§10.2二項(xiàng)式定理課標(biāo)要求能用多項(xiàng)式運(yùn)算法則和計(jì)數(shù)原理證明二項(xiàng)式定理，會(huì)用二項(xiàng)式定理解決與二項(xiàng)展開式有關(guān)的簡(jiǎn)單問題.1.二項(xiàng)式定理二項(xiàng)式定理(a＋b)n＝Cn0an＋Cn1an－1b1＋…＋Cnkan－kbk＋…＋Cnn二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝Cnkan－kbk，它表示展開式的第k＋二項(xiàng)式系數(shù)Cnk(k＝0，1，…，2.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等.(2)增減性與最大值：①當(dāng)k<n＋12時(shí)，Cnk隨k的增加而增大；由對(duì)稱性知，當(dāng)k>n＋1②當(dāng)n是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)Cnn2取得最大值；當(dāng)n是奇數(shù)時(shí)，中間的兩項(xiàng)Cn(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和：(a＋b)n的展開式的各二項(xiàng)式系數(shù)的和為Cn0＋Cn1＋C1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)Cnkan－kbk是(a＋b)n的展開式中的第k項(xiàng).(×(2)(a＋b)n的展開式中每一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)與a，b無關(guān).(√)(3)二項(xiàng)展開式中系數(shù)的最大項(xiàng)就是二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng).(×)(4)二項(xiàng)展開式項(xiàng)的系數(shù)是先增后減的.(×)2.2x-13A.112 B.56C.－56 D.－112答案A解析2x-13x8的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C8k(2x)8－k-13xk＝由8－4k3＝0，得k＝所以2x-13x8的展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)6×283.若x＋3x2n展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則A.9 B.10C.11 D.12答案D解析由x＋3x2n的展開式中只有第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，得展開式共有4.在二項(xiàng)式x2-2xn的展開式中二項(xiàng)式系數(shù)之和是答案－1解析因?yàn)槎?xiàng)式系數(shù)之和為2n＝32，所以n＝5.令x＝1，可得各項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2)5＝－1.1.二項(xiàng)式的通項(xiàng)易誤認(rèn)為是第k項(xiàng)，實(shí)質(zhì)上是第k＋1項(xiàng).2.牢記一個(gè)注意點(diǎn)：(a＋b)n與(b＋a)n雖然相同，但具體到它們展開式的某一項(xiàng)時(shí)是不相同的，所以公式中的第一個(gè)量a與第二個(gè)量b的位置不能顛倒.3.理清二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的區(qū)別.題型一通項(xiàng)公式的應(yīng)用命題點(diǎn)1形如(a＋b)n(n∈N*)的展開式的特定項(xiàng)例1(1)(多選)關(guān)于x2-2xA.展開式中含1x3項(xiàng)的系數(shù)為B.第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等C.展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)D.展開式中的有理項(xiàng)共三項(xiàng)答案AD解析二項(xiàng)式x2-2x9展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C9k(x2)9-k-2xk＝(－2)kC9kx18－3k，k∈N，k≤9.由18－3k＝－3，即k＝7，得T8展開式共10項(xiàng)，則第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，B正確；由18－3k＝0，即k＝6，得展開式中的常數(shù)項(xiàng)是第7項(xiàng)，C正確；由18－3k為整數(shù)，k∈N，k≤9可知有理項(xiàng)共有10項(xiàng)，D錯(cuò)誤.(2)已知二項(xiàng)式ax＋13x9(a>0)的展開式中x2項(xiàng)的系數(shù)為84A.1 B.1C.2 D.1答案A解析展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C9k(ax)9-k13xk＝C9ka9－kx9-k2·x-k3＝C9ka9－kx92-5k6(k＝0，1，2，…，9)，令9命題點(diǎn)2形如(a＋b)m(c＋d)n(m，n∈N*)的展開式問題例2(1)(2024·西安模擬)(2x3－2)1x-28的展開式的常數(shù)項(xiàng)為A.－288 B.－312C.480 D.736答案A解析因?yàn)?x-28的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C8k1x8-k(－2)k(0≤所以(2x3－2)1x-28的展開式的項(xiàng)為2x3C8k1x8-k(－2)k(0≤k≤8，k∈N)或－2C8k1x8-k(－當(dāng)k＝2時(shí)，2x3C8k1x8-＝2x3C82x－3(－2)2＝當(dāng)k＝8時(shí)，－2C8k1x8-k(－2)k＝－2C88所以(2x3－2)1x-28的展開式的常數(shù)項(xiàng)為－512＋(2)已知(ax－1)(2x＋1)6的展開式中x5的系數(shù)為48，則實(shí)數(shù)a等于()A.2 B.1C.－1 D.－2答案B解析二項(xiàng)式(2x＋1)6的展開式的通項(xiàng)Tk＋1＝C6k(2x)6－k·1k＝C6k·26－k·x(ax－1)(2x＋1)6＝ax(2x＋1)6－(2x＋1)6的展開式中，x5的系數(shù)為aC62·24－C61·25＝15×16a－6×32＝48思維升華(1)求二項(xiàng)展開式中的問題，一般是化簡(jiǎn)通項(xiàng)后，令字母的指數(shù)符合要求(求常數(shù)項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為零；求有理項(xiàng)時(shí)，指數(shù)為整數(shù)等)，解出項(xiàng)數(shù)k＋1，代回通項(xiàng)即可.(2)對(duì)于幾個(gè)多項(xiàng)式積的展開式中的問題，一般可以根據(jù)因式連乘的規(guī)律，結(jié)合組合思想求解，但要注意適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用分類方法，以免重復(fù)或遺漏.跟蹤訓(xùn)練1(1)(多選)已知x2-1xn的展開式中第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶A.n＝10B.展開式中的常數(shù)項(xiàng)為45C.含x5的項(xiàng)的系數(shù)為210D.展開式中的有理項(xiàng)有5項(xiàng)答案ABC解析二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cnkx2n－2k(－1)＝(－1)kCn由于第3項(xiàng)與第5項(xiàng)的系數(shù)之比為3∶14，則Cn故n(得n2－5n－50＝0，解得n＝10(負(fù)值舍去)，故A正確；則Tk＋1＝(－1)kC10令20－5k2＝0，解得k＝則展開式中的常數(shù)項(xiàng)為(－1)8C108＝45，故令20－5k2＝5，解得k＝則含x5的項(xiàng)的系數(shù)為(－1)6C106＝210，故令20－5k2∈Z，則此時(shí)k＝0，2，4，6，8，10，故有6項(xiàng)為有理項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.(2)若x＋mxx-1x5A.－2 B.－3C.2 D.3答案D解析x＋mxxx-1x5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C5kx5－k-1xk＝C令5－2k＝－1，解得k＝3，則xx-1x5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為－令5－2k＝1，解得k＝2，則mxx-1x5的展開式的常數(shù)項(xiàng)為因?yàn)閤＋mxx-1x5的展開式中常數(shù)項(xiàng)是20，所以10m題型二二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)的問題命題點(diǎn)1二項(xiàng)式系數(shù)和與系數(shù)和例3(1)(多選)已知(1－2x)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，展開式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，下列說法正確的是()A.n＝8B.a0＝1C.a3＝－160D.|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1答案BCD解析因?yàn)檎归_式中的所有項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為64，所以2n＝64，解得n＝6，故A錯(cuò)誤；已知(1－2x)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，令x＝0，可得a0＝1，故B正確；因?yàn)?1－2x)6展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6k(－2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a3x3＝C63×(－2x)3＝－160x3，所以a3＝－由展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C6k(－2x)k，k∈{0，1，2，3，4，5，6}，所以a1，a3，a5<0，a0，a2，a4，a6>0，所以|a0|＋|a1|＋|a2|＋…＋|a6|＝a0－a1＋a2－…＋a6，令x＝－1，可得a0－a1＋a2－…＋a6＝36，所以|a1|＋|a2|＋…＋|an|＝36－1，故D(2)(多選)已知(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024＋a2025x2025，則()A.展開式中二項(xiàng)式系數(shù)和為1B.展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為－1C.a12＋a22D.a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＋2025a2025＝－4050答案BCD解析二項(xiàng)展開式中的二項(xiàng)式系數(shù)和為22025，故A錯(cuò)誤；令x＝1，可得(1－2)2025＝a0＋a1＋a2＋…＋a2024＋a2025＝－1，即展開式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為－1，故B正確；令x＝0，可得a0＝1，令x＝12，可得1-2×122025＝a0＋a12＋a222＋…＋a2024將等式(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024＋a2025x2025兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得，2025×(－2)×(1－2x)2024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2024a2024x2023＋2025a2025x2024，再令x＝1，可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2024a2024＋2025a2025＝－4050，故D正確.命題點(diǎn)2系數(shù)與二項(xiàng)式系數(shù)的最值例4(多選)關(guān)于2x-1xA.二項(xiàng)式系數(shù)和為64B.所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2C.第三項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.系數(shù)的最大值為240答案AD解析由二項(xiàng)式系數(shù)和公式知2x-1x6的二項(xiàng)式系數(shù)和為26令x＝1，則2x-1x6的展開式所有項(xiàng)的系數(shù)之和為2易知2x-1x62x-1x6的展開式通項(xiàng)為Tk＋1＝C6k(2x)6－k·(-x-1)k＝26－kC6k·(－1)k·x6－2k，k＝0記f(k)＝26－kC6k·(－1)k，顯然k取偶數(shù)時(shí)各項(xiàng)系數(shù)為正數(shù)，f(0)＝26＝64，f(2)＝16×15＝240，f(4)＝4×15＝60，f(6)＝1，可知系數(shù)的最大值為240，故D思維升華(1)賦值法的應(yīng)用令g(x)＝(a＋bx)n，則(a＋bx)n的展開式中各項(xiàng)的系數(shù)和為g(1)，(a＋bx)n的展開式中奇數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)＋g(－1)]，(a＋bx)n的展開式中偶數(shù)項(xiàng)的系數(shù)和為12[g(1)－g(－1)(2)二項(xiàng)展開式系數(shù)最大項(xiàng)的求法設(shè)展開式各項(xiàng)系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，且第k項(xiàng)系數(shù)最大，應(yīng)用Ak≥A跟蹤訓(xùn)練2(1)(多選)(2025·臨沂模擬)在1x-2x4A.常數(shù)項(xiàng)是24B.所有項(xiàng)的系數(shù)的和為1C.第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.第4項(xiàng)的系數(shù)最大答案ABC解析依題意，1x-2x4＝1x4－8x常數(shù)項(xiàng)是24，A正確；當(dāng)x＝1時(shí)，所有項(xiàng)系數(shù)的和為(1－2×1)4＝1，B正確；1x-2x4的展開式共5項(xiàng)，所以第3項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)展開式第4項(xiàng)的系數(shù)為－32，最小，D錯(cuò)誤.(2)(多選)已知(2x－5)9＝a0＋a1(x－2)＋a2(x－2)2＋a3(x－2)3＋…＋a9(x－2)9，則下列結(jié)論成立的是()A.a0＋a1＋…＋a9＝1B.28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＝256C.a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝39D.a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18答案AD解析設(shè)x－2＝t，原式為(2t－1)9＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋…＋a9t9，令t＝1，a0＋a1＋…＋a9＝1，故A正確；令t＝12，則(1－1)9＝a0＋a12＋a222＋a323＋…＋a929，等式兩邊同乘28得0＝28a0＋27a1＋26a2＋25a3＋…＋a8＋a92，又a9＝29，所以28a0＋27a1＋26a2＋2令t＝－1，則(－3)9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，a0－a1＋a2－a3＋…－a9＝－39，故C錯(cuò)誤；兩邊同時(shí)求導(dǎo)得18(2t－1)8＝a1＋2a2t＋3a3t2＋…＋9a9t8，再令t＝1，a1＋2a2＋3a3＋…＋9a9＝18，故D正確.題型三二項(xiàng)式定理的綜合應(yīng)用例5(1)設(shè)a∈Z，且0≤a≤13，若512025＋a能被13整除，則a等于()A.0 B.1C.11 D.12答案B解析因?yàn)閍∈Z，且0≤a≤13，所以512025＋a＝(52－1)2025＋a＝C20250·522025－C20251·522024＋C20252·522023－…＋C2025因?yàn)?12025＋a能被13整除，所以－C20252025＋a＝－1＋a能被又0≤a≤13，所以a＝1.(2)用二項(xiàng)式定理估算1.0110＝.(精確到0.001)

答案1.105解析1.0110＝(1＋0.01)10＝1＋C101×0.01＋C102×0.012＋C103×0.013＋…≈1＋0.1＋0.004思維升華二項(xiàng)式定理應(yīng)用的題型及解法(1)在證明整除問題或求余數(shù)問題時(shí)要進(jìn)行合理的變形，使被除式(數(shù))展開后的每一項(xiàng)都含有除式(數(shù))的因式.(2)二項(xiàng)式定理的一個(gè)重要用途是做近似計(jì)算：當(dāng)n不是很大，|x|比較小時(shí)，(1＋x)n≈1＋nx.跟蹤訓(xùn)練3(多選)下列說法正確的是()A.若(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6，則|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝729B.若3n＋3n－1Cn1＋3n－2Cn2＋…＋Cnn＝218，則CC.0.988精確到0.01的近似值為0.85D.22024除以15的余數(shù)為3答案AC解析在(x－2)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a6x6中，令x＝－1，則|a0|＋|a1|＋…＋|a6|＝(－3)6＝729，故A正確；因?yàn)?n＋3n－1Cn1＋3n－2Cn2＋…＋Cnn＝(3＋1)n＝4n＝22n＝218，所以n＝9，所以Cn1＋Cn2＋…＋Cnn＝(1＋1)n－1＝0.988＝(1－0.02)8＝C80×(－0.02)0＋C81×(－0.02)1＋C82×(－0.02)2＋…＋C88×(－0.02)8，取展開式的前3項(xiàng)，則0.988精確到0.01的近似值為1－0.16＋0.01122024＝(24)506＝(15＋1)506＝C506015506＋C506115＝15(C506015505＋C506115504＋…＋C506505)＋1，其中C506015505＋C506所以15(C506015505＋C506115504＋…＋C所以22024除以15的余數(shù)為1，故D錯(cuò)誤.課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.二項(xiàng)式x-2x5的展開式中1A.－80 B.80C.－10 D.10答案A解析x-Tk＋1＝C5kx5－k-2xk＝(－2)k·C5k·x5－2k，k＝0，1，令5－2k＝－1，解得k＝3，可得T4＝(－2)3C53·x－1＝－80x－即1x的系數(shù)為－2.若實(shí)數(shù)a＝2－2，則a12－2C121a11＋22C122a10－…＋212A.－32 B.32C.－64 D.64答案D解析由題意可得a12－2C121a11＋22C122a10－…＋212＝(a－2)123.(x－2y)(2x－y)5的展開式中的x3y3的系數(shù)為()A.－200 B.－120C.120 D.200答案A解析(2x－y)5展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C5k(2x)5－k(－y)k＝25－kC5kx5－k(－當(dāng)k＝3時(shí)，T4＝25－3C53x5－3(－y)3＝－40x2y3，此時(shí)只需乘第一個(gè)因式(x－2y)中的x即可，得到－40x3y當(dāng)k＝2時(shí)，T3＝25－2C52x5－2(－y)2＝80x3y2，此時(shí)只需乘第一個(gè)因式(x－2y)中的－2y即可，得到－160x3y據(jù)此可得x3y3的系數(shù)為－40－160＝－200.4.(2024·南京模擬)(x2-x＋y)5的展開式中A.30 B.－30C.20 D.－20答案D解析從5個(gè)含有x2，－x，y的括號(hào)中，其中1個(gè)括號(hào)中取x2，1個(gè)括號(hào)中?。瓁，3個(gè)括號(hào)中取y，乘在一起構(gòu)成x3y3這一項(xiàng)，這一項(xiàng)為C51·x2·C41·(－x)·C33·y3＝－20x3y3，所以x5.已知(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8，則a1＋a2＋3a322A.215 B.216C.217 D.218答案D解析對(duì)(2x＋3)8＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6＋a7x7＋a8x8兩邊求導(dǎo)，得16(2x＋3)7＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4＋6a6x5＋7a7x6＋8a8x7.令x＝12，得a1＋a2＋3a322＋4a46.在x-1xn的展開式中含x3項(xiàng)的系數(shù)為15A.第4項(xiàng) B.第5項(xiàng)C.第6項(xiàng) D.第3項(xiàng)答案A解析由x-1xn當(dāng)0<x<1時(shí)，x<1x，則x其展開式的通項(xiàng)為Tr＋1＝Cnr1xn-r(－x)r＝令3r-n2＝3，(－1)r解得n＝6，r＝4；當(dāng)x≥1時(shí)，x≥1x，則x其展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cnkxn－k-1xk＝(－令n－3k2＝3，(－1)kCn解得n＝6，k＝2.綜上所述，n＝6，所以展開式共有7項(xiàng)，展開式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)是第4項(xiàng).二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知2x-1x2nA.n＝7B.展開式的各項(xiàng)系數(shù)之和是－1C.展開式中第4項(xiàng)和第5項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大D.展開式中無常數(shù)項(xiàng)答案ACD解析由題意可知2n＝128，則n＝7，故A正確；令x＝1，則2×1-112因?yàn)閚＝7，所以由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知中間兩項(xiàng)系數(shù)最大，即第4，5項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，分別為C73，C72x-1x27展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C7k·(2x)7－k·(-x-2)k＝C7k·27－k·(－1)k·x7－3k(k∈Z，08.已知f(x)＝(2x－m)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，若a0＋a12＋a222＋…＋A.m＝1B.a3＝160C.f(3)除以6所得余數(shù)為5D.a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14答案ACD解析令x＝32，得f

32＝(3－m)7＝a0＋a12＋a222＋…＋a令x－1＝t，所以(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，所以a3＝C7423＝280，所以由A知f(x)＝(2x－1)7＝a0＋a1(x－1)＋a2(x－1)2＋…＋a7(x－1)7，所以f(3)＝(6－1)7＝C70·67－C71·66＋C72·65－…＋C76·6－C77，所以f由(2t＋1)7＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a7t7，兩邊求導(dǎo)可得7(2t＋1)6·2＝a1＋2a2t＋…＋7a7t6，令t＝－1，得a1－2a2＋3a3－4a4＋5a5－6a6＋7a7＝14，所以D正確.三、填空題(每小題5分，共10分)9.(2025·榆林模擬)已知二項(xiàng)式x3＋1xn的展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，則正整數(shù)答案4(答案不唯一)解析二項(xiàng)式x3＋1xn的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝Cnk(x3)n-k1xk＝Cnkx3n－4k，要使展開式中存在常數(shù)項(xiàng)，只需3n－4k10.(x＋2)(1－2x)5的展開式中x3的系數(shù)為.(用數(shù)字作答)

答案－120解析(1－2x)5的展開式的通項(xiàng)為Tk＋1＝C5k·15－k(－2x)k，k＝0，1，2，3，4，當(dāng)k＝2時(shí)，T3＝40x2，當(dāng)k＝3時(shí)，T4＝C53·(－2x)3＝－80x(x＋2)(1－2x)5＝x(1－2x)5＋2(1－2x)5，故(x＋2)(1－2x)5的展開式中x3的系數(shù)為40－2×80＝－120.四、解答題(共28分)11.(13分)已知ax2＋1x(1)求n和a的值；(3分)(2)求展開式中x－4項(xiàng)的系數(shù)；(4分)(3)求2x-1x2a解(1)由已知條件可得2解得n(2)由(1)知ax∵(-2xTk＋1＝C＝C7k(－2)7－kx14－3k，k＝0，1，2，…，∴當(dāng)14－3k＝－4，即k＝6時(shí)，x－4項(xiàng)的系數(shù)為C76×(－2)(3)2＝(2x－x－2)(-2＝2x(-2x2＋x-1)∴①當(dāng)14－3k＝－1，即k＝5時(shí)，2x·C75(－2)2x－1＝②當(dāng)14－3k＝2，即k＝4時(shí)，－x－2·C74(－2)3x2∴所求的常數(shù)項(xiàng)為168＋280＝448