金昌市金川高級(jí)中學(xué)2025屆第三次模擬考試數(shù)學(xué)（考試時(shí)間：120分鐘試卷滿分：150分）注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名、考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆在“考場(chǎng)號(hào)”和“座位號(hào)”欄相應(yīng)位置填涂自己的考場(chǎng)號(hào)和座位號(hào)。將條形碼粘貼在答題卡“條形碼粘貼處”。2．作答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目選項(xiàng)的答案信息點(diǎn)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，答案不能答在試卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。4．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若集合A={y|y=3x},B={x|x2-4x<5},則A∪B=().A.(1,+∞) B.(0,5) C.(-1,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)【答案】C【解析】由題意,得A={y|y=3x}={y|y>0},B={x|x2-4x<5}={x|-1<x<5},所以A∪B={x|x>-1}.故選C.2.已知a為非零實(shí)數(shù),復(fù)數(shù)z1=a+ia,z2=1-i,其中i為虛數(shù)單位,則()A.z1z2的虛部為a-1B.|z1|的最小值為2C.z1z2的實(shí)部為a+3D.當(dāng)a=-1時(shí),z1z2為純虛數(shù)【答案】B【解析】由題意,z1z2=(a+ia)(1-i)=a+1a+(1a-a)i,實(shí)部為a+1a,虛部為1a-a,故A,C錯(cuò)誤;|z1|=a2+(1a)

2≥2·a2·(1a)

2=2(當(dāng)且僅當(dāng)a2=1a2,即a=±1時(shí)取等號(hào)),3.某組樣本數(shù)據(jù)的頻率分布直方圖如圖所示,設(shè)該組樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)、平均數(shù)、第一四分位數(shù)分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關(guān)系是().(注:同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)A.x3<x1<x2 B.x2<x1<x3C.x1<x3<x2 D.x1<x2<x3【答案】A【解析】由頻率分布直方圖可知眾數(shù)為2+32=2.5,即x1=2.5,平均數(shù)x2=0.2×1.5+0.24×2.5+0.2×3.5+0.16×4.5+0.12×5.5+0.04×6.5+0.04×7.5=3.54,顯然第一四分位數(shù)位于[2,3)之間,則0.2+(x3-2)×0.24=0.25,解得x3≈2.208,所以x3<x1<x24.在(x-1x)6的展開(kāi)式中,x3的系數(shù)為()A.10 B.6 C.15 D.8【答案】C【解析】(x-1x)6展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為T(mén)k+1=C6kx6-k(-1x)k=(-1令6-3k2=3,則k=2,因此x3的系數(shù)為(-1)2C62=155.下列可以作為方程x3+y3=3xy的圖象的是().ABCD【答案】B【解析】根據(jù)題意,對(duì)于方程x3+y3=3xy,當(dāng)x<0,y<0時(shí),x3+y3<0,而此時(shí)3xy>0,所以方程不成立,因此該方程在第三象限不會(huì)有圖象,故選B.6.設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn),圓M:(x-1)2+(y-2)2=4與x軸相切于點(diǎn)A,直線x-3y+23=0交圓M于B,C兩點(diǎn),其中點(diǎn)B在第二象限,則OA·BC=().A.154 B.352 C.152【答案】B【解析】由題意,圓M的圓心坐標(biāo)為(1,2),半徑為2,因?yàn)閳AM與x軸相切于點(diǎn)A,所以A(1,0),圓M的圓心(1,2)到直線x-3y+23=0的距離d=|1-23+23|1+3=12,所以|BC|=222-(12)

2=15,而直線x-3y+23=0的傾斜角為30°,則OA·BC=|OA||BC|cos307.中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題:“今有俸糧三百零五石,令五等官(正一品、從一品、正二品、從二品、正三品)依品遞差十三石分之,問(wèn)各若干?”其大意為“現(xiàn)有俸糧305石,分給正一品、從一品、正二品、從二品、正三品這5位官員,依照品級(jí)遞減13石分這些俸糧,問(wèn)每個(gè)人各分得多少俸糧?”在這個(gè)問(wèn)題中,若從二品官員的俸糧為m石,正一品官員的俸糧為n石,且m,3a,n組成新的等差數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為().A.146 B.1452 C.452 D【答案】C【解析】由題意,正一品、從一品、正二品、從二品、正三品官員分得的俸糧分別為n,n-13,n-26,n-39,n-52,則n+n-13+n-26+n-39+n-52=305,解得n=87,則m=48.又m,3a,n組成新的等差數(shù)列,所以由等差中項(xiàng)的性質(zhì),得6a=n+m,解得a=452.故選C8.若關(guān)于x的不等式eln(ax)·ln(ax)≤2xe2x在(0,+∞)上恒成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍為().A.(0,e] B.(0,2e] C.(0,e] D.(0,e2]【答案】B【解析】由題意,eln(ax)ln(ax)≤2xe2x,x∈(0,+∞),則有a∈(0,+∞),構(gòu)造函數(shù)f(x)=xex,x∈R,因?yàn)閒'(x)=(x+1)ex,所以函數(shù)f(x)在(-∞,-1)上單調(diào)遞減,在(-1,+∞)上單調(diào)遞增,當(dāng)x=-1時(shí),函數(shù)f(x)=xex有極小值,又因?yàn)楫?dāng)x<0時(shí),f(x)<0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>0.由f(ln(ax))≤f(2x),x>0,得ln(ax)≤2x,則a≤e2xx對(duì)于任意x∈(0,+∞)恒成立.令g(x)=e2xx,x∈(0,+∞),則g'(x)=(2x-1)e2xx2,故當(dāng)x∈(0,12)時(shí),g'(x)<0,g(x)單調(diào)遞減,當(dāng)x∈(12,+∞)時(shí),g'(x)>0,g(x)單調(diào)遞增,因此g(x)的最小值為g(12)=2e,則a≤二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.如圖,在底面為正方形的四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,PA=1,直線PC與平面ABCD所成角的正切值為22,則下列說(shuō)法正確的是()A.異面直線PB與CD所成的角為45°B.AC=2C.直線DB與平面PAB所成的角為30°D.點(diǎn)D到平面PAC的距離為2【答案】ABD【解析】因?yàn)镻A⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,所以直線PC與平面ABCD所成的角為∠ACP,又PA=1,所以tan∠ACP=PAAC=1AC=22,可得AC=2,故選項(xiàng)因?yàn)锳B∥CD,所以異面直線PB與CD所成的角等于直線PB與AB所成的角,即∠PBA,又因?yàn)閠an∠PBA=PAAB=1,∠PBA為銳角,所以∠PBA=45°,故選項(xiàng)A正確因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA?平面PAB,所以平面PAB⊥平面ABCD,又平面PAB∩平面ABCD=AB,AD?平面ABCD,AD⊥AB,所以AD⊥平面PAB,所以∠ABD為直線BD與平面PAB所成的角,在正方形ABCD中,可得∠ABD=45°,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤;因?yàn)镻A⊥平面ABCD,PA?平面PAC,所以平面PAC⊥平面ABCD,又平面PAC∩平面ABCD=AC,在正方形ABCD中,BD⊥AC,BD?平面ABCD,所以BD⊥平面PAC,所以點(diǎn)D到平面PAC的距離為BD2=22,故選項(xiàng)D10.在△ABC中,AB=7,AC=1,M為BC的中點(diǎn),∠MAC=60°,則下列說(shuō)法正確的是().A.AM=32 B.BC=4C.cosB=1314 D.C【答案】AC【解析】在△ABM和△ACM中,設(shè)BM=CM=x,AM=y,則cos∠AMB=x2+y2-72xy,cos∠AMC=x2+y2-12xy所以化簡(jiǎn)為x2+y2=4,①在△ACM中,cos60°=12+y2-x2所以由①②可解得y=32,x=72,因此AM=32,BC=7,在△ABC中,cosB=7+7?12×7=1314,又cosC=1+7?72×1×7=714>011.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,點(diǎn)M,N在拋物線C上,則().A.若M,N,F三點(diǎn)共線,且|MF||NF|=34B.若M,N,F三點(diǎn)共線,且直線MN的傾斜角為45°,則△OMN的面積為22pC.若點(diǎn)A(4,4)在拋物線C上,且M,N異于點(diǎn)A,AM⊥AN,則點(diǎn)M,N到直線y=-4的距離之積為定值D.若點(diǎn)A(4,4)在拋物線C上,且M,N異于點(diǎn)A,AM⊥AN,則點(diǎn)M,N到直線y=-4的距離之積與點(diǎn)M,N的位置有關(guān)【答案】BC【解析】對(duì)于A選項(xiàng),不妨設(shè)直線MN的傾斜角為α(0<α<π2),則|MF|=p-|MF|cosα,可得|MF|=p1+cosα,同理可得|NF|=p1?cosα,則|MF||NF|=p1+cosαp對(duì)于B選項(xiàng),由拋物線的性質(zhì),得S△OMN=p22sinα=22p2,對(duì)于C,D選項(xiàng),此時(shí)拋物線的方程為y2=4x,設(shè)直線AM:x-4=t(y-4)(t≠0),M(x1,y1),N(x2,y2),由y2=4x,x-4=t(y-4),可得y2-4ty+16(t-1)=0,解得y=4或y=4t-4,則點(diǎn)M到直線y=-4的距離為|y1+4|=|4t|,同理可得,因?yàn)锳M⊥AN,所以點(diǎn)N到直線y=-4的距離為|4·1-t|=|4t|,故所求的距離之積為|4t|·第二部分（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。12.已知向量a,b,其中|a|=2,b為單位向量,且a·b=0,則cos<2a+b,3a-2b>=.

【答案】11【解析】cos<2a+b,3a-2b>=(2a+b)·(3a-2b13.已知tanα=-34,則tan(2025π+2α)=【答案】-24【解析】tan(2025π+2α)=tan(π+2α)=tan2α=2tanα1?tan214.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦點(diǎn)分別為F1,F2,P是橢圓C上的點(diǎn),且在第一象限,PA是∠F1PF2的平分線,過(guò)點(diǎn)F2作PA的垂線,垂足為B,若|PF2|=m,|OB|=3b-m,m∈R【答案】6【解析】如圖,延長(zhǎng)F2B交PF1于點(diǎn)E,可得|PF2|=|PE|=m,|EF1|=2a-2m,易知B為EF2的中點(diǎn),O為F1F2的中點(diǎn),所以|OB|=12|EF1|=a-m=3b-m,即a=3b,所以e=ca=1?b四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步棸。15．(13分)已知的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，.（1）若，求角A；（2）若的面積為，求c.答案：（1）（2）解析：（1）由及正弦定理得，故，由余弦定理得，又，所以.因?yàn)?，所?（2）因?yàn)榈拿娣e為，所以，又，所以，又，所以，得.16．(15分)已知函數(shù).（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）證明：.答案：（1）（2）證明見(jiàn)解析解析：（1）由已知得，，則，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）證明：要證明，即證明，即證明.法一：設(shè)，則，令，解得，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，，，，即得證.法二：令，則在上恒成立，在上單調(diào)遞增，即在上單調(diào)遞增.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.，即，，即得證.17．(15分)如圖，在四棱錐中，四邊形ABCD是平行四邊形，，，，.（1）證明：平面平面ABCD；（2）求平面ABE與平面CDE所成二面角的正弦值.答案：（1）證明見(jiàn)解析（2）解析：（1）證明：由題知，，，所以，.如圖，過(guò)點(diǎn)E作，垂足為O，連接AO，則，又，所以，所以.因?yàn)椋?，平面ABCD，所以平面ABCD，又平面EBD，所以平面平面ABCD.（2）由（1）知OD，OA，OE兩兩垂直，故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OD，OA，OE所在直線分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，所以，，.設(shè)平面ABE的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面CDE的法向量為，則，即，令，則.設(shè)平面ABE與平面CDE所成二面角的大小為，則，所以，故平面ABE與平面CDE所成二面角的正弦值為.18．(17分)近年來(lái)畢業(yè)旅行的熱度明顯上升.對(duì)于遠(yuǎn)程旅行，飛機(jī)和高鐵是兩種主要的出行方式.某平臺(tái)對(duì)2020～2024年畢業(yè)季畢業(yè)生購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的數(shù)量y（單位：萬(wàn)張）進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，得到如下相關(guān)數(shù)據(jù)：年份20202021202220232024年份代碼t12345y/萬(wàn)張3036516078（1）分析上述統(tǒng)計(jì)表可知y與t有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，求y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程.（2）通過(guò)調(diào)查發(fā)現(xiàn)女性比男性更愿意選擇坐高鐵出行.某平臺(tái)隨機(jī)抽查某天在該平臺(tái)（只出售飛機(jī)票和高鐵票）購(gòu)票的400名畢業(yè)生（每人只購(gòu)一張票）作為樣本，其中女性購(gòu)買(mǎi)高鐵票的有N名，購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的有90名，男性購(gòu)買(mǎi)高鐵票的有40名.（?。┊?dāng)時(shí)，將樣本中購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的男性人數(shù)與樣本中購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的總?cè)藬?shù)的比例作為概率，用樣本估計(jì)總體，結(jié)合（1）的結(jié)果估計(jì)2026年畢業(yè)季在該平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的畢業(yè)生中的男性人數(shù)（四舍五入保留整數(shù)）.（ⅱ）用樣本的頻率估計(jì)概率.設(shè)女性畢業(yè)生中購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的概率為p，從所有女性畢業(yè)生中隨機(jī)抽出5名，記恰好有3名女性購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的概率為，當(dāng)取得最大值時(shí)，求N的值.參考公式：回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為，.答案：（1）（2）（?。áⅲ┙馕觯海?）由題意得，，，，所以，，所以y關(guān)于t的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）（?。┯深}意知，400名畢業(yè)生中男性有（名），故樣本中購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的男性有（名），樣本中購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的畢業(yè)生中，男性所占比例為，所以估計(jì)一名購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的畢業(yè)生為男性的概率為.因?yàn)?026年對(duì)應(yīng)的年份代碼，所以，因此估計(jì)2026年畢業(yè)季在該平臺(tái)購(gòu)買(mǎi)飛機(jī)票的畢業(yè)生中男性的人數(shù)為.（ⅱ）由題意知，，，，則當(dāng)時(shí)，p取得最大值1，當(dāng)時(shí)，p取得最小值，且.設(shè)函數(shù)，，則.當(dāng)時(shí)，，單調(diào)