§5.2平面向量基本定理及坐標(biāo)表示課標(biāo)要求1.了解平面向量基本定理及其意義.2.掌握平面向量的正交分解及其坐標(biāo)表示.3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算.4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件.1.平面向量基本定理如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2.若e1，e2不共線，我們把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個(gè)基底.2.平面向量的正交分解把一個(gè)向量分解為兩個(gè)互相垂直的向量，叫做把向量作正交分解.3.平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算(1)向量加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算及向量的模設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝x1(2)向量坐標(biāo)的求法①若向量的起點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，則終點(diǎn)坐標(biāo)即為向量的坐標(biāo).②設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，則AB＝(x2－x1，y2－y1)，|AB|＝(4.平面向量共線的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b?x1y2－x2y1＝0.1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)平面內(nèi)的任何兩個(gè)向量都可以作為一個(gè)基底.(×)(2)設(shè){a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，若實(shí)數(shù)λ1，μ1，λ2，μ2滿足λ1a＋μ1b＝λ2a＋μ2b，則λ1＝λ2，μ1＝μ2.(√)(3)設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，當(dāng)且僅當(dāng)x2y2≠0時(shí)，a∥b與x1x2＝y(tǒng)1y(4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a＝b?x1＝x2且y1＝y(tǒng)2.(√)2.設(shè)平面向量a＝(－1，0)，b＝(0，2)，則2a－3b等于()A.(6，3) B.(－2，－6)C.(2，1) D.(7，2)答案B解析2a－3b＝2(－1，0)－3(0，2)＝(－2，－6).3.在正方形ABCD中，E為DC的中點(diǎn)，若AE＝λAB＋μAC(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(A.12 B.－12 C.1 D.答案A解析因?yàn)镋為DC的中點(diǎn)，所以AC＝AB＋AD＝12AB＋12AB＋AD＝14.已知平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)A(－1，－2)，B(3，－1)，C(5，6)，則頂點(diǎn)D的坐標(biāo)為.答案(1，5)解析設(shè)D(x，y)，則AB＝得(3－(－1)，－1－(－2))＝(4，1)＝(5－x，6－y)，即4＝5-x,1＝6-y,解得x＝1.熟記以下常用結(jié)論(1)如果對(duì)于一個(gè)基底{e1，e2}，有a＝λ1e1＋λ2e2＝μ1e1＋μ2e2，那么可以得到λ1＝μ1,λ2＝μ2,即基底給定，同一向量的分解形式唯一.特別地，若λ1e1＋λ2e(2)已知△ABC的重心為G，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，則G點(diǎn)坐標(biāo)為x12.謹(jǐn)防三個(gè)易誤點(diǎn)(1)基底{e1，e2}必須是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量.因?yàn)榱阆蛄科叫杏谌我庀蛄浚圆荒茏鳛榛字械南蛄?(2)a∥b的充要條件不能表示為x1x2＝y(tǒng)1y2(3)向量的坐標(biāo)與表示向量的有向線段的起點(diǎn)、終點(diǎn)的相對(duì)位置有關(guān)系.兩個(gè)相等的向量，無(wú)論起點(diǎn)在什么位置，它們的坐標(biāo)都是相同的.題型一平面向量基本定理的應(yīng)用例1(1)(2025·鹽城模擬)若{a，b}是平面內(nèi)的一個(gè)基底，則下列四組向量中能作為平面向量的基底的是()A.a－b，b－a B.2a＋b，a＋12C.2b－3a，6a－4b D.a＋b，a－b答案D解析A選項(xiàng)，b－a＝－(a－b)，所以a－b，b－a共線，不能作為基底.B選項(xiàng)，2a＋b＝2a＋12b，所以2a＋b，a＋C選項(xiàng)，6a－4b＝－2(2b－3a)，所以2b－3a，6a－4b共線，不能作為基底.D選項(xiàng)，易知a＋b，a－b不共線，可以作為基底.(2)如圖，在平行四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊AB，BC的中點(diǎn)，連接CE，DF，交于點(diǎn)G.若CG＝λCD＋μCB(λ，μ∈R)，則λμ答案1解析由題圖可設(shè)CG＝xCE(0<x<1)則CG＝x(CB＋BE)＝x2CD＋因?yàn)镃G＝λCD＋μCB，CD與CB所以λ＝x2，μ＝x，所以思維升華(1)應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算.(2)用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是：先選擇一個(gè)基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決.跟蹤訓(xùn)練1(1)(2022·新高考全國(guó)Ⅰ)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，BD＝2DA.記CA＝m，CD＝n，則CB等于(A.3m－2n B.－2m＋3nC.3m＋2n D.2m＋3n答案B解析因?yàn)锽D＝2DA，所以AB＝3AD，所以CB＝CA＋AB＝CA＋3AD＝CA＋3(CD－CA)＝－2(2)在△ABC中，點(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB＝2BD，CB＝mCA＋nCD，m，n∈R，則(A.m＝23，n＝12 B.mC.m＝23，n＝13 D.m＝－答案B解析因?yàn)辄c(diǎn)D在邊AB的延長(zhǎng)線上，AB＝2BD，所以AB＝2BD，即CB－CA＝2(CD－CB)，所以CB＝13CA＋23CD.題型二平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(1)在平行四邊形ABCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，則CO的坐標(biāo)為(A.-12C.-12答案C解析因?yàn)樵谄叫兴倪呅蜛BCD中，AD＝(3，7)，AB＝(－2，3)，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，所以(2)如圖，在7×5正方形網(wǎng)格中，向量a，b滿足a⊥b，則AB－AD＋BCA.2a＋32b B.－2a－3C.－3a＋12b D.3a－1答案C解析以圖中向量a，b的始點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，a所在直線為x軸，b所在直線為y軸建立平面直角坐標(biāo)系(圖略)，則a＝(1，0)，b＝(0，2)，C(2，5)，D(5，4).AB－AD＋BC＝DB＋令DC＝xa＋yb，得到(－3，1)＝x(1，0)＋y(0，2)＝(x，2y)，解得x＝－3，y＝所以AB－AD＋BC＝－3思維升華(1)利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算解題，主要是利用加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則，然后根據(jù)“兩個(gè)向量相等當(dāng)且僅當(dāng)它們的坐標(biāo)對(duì)應(yīng)相等”這一原則，化歸為方程(組)進(jìn)行求解.(2)向量的坐標(biāo)表示使向量運(yùn)算代數(shù)化，成為數(shù)與形結(jié)合的載體，可以使很多幾何問(wèn)題的解答轉(zhuǎn)化為我們熟知的數(shù)量運(yùn)算.跟蹤訓(xùn)練2(1)已知點(diǎn)A(0，1)，B(2，3)，向量BC＝(－3，1)，則向量AC等于(A.(1，－2) B.(－1，2)C.(1，－3) D.(－1，3)答案D解析因?yàn)锳(0，1)，B(2，3)，所以AB＝(2，2)所以AC＝AB＋BC＝(2，2)＋(－3，1)＝(－(2)(2025·成都模擬)在正方形ABCD中，M是BC的中點(diǎn).若AC＝λAM＋μBD(λ，μ∈R)，則λ＋μ的值為(A.43 B.53 C.答案B解析在正方形ABCD中，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB，AD所在直線分別為x，y軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，令A(yù)B＝2，則B(2，0)，C(2，2)，D(0，2)，M(2，1)，AC＝(2，2)，AM＝(2，1)，BD＝(－2，2)，λAM＋μBD＝(2λ－2μ，λ＋因?yàn)锳C＝λAM＋μBD，所以解得λ＝43，μ＝13，λ所以λ＋μ的值為53題型三向量共線的坐標(biāo)表示例3(1)(2024·臨沂模擬)已知向量a＝(3，m)，b＝-1，13，若a∥b，則mA.1 B.－1 C.9 D.－9答案B解析因?yàn)橄蛄縜＝(3，m)，b＝-1若a∥b，則3×13＝－m，即m(2)已知點(diǎn)A(4，0)，B(4，4)，C(2，6)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

答案(3，3)解析方法一OA＝(4，0)，OB＝(4，4)，OC＝(2，由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)OP＝λOB＝(4λ，4λ)，λ∈R，則AP＝OP－OA＝(4λ－4，4λ).又AC由AP與AC共線，得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝34，所以O(shè)P＝34OB所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3，3).方法二設(shè)點(diǎn)P(x，y)，則OP＝(x，y)，因?yàn)镺B＝(4，4)，且OP與OB共線，所以x4＝y(tǒng)4，即x＝y(tǒng).又AP＝(x－4，y)，AC＝(－2，6)，且AP與AC共線，所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3，所以點(diǎn)思維升華平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1.(2)在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R).跟蹤訓(xùn)練3(1)(2025·景德鎮(zhèn)模擬)已知向量a＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，c＝(2，cosα)，若(a＋b)∥c，則tanα的值為()A.2 B.－2 C.12 D.－答案A解析因?yàn)閍＝(2，3)，b＝(2，sinα－3)，所以a＋b＝(4，sinα)，又c＝(2，cosα)且(a＋b)∥c，所以4cosα＝2sinα，則tanα＝sin(2)已知向量a＝(1，4)，b＝(2，3)，若c∥(a－b)，且|c|＝1，則c的坐標(biāo)為.

答案-22解析因?yàn)閍＝(1，4)，b＝(2，3)，所以a－b＝(－1，1)，因?yàn)閏∥(a－b)，且|c|＝1，所以c＝±a-又|a－b|＝2，所以c＝a-b2定比分點(diǎn)坐標(biāo)公式定比分點(diǎn)是中點(diǎn)、三等分點(diǎn)的延伸拓展，在解決平面向量和解析幾何題目中都有應(yīng)用.如圖，線段P1P2的端點(diǎn)P1，P2的坐標(biāo)分別是(x1，y1)，(x2，y2)，點(diǎn)P是直線P1P2上異于P1，P2的點(diǎn)，當(dāng)P1P＝λPP2(λ≠0且λ≠－1)時(shí)，OP＝11＋λOP1＋λ1＋λOP2，點(diǎn)P的坐標(biāo)是x1＋λx21＋典例(1)若過(guò)兩點(diǎn)P1(－1，2)，P2(5，6)的直線與x軸相交于點(diǎn)P，則點(diǎn)P分有向線段P1P2所成的比λ的值為A.－13 B.－15 C.15答案A解析設(shè)P(x，0)，則λ＝0-26-0＝－1(2)已知M(－2，7)，N(10，－2)，點(diǎn)P是線段MN上的點(diǎn)，且PN＝－2PM，則P點(diǎn)的坐標(biāo)為()A.(－14，16) B.(22，－11)C.(6，1) D.(2，4)答案D解析由NP＝2PM，可知P分有向線段NM所成的比是λ＝2，設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，所以O(shè)P＝則P10-41＋2，-2＋14課時(shí)精練[分值：90分]一、單項(xiàng)選擇題(每小題5分，共30分)1.已知a＝(5，－2)，b＝(－4，－3)，若a－2b＋3c＝0，則c等于()A.133，C.133，答案D解析∵a－2b＋3c＝0，∴c＝－13(a－2b)∵a－2b＝(5，－2)－(－8，－6)＝(13，4)，∴c＝－13(a－2b)＝2.(2024·北京模擬)已知向量a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，若a與a＋b共線，則實(shí)數(shù)λ等于()A.－2 B.－1 C.1 D.2答案C解析∵a＝(λ＋1，3)，b＝(2，3)，∴a＋b＝(λ＋3，6)，又∵a與a＋b共線，∴(λ＋1)×6－(λ＋3)×3＝0，解得λ＝1.3.平面內(nèi)任一向量m都可以表示成λa＋μb(λ，μ∈R)的形式，下列關(guān)于向量a，b的說(shuō)法中正確的是()A.向量a，b的方向相同B.向量a，b中至少有一個(gè)是零向量C.向量a，b的方向相反D.當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＋μb＝0答案D解析因?yàn)槿我幌蛄縨＝λa＋μb(λ，μ∈R)，所以根據(jù)平面向量基本定理得，向量a，b不共線，故A，B，C不正確；因?yàn)閍，b不共線，所以當(dāng)且僅當(dāng)λ＝μ＝0時(shí)，λa＋μb＝0，故D正確.4.已知AB＝(1，－1)，C(0，1)，若CD＝2AB，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為(A.(－2，3) B.(2，－3)C.(－2，1) D.(2，－1)答案D解析設(shè)D(x，y)，則CD＝(x，y－1)，2AB＝(2，－2根據(jù)CD＝2AB，得(x，y－1)＝(2，－2)即x＝2,y-1＝-2,解得x＝5.在△ABC中，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)N在邊AC上，且AN＝2NC，AM與BN交于點(diǎn)P，若AM＝5.5，則AP的長(zhǎng)是()A.3.8 B.4 C.4.2 D.4.4答案D解析方法一設(shè)BM＝e1，CN＝e則AM＝AC＋CM＝－3eBN＝BC＋CN＝2e因?yàn)辄c(diǎn)A，P，M和點(diǎn)B，P，N分別共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，μ，使AP＝λAM＝－λe1－3λe2，BP＝μBN＝2μe1＋所以BA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e1＋(3λ＋又BA＝BC＋CA＝2e1所以λ＋2所以AP＝所以AP＝45AM方法二設(shè)AP＝λAM，λ∈R因?yàn)镸是BC的中點(diǎn)，AN＝2NC，則AM＝AP＝λAM＝12λ又B，P，N三點(diǎn)共線，所以12λ＋34λ＝解得λ＝45，所以AP＝46.如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，以AC為直徑的半圓上有一點(diǎn)M，BM＝λBC＋3λBA，則實(shí)數(shù)λ等于A.3＋1C.32 D.答案A解析以B為原點(diǎn)，BC，BA所在直線分別為x軸、y軸建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系.則A(0，1)，C(1，0)，AC＝2則以AC為直徑的圓的圓心為AC的中點(diǎn)D12則以AC為直徑的圓的方程為x-設(shè)M(x，y)，則BM＝(x，y)，BC＝(1，0)，BA＝(0，BM＝λBC＋3λBA＝(λ，所以x由點(diǎn)M在圓x-可得λ-即4λ2－(1＋3)λ＝0，解得λ＝3＋14或λ＝0二、多項(xiàng)選擇題(每小題6分，共12分)7.已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，3)，則下列向量與2a＋b平行的是()A.2，23 B.(1，C.(1，－2) D.-1答案AD解析因?yàn)閍＝(2，－1)，b＝(－1，3)，所以2a＋b＝(3，1)，故若向量(x，y)滿足3y－x＝0，則該向量與2a＋b平行.檢驗(yàn)易知A，D符合題意.8.已知△ABC中，點(diǎn)P滿足PA＋PB＝CP，點(diǎn)Q在△PBC內(nèi)(含邊界)，其中AQ＝xAB＋yA.若x＝13，y＝2B.若P，Q兩點(diǎn)重合，則AQC.存在x，y，使得x＋2y＝D.存在x，y，使得x＋2y＝答案BCD解析對(duì)于A，AQ＝13AB＋23AC，即3AQ＝AB＋2AC，故AQ－AB＝2對(duì)于B，由PA＋PB＝CP得，PA＋PB＋PC＝0，故P為△ABC的重心，則對(duì)于C，D，取AC的中點(diǎn)D，則AQ＝xAB＋2yAD，由點(diǎn)Q在△PBC內(nèi)(含邊界)過(guò)點(diǎn)Q作MN∥BD(當(dāng)點(diǎn)Q在線段BP上時(shí)，MN與BD重合)，與線段CD交于點(diǎn)M，與射線AB交于點(diǎn)N，如圖所示，設(shè)AM＝kAD，k∈[1，2]，則AN＝k因?yàn)辄c(diǎn)M，Q，N三點(diǎn)共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使AQ＝λAM＋(1－λ)AN＝kλAD＋k(1－λ)因?yàn)锳Q＝xAB＋2yAD，所以x＝k(1-λ),2y＝kλ,則x＋2y＝k∈三、填空題(每小題5分，共10分)9.已知向量OA＝(3，4)，OB＝(6，－3)，OC＝(5－m，－3－m)，若點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，則實(shí)數(shù)m答案m≠－7解析因?yàn)锳B＝OB－OA＝(3，－7)，AC＝OC－OA＝(又點(diǎn)A，B，C能構(gòu)成三角形，所以點(diǎn)A，B，C不共線，即AB與AC不共線，所以3(－7－m)－(－7)(2－m)≠0，解得m≠－71010.在梯形ABCD中，AB∥CD，且CD＝2AB，若點(diǎn)A(1，2)，B(2，1)，C(4，2)，則點(diǎn)D的坐標(biāo)為.答案(2，4)解析∵在梯形ABCD中，CD＝2AB，AB∥CD，∴DC＝2AB設(shè)點(diǎn)D的坐標(biāo)為(x，y)，則DC＝(4－x，2－y)又AB＝(1，－1)，∴(4－x，2－y)＝2(1，－1)即4-x＝∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為(2，4).四、解答題(共27分)11.(13分)平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1).(1)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k；(6分)(2)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝5，求d的坐標(biāo).(7分解(1)a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，由題意得2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0，解得k＝－1613(2)設(shè)d＝(x，y)，則d－c＝(x－4，y－1)，又a＋b＝(2，4)，(d－c)∥(a＋b)，|d－c|＝5∴4(解得x＝3∴d的坐標(biāo)為(3，－1)或(5，3).12.(14分)如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝2，AD＝1，DM＝13DC，BN＝23(1)若MN＝λAB＋μAD，求實(shí)數(shù)λ和μ的值；(7分(2)用向量AM，AN表示AE.(7分)解(1)如圖，以A點(diǎn)為原點(diǎn)，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則D(0，1)，B(2，0)，M23，1，所以MN＝43，-13，AB＝(2，0)所以MN＝43，-13＝λAB＋μ所以2λ＝(2)設(shè)AE＝tAC，AC＝mAM＋nAN，t，m，n∈因?yàn)锳M＝23又C(2，1)，則AC＝(2，1)所以AC＝(2，1)＝即23m即AC＝所以AE＝tAC＝37t又因