第33講包含與排除（容斥原理）

一、專題簡析：

集合是指具有某種屬性的事物的全體，它是數(shù)學(xué)中的最基本的概念之一。

如某班全體學(xué)生可以看作是一個(gè)集合，0、1、2、3、4、5、6、7、8、9便組成

一個(gè)數(shù)字集合。組成集合的每個(gè)事物稱為這個(gè)集合的元素。如某班全體學(xué)生組

成一個(gè)集合，每一個(gè)學(xué)生都是這個(gè)集合的元素，數(shù)字集合中有10個(gè)元素。

兩個(gè)集合中可以做加法運(yùn)算，把兩個(gè)集合A、B合并在一起，就組成了一個(gè)新的

集合C。計(jì)算集合C的元素的個(gè)數(shù)的思考方法主要是包含與排除：先把A、B的

一切元素都“包含”進(jìn)來加在一起，再“排除”A、B兩集合的公共元素的個(gè)數(shù),

減去加了兩次的元素，即：C=A+B-ABo

在解包含與排除問題時(shí)，要善于使用形象的圖示幫助理解題意，搞清數(shù)量關(guān)系

的邏輯關(guān)系。有些語言不易表達(dá)清楚的關(guān)系，用了適當(dāng)?shù)膱D形就顯得很直觀、

很清楚，因而容易進(jìn)行計(jì)算。

二、精講精練

例1五年級(jí)96名學(xué)生都訂了報(bào)紙，有64人訂了少年報(bào)，有48人訂了小學(xué)生

報(bào)。兩種報(bào)紙都訂的有多少人？

練習(xí)一

1、一個(gè)班的52人都在做語文和數(shù)學(xué)作業(yè)。有32人做完了語文作業(yè)，有35人

做完了數(shù)學(xué)作'也。語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都做完的有多少人？

2、五年級(jí)有122人參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課得優(yōu)。其中語文

得優(yōu)的有65人，數(shù)學(xué)得優(yōu)的有87人。語文、數(shù)學(xué)都得優(yōu)的有多少人？

例2：某校教師至少懂得英語和日語中的一種語言。已知有35人懂英語，34人

懂日語，兩種語言都懂的有21人。這個(gè)學(xué)校共有多少名教師？

練習(xí)二

1、某校的每個(gè)學(xué)生至少愛體育和文娛中的一種活動(dòng)。已知有900人愛好體育活

動(dòng)，有850人愛好文娛活動(dòng)，其中260人兩種活動(dòng)都愛好。這個(gè)學(xué)校共有學(xué)生

多少人？

2、某班在一次測驗(yàn)中有26人語義獲優(yōu)，有30人數(shù)學(xué)獲優(yōu)，其中語文、數(shù)學(xué)雙

優(yōu)的有12人，另外還有8人語文、數(shù)學(xué)均未獲優(yōu)。這個(gè)班共有多少人？

例3：學(xué)校開展課外活動(dòng)，共有250人參加。其中參加象棋組和乒乓球組的同學(xué)

不同時(shí)活動(dòng)，參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這兩個(gè)小組都

參加的有25人。問這250名同學(xué)中，象棋組、乒乓球組都不參加的有多少人？

練習(xí)三

1、五年級(jí)有250人，其中參加象棋組的有83人，參加乒乓球組的有86人，這

兩個(gè)小組都參加的有25人。兩個(gè)小組都不參加的有多少人？

2、五（1）班有50人，在一次測試中，語文90分以上的有30人，數(shù)學(xué)90分

以上的35人，語文和數(shù)學(xué)都在90分以上的有20人。兩科都在90分以下的有

多少人？

例4實(shí)驗(yàn)小學(xué)各年級(jí)都參加的一次書法比賽中，四年級(jí)與五年級(jí)共有20人獲

獎(jiǎng)，在獲獎(jiǎng)?wù)咧杏?6人不是四年級(jí)的，有12人不是五年級(jí)的。該校書法比賽

獲獎(jiǎng)的總?cè)藬?shù)是多少人？

練習(xí)四

1、五一小學(xué)舉行小學(xué)生田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，其中24名運(yùn)動(dòng)員不是六年級(jí)的，28名運(yùn)

動(dòng)員不是五年級(jí)的，已知五、六年級(jí)運(yùn)動(dòng)員共有32名，求五、六年級(jí)和中低年

級(jí)運(yùn)動(dòng)員各有多少名？

2、少年樂團(tuán)學(xué)牛中有170人不是五年級(jí)的，有135人不是六年級(jí)的，已知五、

六年級(jí)的共有205人，求少年樂團(tuán)中五、六年級(jí)以外的學(xué)生共有多少人？

例5在100個(gè)外語教師中，懂英語的有75人，懂日語的有45人，其中必然有

既懂英語又懂日語的老師。問：只懂英語的老師有多少人？

練習(xí)五

1、40人都在做加試的兩道題，并且至少做對(duì)了其中的一題。已知做對(duì)第一題的

有30人，做對(duì)第二題的有21人。只做對(duì)第一題的有多少人？

2、五年級(jí)122名同學(xué)參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門得優(yōu)。已知語文65

人得優(yōu)，數(shù)學(xué)78人得優(yōu)，求只有語文一門得優(yōu)的人數(shù)。

三、課后作業(yè)

1、某班有50名學(xué)生，在一次測驗(yàn)中有26人滿分，在第二次測驗(yàn)中有21人滿

分。加果兩次測驗(yàn)都沒得過滿分的學(xué)牛有17人，那么，兩次測驗(yàn)都得滿分的有

多少人？

2、第一小組的同學(xué)們都在做兩道數(shù)學(xué)思考題，做對(duì)第一題的有15人，做對(duì)第

二題的有10人，兩題都做對(duì)的有7人，兩題都做錯(cuò)的有2人。第一小組共有多

少人？

3、老師在統(tǒng)計(jì)考試成績，數(shù)學(xué)得90分以上的有25人，語文得90分以上的有

21人，兩科中至少有一科在90分以上的有38人。兩科都在90分以上的有多少

人？

4、六一兒童狼子野心同學(xué)們做小花，有24朵不是紅色的，有20朵不是黃色的,