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相同的單調性；偶函數(shù)在兩個對稱的區(qū)間上具有相反的單調性.2.靈活應用奇函數(shù)的兩個特殊性質(1)若f(x)為奇函數(shù),則f(x)＋f(－x)＝0.特別地,若f(x)存在最值,則f(x)min＋f(x)max＝0.(2)若F(x)＝f(x)＋c,f(x)為奇函數(shù),則F(－x)＋F(x)＝2c.特別地,若F(x)存在最值,則F(x)min＋F(x)max＝2c.3.謹防兩個易誤點(1)求奇函數(shù)的解析式時,忽略x＝0會造成解析式缺失,特別地,奇函數(shù)要么在x＝0處沒有定義,要么在x＝0處的函數(shù)值為0,即f(0)＝0.(2)解函數(shù)的奇偶性與單調性相結合的題目時,不要忽視自變量的取值在定義域內這一隱含條件.題型一函數(shù)奇偶性的判斷命題點1常見函數(shù)奇偶性的判斷例1(多選)下列函數(shù)是奇函數(shù)的是()A.f(x)＝tanx B.f(x)＝x2＋xC.f(x)＝ex-e-x2 D.f(x答案AC解析對于A,函數(shù)的定義域為xx≠π2＋kπ,k∈Z,關于原點對稱,且f(－x)＝tan(－x)＝－tan對于B,函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱,且f(－x)＝x2－x≠±f(x),故函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不符合題意；對于C,函數(shù)的定義域為R,關于原點對稱,且f(－x)＝e-x-ex2＝－f(對于D,函數(shù)的定義域為{x|x≠－1},不關于原點對稱,故函數(shù)為非奇非偶函數(shù),不符合題意.命題點2抽象函數(shù)奇偶性的判斷例2(多選)已知f(x)是定義在R上的函數(shù),下列結論正確的有()A.若恒有f(x2)＝－f(－x2),則f(x)是奇函數(shù)B.若恒有2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y),且f(0)≠0,則y＝f(x)為奇函數(shù)C.若恒有f(x)＋f(y)＝f(x＋y),則f(x)為偶函數(shù)D.若恒有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y),則f(x)是奇函數(shù)答案AD解析對于A,若?t∈R,當t>0時,令t＝x2,因為f(x2)＝－f(－x2),所以f(t)＝－f(－t),即f(－t)＝－f(t)；當t＝0時,令t＝x2＝0,因為f(x2)＝－f(－x2),所以f(0)＝－f(－0),即f(0)＝0；當t<0時,令t＝－x2,因為f(x2)＝－f(－x2),所以f(－t)＝－f(t),綜上,?t∈R,f(－t)＝－f(t),所以f(x)是奇函數(shù),故A正確；對于B,在2f(x＋y)f(x－y)＝f(x)＋f(y)中,令x＝y(tǒng)＝0,得2[f(0)]2＝2f(0),因為f(0)≠0,所以f(0)＝1,顯然不符合f(－x)＝－f(x),故B錯誤；對于C,令x＝y(tǒng)＝0,則f(0)＋f(0)＝f(0),所以f(0)＝0,令y＝－x,則f(x)＋f(－x)＝f(0)＝0,所以f(－x)＝－f(x),即f(x)為奇函數(shù),故C錯誤；對于D,對任意x,y∈R,總有f(xy)＝y(tǒng)f(x)＋xf(y),令x＝y(tǒng)＝0得f(0)＝0；令x＝y(tǒng)＝1得f(1)＝f(1)＋f(1),所以f(1)＝0；令x＝y(tǒng)＝－1得f(1)＝－f(－1)－f(－1),所以f(－1)＝0；令y＝－1得f(－x)＝－f(x)＋xf(－1)＝－f(x),所以f(x)是奇函數(shù),故D正確.命題點3構造函數(shù)的奇偶性例3已知函數(shù)f(x)＝x＋ln(x2＋1－x)－5(x∈[－2026,2026])的最大值為M,最小值為m,則M＋m＝答案－10解析設g(x)＝f(x)＋5＝x＋ln(x2＋1－則g(x)的定義域為[－2026,2026],則g(x)＋g(－x)＝x＋ln(x2＋1－x)－x＋ln(x2＋1＋x)＝ln[(x2＋1－x)(x2＋∴g(－x)＝－g(x),即g(x)是奇函數(shù),因此g(x)min＋g(x)max＝0.又g(x)min＝f(x)min＋5＝m＋5,g(x)max＝f(x)max＋5＝M＋5,∴g(x)min＋g(x)max＝m＋5＋M＋5＝0,即M＋m＝－10.思維升華判斷函數(shù)的奇偶性,其中包括兩個必備條件(1)定義域關于原點對稱,否則即為非奇非偶函數(shù).(2)判斷f(x)與f(－x)是否具有等量關系,在判斷奇偶性的運算中,可以轉化為判斷奇偶性的等價等量關系式(f(x)＋f(－x)＝0(奇函數(shù))或f(x)－f(－x)＝0(偶函數(shù)))是否成立.跟蹤訓練1(1)(多選)(2025·鄭州模擬)已知函數(shù)f(x)滿足f(1)＝1,f(x＋y)＝f(x)＋A.f(0)＝0B.f(－x)＝－f(x)C.f(x)的定義域為RD.f(x＋2)＝－1答案ABD解析令x＝1,y＝0,則f(1)＝f即1＝1＋f(0)1-f(0),∴f(令x＝y(tǒng)＝1,則f(2)＝f(1)＋即f(x)的定義域不為R,C錯誤；由f(x＋y)＝f(x)＋f(y)1-f(x令y＝－x,則f(0)＝f(x)即f(x)＋f(－x)＝0,故f(－x)＝－f(x),B正確；f(x＋1)＝f(x)＋11-f(x),f((2)已知函數(shù)f(x)對任意x,y∈R,都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2,則函數(shù)f(x)＋2為函數(shù).(填“奇”“偶”或“非奇非偶”)

答案奇解析由題意得函數(shù)f(x)的定義域為R,定義域關于原點對稱,令x＝y(tǒng)＝0,則f(0)＝f(0)＋f(0)＋2,故f(0)＝－2.令y＝－x,則f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2,故f(x)＋2＝－f(－x)－2＝－[f(－x)＋2].故f(x)＋2為奇函數(shù).題型二函數(shù)的奇偶性的應用命題點1利用奇偶性求值(解析式)例4(1)已知f(x)是定義在R上的偶函數(shù),且當x∈(－∞,0]時,f(x)＝x2－ex＋1,則當x∈(0,＋∞)時,f(x)等于()A.x2－ex＋1 B.x2－e－x＋1C.x2＋e－x＋1 D.－x2＋e－x－1答案B解析當x∈(0,＋∞)時,－x∈(－∞,0),則f(－x)＝(－x)2－e－x＋1＝x2－e－x＋1,又f(x)為偶函數(shù),故f(－x)＝f(x),故f(x)＝x2－e－x＋1.(2)若函數(shù)y＝(2x－m·2－x)x5是R上的偶函數(shù),則實數(shù)m＝.

答案1解析設f(x)＝(2x－m·2－x)x5,則該函數(shù)為R上的偶函數(shù),則對任意的x∈R,f(－x)＝f(x),即(2－x－m·2x)·(－x)5＝(2x－m·2－x)·x5,整理可得2－x＋2x－m(2x＋2－x)＝(1－m)(2x＋2－x)＝0,所以1－m＝0,解得m＝1.命題點2利用奇偶性解不等式例5設函數(shù)f(x)＝ln(x2＋1)－1x,則滿足f(x)>f(2x＋1)的x的取值范圍為答案-1,-12解析f(x)＝ln(x2＋1)－1則f(x)的定義域為{x|x≠0},又f(x)＝f(－x),故f(x)為偶函數(shù),當x>0時,f(x)＝ln(x2＋1)－1又y1＝ln(x2＋1),y2＝－1x在(0,＋∞)上都單調遞增,故f(x)在(0,＋∞)上單調遞增,在(－∞,0)上單調遞減因為f(x)>f(2x＋1),所以x故x的取值范圍為-1,-12∪思維升華(1)利用函數(shù)的奇偶性可求函數(shù)值或求參數(shù)的取值,求解的關鍵在于借助奇偶性轉化為求已知區(qū)間上的函數(shù)或得到參數(shù)的恒等式,利用方程思想求參數(shù)的值.(2)利用函數(shù)的奇偶性可畫出函數(shù)在其對稱區(qū)間上的圖象,結合幾何直觀求解相關問題.跟蹤訓練2(1)(2023·新高考全國Ⅱ)若f(x)＝(x＋a)ln2x-12x＋1為偶函數(shù)A.－1 B.0 C.12 D.答案B解析方法一因為f(x)為偶函數(shù),則f(1)＝f(－1),即(1＋a)ln13＝(－1＋a)ln3,解得a＝當a＝0時,f(x)＝xln2由(2x－1)(2x＋1)>0,解得x>12或x<－則其定義域為xx>f(－x)＝(－x)ln2(-x)-12(-x)＋1＝(－x)ln2x＋12x-1＝(此時f(x)為偶函數(shù),符合題意.故a＝0.方法二設g(x)＝ln易知g(x)的定義域為-∞,-且g(－x)＝ln-2x-1-2x＋1＝ln2x＋12x-1＝－ln若f(x)＝(x＋a)ln2x則y＝x＋a也應為奇函數(shù),所以a＝0.(2)已知函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)＝2x－18,則f(x)<0的解集為(A.(－3,0)∪(0,3)B.(－3,3)C.(－∞,－3)∪(0,3)D.(－∞,－3)∪(3,＋∞)答案C解析函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當x<0時,f(x)＝2x－1則當x>0時,－x<0,有f(x)＝－f(－x)＝－2-x-18＝18－2－x,不等式f(x)<0轉化為x<0,2解得x<－3或0<x<3,所以不等式f(x)<0的解集為(－∞,－3)∪(0,3).課時精練[分值：90分]一、單項選擇題(每小題5分,共30分)1.下列函數(shù)中,既是奇函數(shù),又在區(qū)間(0,＋∞)上單調遞減的是()A.y＝|x| B.y＝x3C.y＝x2 D.y＝－3x答案D解析對于A選項,函數(shù)y＝|x|為偶函數(shù),且當x>0時,y＝x,即函數(shù)y＝|x|在(0,＋∞)上單調遞增,A不滿足要求；對于B選項,函數(shù)y＝x3為奇函數(shù),且該函數(shù)在(0,＋∞)上單調遞增,B不滿足要求；對于C選項,函數(shù)y＝x2為偶函數(shù),且該函數(shù)在(0,＋∞)上單調遞增,C不滿足要求；對于D選項,函數(shù)y＝－3x為奇函數(shù),且該函數(shù)在(0,＋∞)上單調遞減,D滿足要求.2.若偶函數(shù)f(x)的定義域為R,當x∈[0,＋∞)時,f(x)單調遞增,則f(－7),f(π),f(－3)的大小關系是()A.f(π)>f(－3)>f(－7)B.f(π)>f(－7)>f(－3)C.f(π)<f(－3)<f(－7)D.f(π)<f(－7)<f(－3)答案A解析因為f(x)是偶函數(shù),故f(－7)＝f(7),f(－3)＝f(3),又因為當x∈[0,＋∞)時,f(x)單調遞增,由7<3<π可得f(π)>f(3)>f(7),即f(π)>f(－3)>f(－7).3.(2025·泰州模擬)已知函數(shù)f(x)＝eaxsinx1＋ex是定義在R上的奇函數(shù)A.－1 B.0 C.12 D.答案C解析∵f(x)為奇函數(shù),∴f(－x)＝－f(x),∴e-ax即e-ax即x－ax＝ax,解得a＝124.已知函數(shù)f(x)＝x＋asinx＋2,且f(m)＝5,則f(－m)等于()A.－5 B.－3 C.－1 D.3答案C解析令g(x)＝x＋asinx,則g(x)為奇函數(shù),故g(m)＋g(－m)＝0,又g(m)＝f(m)－2＝3,所以g(－m)＝f(－m)－2＝－3,所以f(－m)＝－1.5.(2025·安徽皖南八校模擬)已知函數(shù)f(x)的定義域為R,y＝f(x)＋ex是偶函數(shù),y＝f(x)－3ex是奇函數(shù),則f(ln3)的值為()A.73 B.3 C.103 D答案D解析因為函數(shù)y＝f(x)＋ex為偶函數(shù),則f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex,即f(x)－f(－x)＝e－x－ex,①又因為函數(shù)y＝f(x)－3ex為奇函數(shù),則f(－x)－3e－x＝－f(x)＋3ex,即f(x)＋f(－x)＝3ex＋3e－x,②聯(lián)立①②可得f(x)＝ex＋2e－x,所以f(ln3)＝eln3＋2e－ln3＝1136.(2024·阜陽模擬)若函數(shù)f(x)＝m(ex－e－x)＋nln(x＋x2＋1)＋1(m,n為常數(shù))在[1,3]上有最大值7,則函數(shù)f(x)在[－3,－1]上A.有最小值－5 B.有最大值5C.有最大值6 D.有最小值－7答案A解析設g(x)＝f(x)－1＝m(ex－e－x)＋nln(x＋x2＋因為x2＋1>x2＝所以x＋x2＋1>0恒成立,所以g(x)的定義域為R又g(－x)＝m(e－x－ex)＋nln(－x＋x2＝－m(ex－e－x)＋nln1＝－[m(ex－e－x)＋nln(x＋x2＋＝－g(x),所以g(x)是奇函數(shù),因為f(x)在[1,3]上有最大值7,所以g(x)在[1,3]上有最大值6,所以g(x)在[－3,－1]上有最小值－6,所以f(x)在[－3,－1]上有最小值－5.二、多項選擇題(每小題6分,共12分)7.(2025·六安模擬)下列函數(shù)中,既是偶函數(shù),又在區(qū)間(0,＋∞)上單調遞增的是()A.y＝ln|x| B.y＝|lnx|C.y＝x－2 D.y＝ex＋e－x答案AD解析A選項,設f(x)＝ln|x|,其定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),且f(－x)＝ln|－x|＝ln|x|＝f(x),故f(x)＝ln|x|為偶函數(shù),且當x∈(0,＋∞)時,y＝lnx單調遞增,故A正確；B選項,y＝|lnx|的定義域為(0,＋∞),定義域不關于原點對稱,不是偶函數(shù),故B錯誤；C選項,當x∈(0,＋∞)時,y＝x－2單調遞減,故C錯誤；D選項,設g(x)＝ex＋e－x,其定義域為R,且g(－x)＝e－x＋ex＝g(x),故g(x)＝ex＋e－x是偶函數(shù),且當x∈(0,＋∞)時,g'(x)＝ex－e－x>0,函數(shù)單調遞增,故D正確.8.定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),當x<0時,f(x)>0,則函數(shù)f(x)滿足()A.f(0)＝0B.y＝f(x)為偶函數(shù)C.f(x)在R上單調遞增D.f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1}答案AD解析由題意,定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(x＋y)＝f(x)＋f(y),對于A,令x＝y(tǒng)＝0,則f(0)＝f(0)＋f(0),即f(0)＝0,故A正確；對于B,令y＝－x,則f(0)＝f(x)＋f(－x)＝0,即f(－x)＝－f(x),所以y＝f(x)為奇函數(shù),故B錯誤；對于C,任取x1,x2∈R,且x1<x2,則f(x1)－f(x2)＝f(x1－x2＋x2)－f(x2)＝f(x1－x2)＋f(x2)－f(x2)＝f(x1－x2),因為x1<x2,所以x1－x2<0,所以f(x1－x2)>0,即f(x1)>f(x2),所以函數(shù)f(x)在R上單調遞減,故C錯誤；對于D,由f(x－1)＋f(x2－1)>0,可得f(x－1)>－f(x2－1)＝f(1－x2),又函數(shù)f(x)在R上單調遞減,所以x－1<1－x2,解得－2<x<1,所以f(x－1)＋f(x2－1)>0的解集為{x|－2<x<1},故D正確.三、填空題(每小題5分,共10分)9.已知函數(shù)f(x)＝x3＋3x,若f(a)＋f(a－6)＝0,則實數(shù)a＝答案3解析因為f(x)＝x3＋3x,定義域為所以f(－x)＝－x3－3x＝－f(x),即f(x)為奇函數(shù)因為f(x)＝x3＋3x在R上單調遞增若f(a)＋f(a－6)＝0,則f(a)＝－f(a－6)＝f(6－a),所以a＝6－a,即a＝3.10.已知下列五個函數(shù)y1＝x,y2＝1x,y3＝x2,y4＝lnx,y5＝ex,從中選出兩個函數(shù)分別記為f(x)和g(x),若F(x)＝f(x)＋g(x)的圖象如圖所示,則F(x)＝答案1x＋x解析由圖可知,F(x)的定義域為(－∞,0)∪(0,＋∞),可知F(x)一定包含y2＝1x這一函數(shù),且一定不包含y4＝lnx這一函數(shù)又函數(shù)F(x)不是奇函數(shù),所以F(x)＝1x＋x不成立,所以只有兩種可能：F(x)＝1x＋x2或F(x)＝1x＋若F(x)＝1x＋ex當x→－∞時,1x→0,ex→所以F(x)＝1x＋ex→0,與圖象不符故F(x)＝1x＋ex若F(x)＝1x＋x2當x∈(－∞,0)時,1x單調遞減,x2單調遞減,所以F(x)在(－∞,0當x∈(0,＋∞)時,F'(x)＝－1x2＋2x令F'(x)＝0,得x＝3令F'(x)>0,得x>3令F'(x)<0,得0<x<3所以F(x)＝1x＋x2在0,342上單調遞減,在3故F(x)＝1x＋x2四、解答題(共28分)11.(13分)已知f(x)為R上的奇函數(shù),當x>0時,f(x)＝x2－2x.(1)求f(x)的解析式；(6分)(2)求不等式xf(x)≥0的解集.(7分)解(1)因為函數(shù)f(x)為R上的奇函數(shù),當x<0時,－x>0,則f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－2(－x)]＝－x2－2x,又因為f(0)＝0滿足f(x)＝x2－2x,故f(x)＝-(2)當x≥0時,xf(x)＝x(x2－2x)≥0,可得x2－2x≥0,解得x≤0或x≥2,此時x＝0或x≥2；當x<0時,xf(x)＝x(－x2－2x)＝－x(x2＋2x)≥0,可得x2＋2x≥0,解得x≤－2或x≥0,此時x≤－2.綜上所述,原不等式的解集為(－∞,－2]∪{0}∪[2,＋∞).12.(15分)函數(shù)f(x)和g(x)具有如下性質：①定義域均為R；②f(x)為奇函數(shù),g(x)為偶函數(shù)；③f(x)＋g(x)＝ex(常數(shù)e是自然對數(shù)的底數(shù)).(1)求函數(shù)f(x)和g(x)的解析式；(6分)(2)對任意實數(shù)x,[g(x)]2－[f(x)]2是否為定值,若是,請求出該定值；若不是,請說明理由.(9分)解(1)由性質③f(x)＋g(x)＝ex,則f(－x)＋g(－x)＝e－x,由性質②知f(－x)＝－f(x),g(－x)＝g(x),故－f(x)＋g(x)＝e－x.則f解得f(x)＝ex-e-x2,(2)由(1)可得[g(x)]2－[f(x)]2＝e＝e2x＋故對任意實數(shù)x