專題04一次函數(shù)

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（3大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用

03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（4大考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）

考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

04辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，沖刺高分。（4大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：一次函數(shù)的平移易錯(cuò)點(diǎn)2：求直線圍成的圖形面積

易錯(cuò)點(diǎn)3：一次函數(shù)探究性問(wèn)題易錯(cuò)點(diǎn)4：一次函數(shù)與幾何綜合

1

知識(shí)模塊一一次函數(shù)的相關(guān)概念

一次函數(shù)定義：一般地，形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，k≠0），那么y叫做x的一次函數(shù).當(dāng)一次函數(shù)y=kx+b

中b=0時(shí)，y=kx（k為常數(shù)，k≠0）稱y是x的正比例函數(shù)，所以說(shuō)正比例函數(shù)是一種特殊的一次函數(shù).

知識(shí)模塊二一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.正比例函數(shù)的圖象與性質(zhì)

正比例函數(shù)y=kx(k≠0)

k的符號(hào)k>0k<0

圖象

增減性y隨x的增大而增大y隨x的增大而減小

位置圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限圖象經(jīng)過(guò)第二、四象限

2.一次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

一次函數(shù)k的符號(hào)b的符號(hào)圖象分布象限圖象增減性

b>0一、二、三

y隨x的增大而

k>0

b=0一、三增大

y=kx+b

b<0一、三、四

(k≠0)

b>0一、二、四

y隨x的增大而

k<0

減小

b=0二、四

2

b<0二、三、四

知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)圖象的特殊點(diǎn)及與其他直線的交點(diǎn)問(wèn)題（難點(diǎn)）

分類求法

直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)

令y=0,求出對(duì)應(yīng)的x的值,即(,0）

?

直線y=kx+b與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)令x=0,求出對(duì)應(yīng)的y值,即(0,b?)?

與其他直線的交點(diǎn)坐標(biāo)解由這兩條直線的解析式組成的二元一次方程組,方

程組的解即為兩函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)三：一次函數(shù)的平移

(1)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向左平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x+m)+b的圖象;

(2)-次函數(shù)y=kx+b的圖象向右平移m(m>0)個(gè)單位得y=k(x-m)+b的圖象;

(3)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向上平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b+n的圖象;

(4)一次函數(shù)y=kx+b的圖象向下平移n(n>0)個(gè)單位得y=kx+b-n的圖象.

平移口訣：左加有減，上加下減

知識(shí)點(diǎn)四：用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)解析式

用待定系數(shù)法求一次函數(shù)表達(dá)式的一般步驟：

1）設(shè)出函數(shù)的一般形式y(tǒng)=kx(k≠0)或y=kx+b(k≠0)；

2）根據(jù)已知條件(自變量與函數(shù)的對(duì)應(yīng)值)代入表達(dá)式得到關(guān)于待定系數(shù)的方程或方程組；

3）解方程或方程組求出k，b的值；

4）將所求得的k，b的值代入到函數(shù)的一般形式中，從而得到一次函數(shù)解析式.

知識(shí)點(diǎn)五：正比例函數(shù)與一次函數(shù)的聯(lián)系與區(qū)別

正比例函數(shù)一次函數(shù)

一般形式y(tǒng)=kx+b（k是常數(shù)，且k≠0）y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0）

圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線一條直線

區(qū)別

k，b符號(hào)k的符號(hào)決定其增減性，k的符號(hào)決定其增減性；

的作用同時(shí)決定直線所經(jīng)過(guò)的象限b的符號(hào)決定直線與y軸的交點(diǎn)位置；

3

k，b的符號(hào)共同決定直線在直角坐標(biāo)系的位置

求解析式只需要一對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值

需要兩對(duì)x，y的對(duì)應(yīng)值或兩個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

的條件或一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)

1）正比例函數(shù)是特殊的一次函數(shù)．

2）正比例函數(shù)圖象與一次函數(shù)圖象的畫法一樣，都是過(guò)兩點(diǎn)畫直線，但畫一次函數(shù)的圖象需取兩個(gè)

不同的點(diǎn)，而畫正比例函數(shù)的圖象只要取一個(gè)不同于原點(diǎn)的點(diǎn)即可．

3）一次函數(shù)y=kx+b（k≠0）的圖象可以看作是正比例函數(shù)y=kx（k≠0）的圖象沿y軸向上（b>0）

聯(lián)系或向下（b<0）平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度得到的．由此可知直線y=kx+b（k≠0，b≠0）與直線y=kx（k≠0）

平行．

4）一次函數(shù)與正比例函數(shù)有著共同的性質(zhì)：

①當(dāng)k>0時(shí)，y的值隨x值的增大而增大；

②當(dāng)k<0時(shí)，y的值隨x值的增大而減?。?/p>

知識(shí)模塊三一次函數(shù)的應(yīng)用

知識(shí)點(diǎn)一：一次函數(shù)應(yīng)用問(wèn)題的求解思路

①建立一次函數(shù)模型→求出一次函數(shù)解析式→結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)作出解答；

②利用函數(shù)并與方程(組)、不等式(組)聯(lián)系在一起解決實(shí)際生活中的利率、利潤(rùn)、租金、生產(chǎn)方案的設(shè)計(jì)

問(wèn)題以及經(jīng)濟(jì)決策、市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等方面的應(yīng)用。

知識(shí)點(diǎn)二：一次函數(shù)應(yīng)用常考題型解析技巧

1.利潤(rùn)(費(fèi)用)最值問(wèn)題

通過(guò)題中所給條件建立函數(shù)模型，再根據(jù)函數(shù)的增減性及自變量的取值范圍確定最值

2.行程問(wèn)題

(1)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，分析橫、縱坐標(biāo)表示的意義;

(2)根據(jù)圖象確定一次函數(shù)的解析式,若是分段函數(shù),注意自變量的取值范圍;

(3)關(guān)注轉(zhuǎn)折點(diǎn)、交點(diǎn)(兩直線的交點(diǎn)或與坐標(biāo)軸的交點(diǎn))等特殊點(diǎn),并弄清該點(diǎn)坐標(biāo)表示的實(shí)際意義。

3.方案選取問(wèn)題

4

方案選取問(wèn)題的解題步驟

(1)建立一次函數(shù)模型;

(2)根據(jù)限制條件列出不等式(組),求出自變量的取值范圍,結(jié)合自變量取值范圍進(jìn)行方案設(shè)計(jì);

(3)結(jié)合實(shí)際,利用函數(shù)的性質(zhì)選擇最佳方案

【典例1】（2024·河北·中考真題）扇文化是中華優(yōu)秀傳統(tǒng)文化的組成部分，在我國(guó)有著深厚的底蘊(yùn)．如圖，

S

某折扇張開的角度為120時(shí)，扇面面積為S、該折扇張開的角度為n時(shí)，扇面面積為S，若mn，則m

nS

與n關(guān)系的圖象大致是（）

A．B．C．D．

【典例2】（2024·陜西安康·二模）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yaxb與正比例函數(shù)yabx（a，

b是常數(shù)，且ab0）的圖象可能是（）

A．B．

C．D．

【典例3】（2024·北京·三模）三名工人加工同一種零件，他們?cè)谝惶熘械墓ぷ髑闆r如圖所示，其中Ai的橫、

縱坐標(biāo)分別為第i名工人上午的工作時(shí)間和加工的零件數(shù)，點(diǎn)Bi的橫、縱坐標(biāo)分別為第i名工人下午的工作

時(shí)間和加工的零件數(shù)，i1，2，3．若pi為第i名工人在這一天中平均每小時(shí)加工的零件數(shù)，則關(guān)于p1，p2，

p3大小關(guān)系的表述中，正確的是（）

5

A．p1p2p3B．p1p3p2C．p3p1p2D．p3p2p1

【典例4】（2024·河北·模擬預(yù)測(cè)）下圖表示光從空氣進(jìn)入水中的入水前與入水后的光路圖，若按如圖所示

的方式建立平面直角坐標(biāo)系，并設(shè)入水前與入水后光線所在直線的函數(shù)解析式分別為y1k1x，y2k2x，

則關(guān)于k1與k2的關(guān)系，下列說(shuō)法正確的是（）

A．k10,k20B．k10,k20

C．k1k2D．k1k20

【典例5】（2024·天津·中考真題）若正比例函數(shù)ykx（k是常數(shù)，k0）的圖象經(jīng)過(guò)第一、第三象限，

則k的值可以是（寫出一個(gè)即可）．

1

【典例6】（2024·廣東陽(yáng)江·二模）先從3，，0，6四個(gè)數(shù)中任取一個(gè)數(shù)記為m，再?gòu)挠嘞碌娜齻€(gè)數(shù)中

2

任取一個(gè)數(shù)記為n．若kmn，則正比例函數(shù)ykx的圖象經(jīng)過(guò)第一、三象限的概率是．

考點(diǎn)二：一次函數(shù)解析式的確定（含圖象變化）

【典例1】（2024·陜西·中考真題）一個(gè)正比例函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)A2,m和點(diǎn)Bn,6，若點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)

于原點(diǎn)對(duì)稱，則這個(gè)正比例函數(shù)的表達(dá)式為（）

11

A．y3xB．y3xC．yxD．yx

33

【典例2】（2024·山西·中考真題）生物學(xué)研究表明，某種蛇在一定生長(zhǎng)階段，其體長(zhǎng)ycm是尾長(zhǎng)xcm的

一次函數(shù)，部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表所示，則y與x之間的關(guān)系式為（）

尾長(zhǎng)cm6810

6

體長(zhǎng)ycm45.560.575.5

A．y7.5x0.5B．y7.5x0.5

C．y15xD．y15x45.5

【典例3】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）在彈性限度內(nèi)，彈簧的長(zhǎng)度y(cm)是所掛物體質(zhì)量x(kg)的一次函數(shù)．一

根彈簧不掛物體時(shí)長(zhǎng)12.5cm，當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為2kg時(shí)，彈簧長(zhǎng)13.5cm．當(dāng)所掛物體的質(zhì)量為5kg時(shí)，

彈簧的長(zhǎng)度為cm，

【典例4】（2024·寧夏·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系中，一條直線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形是等腰三角形，

則該直線的解析式可能為（寫出一個(gè)即可）．

【典例5】（2024·江蘇南通·中考真題）平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知A3,0，B0,3．直線ykxb（k，

15

b為常數(shù)，且k0）經(jīng)過(guò)點(diǎn)1,0，并把VAOB分成兩部分，其中靠近原點(diǎn)部分的面積為，則k的值為．

4

m

【典例6】（2024·四川樂(lè)山·一模）當(dāng)m，n是正實(shí)數(shù)，且滿足mnmn時(shí)，就稱點(diǎn)Pm,為“友誼點(diǎn)”．已

n

知點(diǎn)A0,5與點(diǎn)M都在直線yxb上，點(diǎn)B、C是“友誼點(diǎn)”，且點(diǎn)B在線段AM上．

（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

（2）若MC3，AM42，則MBC的面積為．

【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）如圖，將八個(gè)邊長(zhǎng)為1的小正方形擺放在平面直角坐標(biāo)系中．若過(guò)原點(diǎn)

的直線l將圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的函數(shù)表達(dá)式為．

【典例8】（2024·內(nèi)蒙古·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1kxbk0的圖象與x軸、

y軸分別交于，B0,1兩點(diǎn)．

??2,0

7

(1)求一次函數(shù)的解析式；

(2)已知變量x,y2的對(duì)應(yīng)關(guān)系如下表已知值呈現(xiàn)的對(duì)應(yīng)規(guī)律．

11

x…43211234…

22

44

y2…12488421…

33

寫出y2與x的函數(shù)關(guān)系式，并在本題所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y2的大致圖象；

(3)一次函數(shù)y1的圖象與函數(shù)y2的圖象相交于C，D兩點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），點(diǎn)C關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)的對(duì)稱

點(diǎn)為點(diǎn)E，點(diǎn)P是第一象限內(nèi)函數(shù)y2圖象上的一點(diǎn)，且點(diǎn)P位于點(diǎn)D的左側(cè)，連接PC，PE，CE．若PCE

的面積為15，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．

【典例9】（2024·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）已知直線l過(guò)點(diǎn)A4,6，B8,3．

(1)求直線l的函數(shù)解析式；

(2)設(shè)點(diǎn)a,b在l上，拋物線G：ykxaxb與x軸交于點(diǎn)C，D（點(diǎn)C在點(diǎn)D右側(cè)），與y軸交于

點(diǎn)E．

8

①當(dāng)k1時(shí)，試用含a的代數(shù)式表示四邊形ABCD的面積；

②當(dāng)C，D，E中有兩點(diǎn)與點(diǎn)A，B圍成的四邊形是平行四邊形時(shí)，求G的函數(shù)解析式．

考點(diǎn)三：一次函數(shù)與方程（組）、不等式的關(guān)系

【典例1】（2024·廣東·中考真題）已知不等式kxb0的解集是x2，則一次函數(shù)ykxb的圖象大致

是（）

A．B．

C．D．

【典例2】（2024·山東臨沂·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y1axb(a0)與

y2mxn(m0)的圖象如圖所示．則下列結(jié)論中：①y1隨x的增大而增大；②bn；③．當(dāng)x2時(shí)，y1y2；

axybx2

④關(guān)于x，y的方程組的解為，正確的有（）

mxyny3

9

A．1B．2C．3D．4

【典例3】（2024·云南昆明·模擬預(yù)測(cè)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，

數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．為了了解關(guān)于x的不等式x2mxn的解集，某同學(xué)繪制了

yx2與ymxn（m，n為常數(shù)，m0）的函數(shù)圖象如圖所示，通過(guò)觀察圖象發(fā)現(xiàn)，該不等式的解

集在數(shù)軸上表示正確的是（）

A．B．

C．D．

【典例4】（2024·江蘇蘇州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，ABO的兩個(gè)頂點(diǎn)A6,0，B6,6，點(diǎn)D在

邊AB上，AD5BD，點(diǎn)C為OA的中點(diǎn)，點(diǎn)P為邊OB上的動(dòng)點(diǎn)，則使四邊形PCAD周長(zhǎng)最小的點(diǎn)P的坐

標(biāo)為（）

7799

A．3,3B．,C．,D．5,5

2222

【典例5】（2024·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，已知一次函數(shù)ykxb(k0)的圖象分別與x、y軸交于A、

B兩點(diǎn)，若OA2，OB1，則關(guān)于x的方程kxb0的解為．

10

1

【典例6】（2024·山東日照·中考真題）已知一次函數(shù)yax(a0)和yx1，當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)y的圖

1222

象在函數(shù)y1的圖象上方，則a的取值范圍為

【典例7】（2024·北京·中考真題）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)ykxbk0與ykx3的圖象交

于點(diǎn)2,1.

(1)求k，b的值；

(2)當(dāng)x2時(shí)，對(duì)于x的每一個(gè)值，函數(shù)ymxm0的值既大于函數(shù)ykxb的值，也大于函數(shù)ykx3

的值，直接寫出m的取值范圍.

【典例8】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫出函數(shù)圖象，觀

察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過(guò)程．結(jié)合已有經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)畫出函數(shù)y2x12的圖象，并探究該函數(shù)

性質(zhì)．

(1)繪制函數(shù)圖象

列表：下列是x與y的幾組對(duì)應(yīng)值，其中m________；

x…432101234…

11

y…420m02468…

描點(diǎn)：根據(jù)表中的數(shù)值描點(diǎn)x,y；

連線：請(qǐng)用平滑的線順次連接各點(diǎn)，在圖中畫出函數(shù)圖象；

(2)探究函數(shù)性質(zhì)

請(qǐng)寫出函數(shù)y2x12的一條性質(zhì)：________________；（寫一條即可）

(3)運(yùn)用函數(shù)圖象及性質(zhì)

根據(jù)圖象，求不等式2x120的解集．

【典例9】（2023·重慶沙坪壩·二模）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，DD=90°，過(guò)點(diǎn)A作AEBC

于點(diǎn)E，AB5,BC7,BE3，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿BAD運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)D時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P

的運(yùn)動(dòng)路程為x，VAPE的面積為y1．

12

(1)請(qǐng)直接寫出y1與x之間的函數(shù)關(guān)系式以及對(duì)應(yīng)的x的取值范圍；

(2)請(qǐng)?jiān)谥苯亲鴺?biāo)系中畫出y1的圖象，并寫出函數(shù)y1的一條性質(zhì)；

(3)若直線y2的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫y1的函數(shù)圖像，直接寫出當(dāng)y1y2時(shí)x的取值范圍．（保留一位

小數(shù)，誤差不超過(guò)0.2）

【典例10】（2024·河北·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l1：y2x1與y軸交于點(diǎn)A，直線

l2與y軸，x軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)C，l1與l2交于點(diǎn)D1，m，連接OD，已知OC的長(zhǎng)為4．

(1)求點(diǎn)D的坐標(biāo)及直線l2的解析式；

(2)求△AOD的面積；

(3)若直線l2上有一點(diǎn)P使得△ADP的面積等于△ADO的面積，直接寫出點(diǎn)P的坐標(biāo)．

考點(diǎn)四：一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【典例1】（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐

生活中的數(shù)學(xué)：如何確定單肩包的最佳背帶長(zhǎng)度？

素材1：如圖是一款單肩包，背帶由雙層部分、單層部分和調(diào)節(jié)扣構(gòu)成．使用時(shí)可以通過(guò)調(diào)節(jié)扣加長(zhǎng)或縮短

13

單層部分的長(zhǎng)度，使背帶的總長(zhǎng)度加長(zhǎng)或縮短．總長(zhǎng)度為單層部分與雙層部分的長(zhǎng)度和，其中調(diào)節(jié)扣的長(zhǎng)

度忽略不計(jì)．

素材2：對(duì)該款單肩包的背帶長(zhǎng)度進(jìn)行測(cè)量，設(shè)雙層部分的長(zhǎng)度是xcm，單層部分的長(zhǎng)度是ycm，得到幾組

數(shù)據(jù)如下表所示．

雙層部分的長(zhǎng)度xcm2610…

單層部分的長(zhǎng)度ycm116108100…

素材3：?jiǎn)渭绨淖罴驯硯Э傞L(zhǎng)度與身高的比為2:3．

素材4：小明爸爸準(zhǔn)備購(gòu)買此款單肩包．爸爸自然站立，將該單肩包的背帶調(diào)節(jié)到最短提在手上（背帶的傾

斜忽略不計(jì)），背帶的懸掛點(diǎn)離地面的高度為53.5cm；如圖，已知爸爸的臂展和身高一樣，且肩寬為38cm，

1

頭頂?shù)郊绨虻拇怪备叨葹樯砀叩模?/p>

8

請(qǐng)根據(jù)以上素材，解答下列問(wèn)題：

(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，以所測(cè)得數(shù)據(jù)中的x為橫坐標(biāo)，y為縱坐標(biāo)，描出所表示的點(diǎn)，并用光滑曲

線連接；根據(jù)圖象思考與x之間的函數(shù)表達(dá)式，并直接寫出x的取值范圍；

(2)設(shè)人的身高為h，當(dāng)單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，此時(shí)人的身高h(yuǎn)與這款單肩包背帶的雙

14

層部分的長(zhǎng)度x之間的函數(shù)表達(dá)式；

(3)當(dāng)小明爸爸的單肩包的背帶長(zhǎng)度調(diào)整為最佳背帶總長(zhǎng)度時(shí)，求此時(shí)雙層部分的長(zhǎng)度．

【典例2】（2024·陜西漢中·三模）在一條筆直的道路上依次有A,B,C三地，小明從A地跑步到達(dá)B地，休

息5min后按原速跑步到達(dá)C地．小明距B地的距離s(m)與時(shí)間t(min)之間的函數(shù)圖象如圖所示．

(1)從A地到C地的距離為______m；

(2)求出MN段的函數(shù)表達(dá)式：

(3)求小明距B地750m時(shí)所用的時(shí)間．

【典例3】（2024·山東青島·中考真題）為培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí)，提高學(xué)生的動(dòng)手能力，某校計(jì)劃購(gòu)買一批

航空、航海模型．已知商場(chǎng)某品牌航空模型的單價(jià)比航海模型的單價(jià)多35元，用2000元購(gòu)買航空模型的

4

數(shù)量是用1800元購(gòu)買航海模型數(shù)量的．

5

(1)求航空和航海模型的單價(jià)；

(2)學(xué)校采購(gòu)時(shí)恰逢該商場(chǎng)“六一兒童節(jié)”促銷：航空模型八折優(yōu)惠．若購(gòu)買航空、航海模型共120個(gè)，且航

空模型數(shù)量不少于航海模型數(shù)量的1，請(qǐng)問(wèn)分別購(gòu)買多少個(gè)航空和航海模型，學(xué)校花費(fèi)最少？

2

15

【典例4】（2024·吉林長(zhǎng)春·中考真題）區(qū)間測(cè)速是指在某一路段前后設(shè)置兩個(gè)監(jiān)控點(diǎn)，根據(jù)車輛通過(guò)兩個(gè)

監(jiān)控點(diǎn)的時(shí)間來(lái)計(jì)算車輛在該路段上的平均行駛速度．小春駕駛一輛小型汽車在高速公路上行駛，其間經(jīng)

1

過(guò)一段長(zhǎng)度為20千米的區(qū)間測(cè)速路段，從該路段起點(diǎn)開始，他先勻速行駛小時(shí)，再立即減速以另一速度

12

勻速行駛（減速時(shí)間忽略不計(jì)），當(dāng)他到達(dá)該路段終點(diǎn)時(shí)，測(cè)速裝置測(cè)得該輛汽車在整個(gè)路段行駛的平均

速度為100千米/時(shí)．汽車在區(qū)間測(cè)速路段行駛的路程y（千米）與在此路段行駛的時(shí)間x（時(shí)）之間的函

數(shù)圖象如圖所示．

(1)a的值為________；

1

(2)當(dāng)xa時(shí)，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

12

(3)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明在此區(qū)間測(cè)速路段內(nèi)，該輛汽車減速前是否超速．（此路段要求小型汽車行駛速度不得超

過(guò)120千米/時(shí)）

【典例5】（2024·山東日照·中考真題）【問(wèn)題背景】2024年4月23日是第18個(gè)“世界讀書日”，為給師生

提供更加良好的閱讀環(huán)境，學(xué)校決定擴(kuò)大圖書館面積，增加藏書數(shù)量，現(xiàn)需購(gòu)進(jìn)20個(gè)書架用于擺放書籍．

【素材呈現(xiàn)】

素材一：有A,B兩種書架可供選擇，A種書架的單價(jià)比B種書架單價(jià)高20%；

素材二：用18000元購(gòu)買A種書架的數(shù)量比用9000元購(gòu)買B種書架的數(shù)量多6個(gè)；

2

素材三：A種書架數(shù)量不少于B種書架數(shù)量的．

3

【問(wèn)題解決】

(1)問(wèn)題一：求出A,B兩種書架的單價(jià)；

(2)問(wèn)題二：設(shè)購(gòu)買a個(gè)A種書架，購(gòu)買總費(fèi)用為w元，求w與a的函數(shù)關(guān)系式，并求出費(fèi)用最少時(shí)的購(gòu)買

16

方案；

1

(3)問(wèn)題三：實(shí)際購(gòu)買時(shí)，商家調(diào)整了書架價(jià)格，A種書架每個(gè)降價(jià)m元，B種書架每個(gè)漲價(jià)m元，按問(wèn)題

3

二的購(gòu)買方案需花費(fèi)21120元，求m的值．

【典例6】（2024·山東東營(yíng)·中考真題）隨著新能源汽車的發(fā)展，東營(yíng)市某公交公司計(jì)劃用新能源公交車淘

汰“冒黑煙”較嚴(yán)重的燃油公交車．新能源公交車有A型和B型兩種車型，若購(gòu)買A型公交車3輛，B型公交

車1輛，共需260萬(wàn)元；若購(gòu)買A型公交車2輛，B型公交車3輛，共需360萬(wàn)元．

(1)求購(gòu)買A型和B型新能源公交車每輛各需多少萬(wàn)元？

(2)經(jīng)調(diào)研，某條線路上的A型和B型新能源公交車每輛年均載客量分別為70萬(wàn)人次和100萬(wàn)人次．公司準(zhǔn)

備購(gòu)買輛A型、B型兩種新能源公交車，總費(fèi)用不超過(guò)650萬(wàn)元．為保障該線路的年均載客總量最大，

請(qǐng)?jiān)O(shè)計(jì)購(gòu)10買方案，并求出年均載客總量的最大值．

【典例7】（2024·浙江嘉興·一模）某電腦商城準(zhǔn)備購(gòu)進(jìn)A，B兩種型號(hào)的電腦，已知每臺(tái)電腦的進(jìn)價(jià)B型比

A型多500元，用16萬(wàn)元購(gòu)進(jìn)A型電腦和用18萬(wàn)購(gòu)進(jìn)B型電腦的數(shù)量相同．

(1)A，B兩種型號(hào)電腦每臺(tái)進(jìn)價(jià)各是多少？

、

(2)隨著技術(shù)的更新，A型號(hào)電腦升級(jí)為A1型號(hào)，該商城計(jì)劃一次性購(gòu)進(jìn)A1B兩種型號(hào)電腦共100臺(tái)，B型

號(hào)電腦的每臺(tái)售價(jià)5200元．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)，銷售A1型號(hào)電腦所獲利潤(rùn)P(萬(wàn)元)與A1銷售量m臺(tái)(0m80)，

17

129

如圖所示，為線段，BC為拋物線一部分Pm2mc(40m80)．若這兩種電腦全部售出，

600300

??

則該商城如何進(jìn)貨利潤(rùn)最大？(利潤(rùn)銷售總價(jià)-總進(jìn)價(jià))

易錯(cuò)點(diǎn)1：一次函數(shù)的平移

一次函數(shù)y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數(shù)y=kx(k≠0)的圖象平移得到：

當(dāng)b>0時(shí)，向上平移b個(gè)單位長(zhǎng)度；

當(dāng)b<0時(shí)，向下平移|b|個(gè)單位長(zhǎng)度

平移口訣：左加有減，上加下減

【典例1】（2024·陜西·模擬預(yù)測(cè)）在同一平面直角坐標(biāo)系中，直線y2x向上平移mm0個(gè)單位長(zhǎng)度后，

與直線y=x+3的交點(diǎn)可能是（）

A．0，2B．1,4C．2，5D．3，6

【典例2】（2024·陜西咸陽(yáng)·模擬預(yù)測(cè)）將直線l1:ykx3(k0)向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線l2，將

直線l1向左平移1個(gè)單位長(zhǎng)度后得到直線l3．若直線l2和直線l3恰好重合，則k的值為（）

A．2B．1C．1D．3

1

【典例3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·模擬預(yù)測(cè)）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)yx1的圖像分別與x

2

軸，y軸交于A，B兩點(diǎn)，將直線AB向左平移后與x軸，y軸分別交于點(diǎn)D，點(diǎn)C．若CDAB，則直線CD

的函數(shù)解析式為（）

11

A．yx1B．yx

22

18

1

C．yx2D．yx2

2

【典例4】（2024·湖南常德·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)P1,2關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為P，且P在直線ykx3上，

把直線ykx3的圖象向右平移2個(gè)單位后，所得的直線解析式為．

3

【典例5】（2024·四川眉山·二模）如圖，已知直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)A5,6且與直線l：yx6平行，直線

122

l2與x軸、y軸分別交于點(diǎn)B、C．

(1)求直線l1的表達(dá)式及其與x軸的交點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)判斷四邊形ABCD是什么四邊形？并證明你的結(jié)論．

易錯(cuò)點(diǎn)2：求直線圍成的圖形面積

解題方法：

1.求點(diǎn)---圍成圖形的頂點(diǎn)坐標(biāo)。

2.確定底邊---找到與坐標(biāo)軸平行或者在坐標(biāo)軸上的邊長(zhǎng)作為底邊。

作輔助線：（切割法）過(guò)點(diǎn)作y軸的平行線切割圖形。

3.求出線段長(zhǎng)。

1

4.帶公式求出面積。S△=×底×高

2

割補(bǔ)求面積（鉛垂法）：

1

S△PMxx

ABC2BA

19

【典例1】（2024·陜西西安·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)．若直線yx2分別與x軸、

直線y3x6交于點(diǎn)A、B，則VAOB的面積為（）

A．2B．3C．5D．6

【典例2】（2024·西藏·中考真題）將正比例函數(shù)y2x的圖象向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度后得到函數(shù)圖象的解

析式為．

1k

【典例3】（2024·四川涼山·中考真題）如圖，正比例函數(shù)yx與反比例函數(shù)yx0的圖象交于點(diǎn)

122x

Am，2．

(1)求反比例函數(shù)的解析式；

1k

(2)把直線yx向上平移3個(gè)單位長(zhǎng)度與yx0的圖象交于點(diǎn)B，連接AB,OB，求VAOB的面積．

122x

【典例4】（2024·河北唐山·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線l1的解析式為y3x3，且l1與x軸交于點(diǎn)D，直線l2

3

經(jīng)過(guò)點(diǎn)A4,0、B3,，直線l1、l2交于點(diǎn)C．

2

20

(1)求直線l2的解析式；

(2)求△ADC的面積；

(3)試問(wèn)：在直線l2上是否存在異于點(diǎn)C的另一點(diǎn)P，使得△ADP與△ADC的面積相等？若存在，請(qǐng)直接寫

出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【典例5】（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1與x軸交于點(diǎn)A4,0，與y軸交

9

于點(diǎn)B0,3，直線l:yx3與x軸交于點(diǎn)C，與y軸交于點(diǎn)E，且與l相交于D．點(diǎn)P為線段DE上一

241

點(diǎn)（不與點(diǎn)D，E重合），作直線BP．

(1)求直線l1的表達(dá)式及點(diǎn)D的坐標(biāo)；

(2)若直線BP將ACD的面積分為7:9兩部分，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；

21

(3)點(diǎn)P是否存在某個(gè)位置，使得點(diǎn)D關(guān)于直線BP的對(duì)稱點(diǎn)D恰好落在直線AB上方的坐標(biāo)軸上．若存在，

直．接．寫．出．點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【典例6】（2023·遼寧沈陽(yáng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線交x軸于點(diǎn)A10,0，

1?=??+??≠0

交y軸于點(diǎn)B，與直線yx交于點(diǎn)Cc,2，點(diǎn)P是x軸正半軸上一動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作x軸的垂線，與直線AB，

3

OC分別交于點(diǎn)M，N，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m．

(1)求直線的函數(shù)表達(dá)式；

?=??+??5≠0

(2)當(dāng)CMN的面積為時(shí)，求m的值；

3

(3)點(diǎn)Q為y軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△MNQ為等腰直角三角形時(shí)，請(qǐng)直接寫出m的值．

1

【典例7】（2024·河北衡水·二模）在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1經(jīng)過(guò)A3,4,B3,0，直線l:yx1與

22

x軸交于點(diǎn)C，與直線l1交于點(diǎn)D．

(1)求直線l1的函數(shù)解析式：

(2)求△BCD的面積；

(3)嘉淇為了更好觀看圖象，截屏該問(wèn)題的圖象，如圖所示，嘉淇發(fā)現(xiàn)屏幕上有一位置固定的黑點(diǎn)M，剛好

22

落在直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)為6,2的位置上，嘉淇通過(guò)手機(jī)的觸屏功能，在坐標(biāo)原點(diǎn)的位置與可視范圍不改變

的情況下，把截屏橫向、縱向放大相同的倍數(shù)，當(dāng)直線l1恰好經(jīng)過(guò)點(diǎn)M時(shí)，圖中坐標(biāo)系的單位長(zhǎng)度變?yōu)樵?/p>

來(lái)的a倍，直接寫出a的值．

易錯(cuò)點(diǎn)3：一次函數(shù)探究性問(wèn)題

【典例1】（2024·四川內(nèi)江·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，ABy軸，垂足為點(diǎn)B，將ABO繞

3

點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到VABO的位置，使點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B落在直線yx上，再將VABO繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)

1114111

3

到ABO的位置，使點(diǎn)O的對(duì)應(yīng)點(diǎn)O也落在直線yx上，如此下去，……，若點(diǎn)B的坐標(biāo)為，則

112124

0,3

點(diǎn)B37的坐標(biāo)為（）．

A．180,135B．180,133C．180,135D．180,133

【典例2】（2024·湖北武漢·模擬預(yù)測(cè)）正方形A1B1C1A2，A2B2C2A3，A3B3C3A4，…按如圖所示的方式放置，

點(diǎn)A1，A2，A3，…和點(diǎn)B1，B2，B3，…分別在直線ykxbk0和x軸上．已知點(diǎn)A10,1，點(diǎn)B11,0，，

23

則C5的坐標(biāo)是()

A．(44,15)B．(45,16)C．(46,16)D．(47,16)

【典例3】（2024·四川樂(lè)山·模擬預(yù)測(cè)）如圖是直線y3x在第一象限內(nèi)的一部分，其上有一點(diǎn)M，且

OM2．過(guò)M作MNx軸于N，以O(shè)為圓心，ON為半徑作弧交OM于點(diǎn)M1，過(guò)M1作M1N1MN于N1，

以M1為圓心，以M1N1為半徑作弧交M1M于點(diǎn)M2；過(guò)M2作M2N2MN于N2；……，如此重復(fù)下去．則：

（1）M2的縱坐標(biāo)是；

（2）Mn的縱坐標(biāo)是．

3,,，

【典例4】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線yx上有點(diǎn)A1A2A3An1，且OA11，A1A22，

3

n,,,3,,,

A2A34，AnAn12分別過(guò)點(diǎn)A1A2A3,An1作直線yx的垂線，交y軸于點(diǎn)B1B2B3Bn1，依次

3

,,，△△

連接A1B2A2B3A3B4AnBn1，得到A1B1B2，△A2B2B3，△A3B3B4，…，AnBnBn1，則AnBnBn1的面積

為．（用含有正整數(shù)n的式子表示）

24

3

【典例5】（2024·山東泰安·二模）如圖，直線l:yx，點(diǎn)A坐標(biāo)為，過(guò)點(diǎn)A作y軸的垂線交直線

3

0,1

l于點(diǎn)B1以O(shè)B1為邊作等邊三角形OA1B1，再過(guò)點(diǎn)A1作y軸的垂線交直線l于點(diǎn)B2，以O(shè)B2為邊作等邊三角形

OA2B2，……，按此做法進(jìn)行下去，點(diǎn)A2024的坐標(biāo)為．

△△△

【典例6】（2024·山東菏澤·模擬預(yù)測(cè)）如圖放置的OA1B，A1B1A2，A2B2A3，，AnBnAn1，都是以A1，

A2，A3，，An為直角頂點(diǎn)的三角形，點(diǎn)A1，A2，A3，，An都在直線y3x上，OA1A1A2A2A3AnAn1，

點(diǎn)B在y軸上，OB2，OBA1B1A2B2AnBn，則點(diǎn)B2024的坐標(biāo)是．

3

【典例7】（2024·山東東營(yíng)·二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：yx1與直線l2:y3x交

3

于點(diǎn)A1，過(guò)A1作x軸的垂線，垂足為B1，過(guò)B1作l2的平行線交l1于A2，過(guò)A2作x軸的垂線，垂足為B2，過(guò)B2

作l2的平行線交l1于A3，過(guò)A3作x軸的垂線，垂足為B3按此規(guī)律，則點(diǎn)A2024的縱坐標(biāo)為．

【典例8】（2024·黑龍江齊齊哈爾·模擬預(yù)測(cè)）如圖，直線AM的解析式為yx1與x軸交于點(diǎn)M，與y軸

交于點(diǎn)A，以O(shè)A為邊作正方形ABCO，點(diǎn)B坐標(biāo)為(1,1)，過(guò)點(diǎn)B作EO1MA交MA于點(diǎn)E，交x軸于點(diǎn)O1，

過(guò)點(diǎn)O1作x軸的垂線交MA于點(diǎn)A1，連接A1B，以O(shè)1A1為邊作正方形O1A1B1C1，點(diǎn)B1的坐標(biāo)為(5,3)．過(guò)點(diǎn)B1

25

作E1O2MA交MA于E1，交x軸于點(diǎn)O2，過(guò)點(diǎn)O2作x軸的垂線交MA于點(diǎn)A2，連接A2B1，以O(shè)2A2為邊作正

方形O2A2B2C2，，則A2024B2023長(zhǎng)為．

【典例9】（2024·山東東營(yíng)·一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)A1的坐標(biāo)為1,2，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A1

1

長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線yx于點(diǎn)B，過(guò)點(diǎn)B作B1A2∥y軸，交直線y2x于點(diǎn)A2，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A

2112

1

長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線yx于點(diǎn)B；過(guò)點(diǎn)B作BA∥y軸，交直線y2x于點(diǎn)A3，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A

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長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線yx于點(diǎn)B3；過(guò)B3點(diǎn)作BA∥y軸，交直線y2x于點(diǎn)A，以點(diǎn)O為圓心，以O(shè)A

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長(zhǎng)為半徑畫弧，交直線yx于點(diǎn)B，…，按照如此規(guī)律進(jìn)行下去，點(diǎn)B的坐標(biāo)為．

242024

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【典例10】（2024·山東臨沂·一模）如圖，已知直線a:yx，直線b:yx和點(diǎn)P(1,0)，過(guò)點(diǎn)P作y軸

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的平行線交直線a于點(diǎn)P1，過(guò)點(diǎn)P1作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)P2，過(guò)點(diǎn)P2作y軸的平行線交直線a于點(diǎn)P3，

過(guò)點(diǎn)P3作x軸的平行線交直線b于點(diǎn)P4,，按此作法進(jìn)行下去，則點(diǎn)P2024的橫坐標(biāo)為．

易錯(cuò)點(diǎn)4：一次函數(shù)與幾何綜合

【典例1】（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）如圖，四邊形AOBC四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別是A1，3，O0，0，B3，1，

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C（5，4），在該平面內(nèi)找一點(diǎn)P，使它到四個(gè)頂點(diǎn)的距離之和PAPOPBPC最小，則P點(diǎn)坐標(biāo)

為．

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【典例2】（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知直線l：yx1，直線l：yx，直線xt與直線l

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