專題10相似三角形

目錄

01理·思維導(dǎo)圖：呈現(xiàn)教材知識(shí)結(jié)構(gòu)，構(gòu)建學(xué)科知識(shí)體系。

02盤·基礎(chǔ)知識(shí)：甄選核心知識(shí)逐項(xiàng)分解，基礎(chǔ)不丟分。（4大模塊知識(shí)梳理）

知識(shí)模塊一：比例線段及其性質(zhì)

知識(shí)模塊二：平行線分線段成比例

知識(shí)模塊三：相似三角形的性質(zhì)與判定

知識(shí)模塊四：位似圖形

03究·考點(diǎn)考法：對(duì)考點(diǎn)考法進(jìn)行細(xì)致剖析和講解，全面提升。（12大基礎(chǔ)考點(diǎn)）

考點(diǎn)一：黃金分割

考點(diǎn)二：平行線分線段成比例

考點(diǎn)三：選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似

考點(diǎn)四：利用相似三角形的性質(zhì)求解

考點(diǎn)五：相似三角形的性質(zhì)與判定綜合

考點(diǎn)六：利用相似三角形列函數(shù)關(guān)系式

考點(diǎn)七：利用三點(diǎn)定形法證明比例式或等積式

考點(diǎn)八：利用相似三角形解決實(shí)際問題

考點(diǎn)九：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

考點(diǎn)十：相似三角形與函數(shù)綜合

考點(diǎn)十一：利用位似圖形的性質(zhì)求解

考點(diǎn)十二：坐標(biāo)系中畫位似圖形

04破·重點(diǎn)難點(diǎn)：突破重難點(diǎn)，沖刺高分。（9大重難點(diǎn)）

考點(diǎn)一：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問題

考點(diǎn)二：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象

考點(diǎn)三：相似模型-A型

考點(diǎn)四：相似模型-X型

考點(diǎn)五：相似模型-母子型

考點(diǎn)六：相似模型-手拉手模型

考點(diǎn)七：相似模型-角含半角模型

1

考點(diǎn)八：相似模型-三角形內(nèi)接矩形模型

考點(diǎn)九：相似模型-一線三等角模型

考點(diǎn)十一：05辨·易混易錯(cuò)：點(diǎn)撥易混易錯(cuò)知識(shí)點(diǎn)，夯實(shí)基礎(chǔ)。（3大易錯(cuò)點(diǎn)）

易錯(cuò)點(diǎn)1：當(dāng)三角形對(duì)應(yīng)關(guān)系不明確時(shí)，未進(jìn)行分類討論而漏解

易錯(cuò)點(diǎn)2：未掌握相似比與面積比的關(guān)系

易錯(cuò)點(diǎn)3：求位似圖形對(duì)應(yīng)坐標(biāo)時(shí)漏解

知識(shí)模塊一：比例線段及其性質(zhì)

知識(shí)點(diǎn)一：兩條線段的比及比例線段

定義：如果選用同一長(zhǎng)度單位的兩條線段a，b的長(zhǎng)分別是m和n，就說兩條線段的比是a：b=m：n，或?qū)?/p>

am

成，和數(shù)的比一樣，兩條線段的比a:b中a叫做比的前項(xiàng)，b叫做比的后項(xiàng).（兩條線段長(zhǎng)度的比叫

bn

2

做這兩條線段的比）

【易錯(cuò)點(diǎn)】

1）“線段的比”與“線段的比值”區(qū)別：線段的比是運(yùn)算，線段的比值是一個(gè)結(jié)果，是一個(gè)數(shù)；

2）求兩條線段的比時(shí)，須統(tǒng)一成相同的單位，最終的比值與單位無關(guān)，比值沒有單位；

3）線段的比，最終要化成最簡(jiǎn)整數(shù)比.

比例線段：在四條線段中，如果其中兩條線段的比等于另外兩條線段的比，那么這四條線段叫做成比例線

ac

段，簡(jiǎn)稱比例線段.四條線段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做組成比例的項(xiàng)，線段a，d

bd

叫做比例外項(xiàng)，線段b，c叫做比例內(nèi)項(xiàng).

ab

比例中項(xiàng)：如果比例線段的內(nèi)項(xiàng)是兩條相同的線段，即a:bb:c或，那么線段b叫做線段a，c的

bc

比例中項(xiàng).

知識(shí)點(diǎn)二：比例的基本性質(zhì)

ac

1）基本性質(zhì)：adbcbd0

bd

ab

b,c,d不為0

cd

2）推論：acdc

a,b,d不為0

bdba

db

a,b,c,d不為0

ca

acabcdacabcd

3）合比性質(zhì)：bd0，分比性質(zhì)：bd0

bdbdbdbd

acabcd

合分比性質(zhì)：bd0a-bc-d0

bda-bc-d

acemace...m

4）等比性質(zhì)：如果...k(bdf...n0),那么k

bdfnbdf...n

5）黃金分割

BCAB

定義：如圖，點(diǎn)B把線段AC分割成AB和BC兩部分（AB＞BC），滿足（此時(shí)線段AB是線段AC,BC

ABAC

的比例中項(xiàng)），那么稱點(diǎn)B為線段AC的黃金分割點(diǎn)，AB與AC（或BC與AB）的比成為黃金比，它們的比值

51

為，近似值為0.618.

2

【補(bǔ)充】

1)黃金分割是以線段的比例中項(xiàng)來定義的；

3

AB長(zhǎng)BC短51

2)0.618，0.618又被稱為黃金分割數(shù)；

AC全AB長(zhǎng)2

知識(shí)模塊二：平行線分線段成比例

知識(shí)點(diǎn)一：平行線分線段成比例

定理：兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例.

1）示例：如圖，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例的有等等.

上上上上下下下下上下

2）對(duì)應(yīng)線段成比例可用語言形象表示：或或或或等等.

下下全全上上全全上下

推論：平行于三角形一邊的直線與其它兩邊（或兩邊的延長(zhǎng)線）相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例．

ADAEADAEDBCD

如圖，若DE∥BC，則有,,

ABACBDCEABAC

知識(shí)模塊三：相似三角形的性質(zhì)與判定

知識(shí)點(diǎn)一：相似三角形的定義

相似三角形的定義：三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等，三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形.如△ABC

和△DEF相似可表示為△ABC∽△DEF.

【補(bǔ)充】三角形全等是三角形相似的特殊情況，全等三角形的相似比等于1.

【注意事項(xiàng)】符號(hào)“∽”表示兩個(gè)三角形相似時(shí)，要把表示對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)的大宇母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，如

△ABC∽△DEF，表示頂點(diǎn)A與D，B與E，C與F分別對(duì)應(yīng)；

4

【易錯(cuò)點(diǎn)】如果僅說△ABC與△DEF相似，沒有用“∽”連接，則需要分情況討論它們之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系.

相似比：相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比.

1

【補(bǔ)充】相似比具有順序性，如△ABC∽△DEF，相似比為k，則△DEF與△ABC的相似比為.

k

常見的基本圖形：

圖①和圖②分別為“A型”圖和“X型”圖，條件是DE//BC，基本結(jié)論是△ABC∽△ADE；

圖③、圖④是圖①的變形圖，圖⑤是圖②的變形圖;

圖⑥是“母子型”圖，條件是BD為直角△ABC斜邊上的高，基本結(jié)論是△ABC∽△BDC∽△ADB.

知識(shí)點(diǎn)二：相似三角形的判定

相似三角形的判定方法：

1）判定三角形相似的常用定理：

①平行于三角形一邊的直線和其他兩邊（或其延長(zhǎng)線）相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似．

②三邊成比例的兩個(gè)三角形相似；

③兩邊成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似；

④兩角分別相等的兩個(gè)三角形相似．

2）直角三角形相似的判定方法：

①有一個(gè)銳角相等的兩個(gè)直角三角形相似.

②兩組直角邊成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

③斜邊和直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.

知識(shí)點(diǎn)三：相似三角形的性質(zhì)

相似三角形的性質(zhì)：

1）相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊的比相等.

【補(bǔ)充】己知兩三角形相似，寫對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊成比例時(shí)，原則是“大對(duì)大，小對(duì)?。婚L(zhǎng)對(duì)長(zhǎng)，短

對(duì)短”.

【小技巧】相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比相等是求某條線段的長(zhǎng)或求兩條線段的比的一種常用方法，采用此方

5

法時(shí)一定要注意找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系.

2）相似三角形對(duì)應(yīng)高，對(duì)應(yīng)中線，對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比.

3）相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比.

4）相似三角形面積比等于相似比的平方.

5）傳遞性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，則△BDC∽△ADB.

知識(shí)模塊四：位似圖形

知識(shí)點(diǎn)一：位似圖形的性質(zhì)

1)位似圖形的所有對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線所在的直線相交與一點(diǎn).

2）位似圖形的對(duì)應(yīng)線段平行(或在同一條直線上)且比相等.

3)位似圖形上任意一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于相似比.

4）位似圖形是相似圖形,具有相似圖形的一切性質(zhì).

5）一對(duì)對(duì)應(yīng)邊與位似中心(不在同一直線上)形成的兩個(gè)三角形相似

知識(shí)點(diǎn)二：位似變換的坐標(biāo)特征

一般地，在平面直角坐標(biāo)系中，如果以原點(diǎn)為位似中心，畫出一個(gè)與原圖形位似的圖形，使它與原

圖形的相似比為k，那么與原圖形上的點(diǎn)(x，y)對(duì)應(yīng)的位似圖形上的點(diǎn)的坐標(biāo)為(kx，ky)或(-kx，-ky).

【小結(jié)】以原點(diǎn)為位似中心的位似圖形的坐標(biāo)符號(hào)變化：若兩個(gè)圖形在原點(diǎn)同側(cè)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)

符號(hào)相同；若兩個(gè)圖形在原點(diǎn)異側(cè)，則對(duì)應(yīng)點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)符號(hào)相反.

考點(diǎn)一：黃金分割

1．（2024·山西·中考真題）黃金分割是漢字結(jié)構(gòu)最基本的規(guī)律．借助如圖的正方形習(xí)字格書寫的漢字“晉”

端莊穩(wěn)重、舒展美觀．已知一條分割線的端點(diǎn)A，B分別在習(xí)字格的邊，上，且，“晉”字的筆

??????∥??

畫“、”的位置在的黃金分割點(diǎn)C處，且，若，則的長(zhǎng)為（結(jié)果保留根號(hào)）．

??5?1

????=2??=2cm??cm

6

2．（2023·四川達(dá)州·中考真題）如圖，樂器的一根弦，兩個(gè)端點(diǎn)A，B固定在樂器面板上，支撐

點(diǎn)C是靠近點(diǎn)B的黃金分割點(diǎn)，即，支?撐?=點(diǎn)8D0c是m靠近點(diǎn)A的黃金分割點(diǎn)，則兩個(gè)支撐點(diǎn)C，

2

D之間的距離．（結(jié)果??保=留?根?號(hào)?）??

cm

3．（2024·廣東·模擬預(yù)測(cè)）大自然是美的設(shè)計(jì)師，校園里一片小小的樹葉，也蘊(yùn)含著“黃金分割”的美．如

圖，點(diǎn)P是的黃金分割點(diǎn)，即，這個(gè)無理數(shù)約是（）

??5?15?1

????=22

A．0.505B．0.618C．0.707D．0.828

考點(diǎn)二：平行線分線段成比例

1．（2023·江蘇·中考真題）小明按照以下步驟畫線段AB的三等分點(diǎn)：

畫法圖形

1．以A為端點(diǎn)畫一條射線；

2．用圓規(guī)在射線上依次截取3條等長(zhǎng)線段AC、CD、DE，連接BE；

3．過點(diǎn)C、D分別畫BE的平行線，交線段AB于點(diǎn)M、N，M、N就是

線段AB的三等分點(diǎn)．

這一畫圖過程體現(xiàn)的數(shù)學(xué)依據(jù)是（）

A．兩直線平行，同位角相等

B．兩條平行線之間的距離處處相等

7

C．垂直于同一條直線的兩條直線平行

D．兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例

2．（2023·四川雅安·中考真題）如圖，在中，F(xiàn)是上一點(diǎn)，交于點(diǎn)E，的延長(zhǎng)線交

的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，，，則?的?長(zhǎng)?為??（）??????????

??=1??=3??

A．4B．6C．8D．10

3．（2024·廣東深圳·中考真題）如圖，在中，，，D為上一點(diǎn)，且滿足，

5??8

△?????=??tan∠?=12????=5

過D作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則．

??

??⊥??????=

考點(diǎn)三：選擇合適的方法證明兩個(gè)三角形相似

1．（2024·廣東廣州·中考真題）如圖，點(diǎn)，分別在正方形的邊，上，，，．求

證：．????????????=3??=6??=2

△???∽△???

2．（2023·貴州·中考真題）如圖，已知是等邊三角形的外接圓，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，交

于點(diǎn)，連接，．⊙????CO???⊙?

?????

8

(1)寫出圖中一個(gè)度數(shù)為的角：_______，圖中與全等的三角形是_______；

(2)求證：30；°△???

(3)連接△，???，∽判△斷?四??邊形的形狀，并說明理由．

3．（2022?·?江蘇?鹽?城·中考真題）如??圖??，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，

'''''''''

若，則．△請(qǐng)??從?△???；??；????△這?三??個(gè)∽選△項(xiàng)?中?選?

___________''''

????????

''''''''''

擇一個(gè)作為條件（寫△序?號(hào)??）∽，△并?加?以?證明．①??=??②??=??③∠???=∠???

考點(diǎn)四：利用相似三角形的性質(zhì)求解

1．（2022·云南·中考真題）如圖，在ABC中，D、E分別為線段BC、BA的中點(diǎn)，設(shè)ABC的面積為S，

1

EBD的面積為S．則=（）△△

?2

△2?1

A．B．C．D．

1137

2448

2．（2024·四川巴中·中考真題）如圖，是用12個(gè)相似的直角三角形組成的圖案．若，則（）

??=1??=

9

A．B．C．D．

125512564323

3．（20246·4上海楊浦·一模）64如圖，在中，點(diǎn)27是重心，過點(diǎn)作27，交邊于點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，

△???????∥???????

如果，那么四邊形．

?△???=36?????=

考點(diǎn)五：三角形的性質(zhì)與判定綜合

1．（2024·寧夏·中考真題）如圖，在中，點(diǎn)在邊上，，連接并延長(zhǎng)交的延

長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交的延?長(zhǎng)?線?于??點(diǎn)F．求?證,?：??．?小?麗=的?思?考過程如??下：??

???????=??

參考小麗的思考過程，完成推理．

2．（2024·山東德州·中考真題）有一張如圖所示的四邊形紙片，，，為

直角，要在該紙片中剪出一個(gè)面積最大的圓形紙片，則圓形紙片的??半=徑?為?=6m?c?m．=??=8cm∠?

3．（2024·山東日照·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)，是矩形的頂點(diǎn)，

點(diǎn)分別為邊上的點(diǎn)，將矩形沿直線折?疊?，?使點(diǎn)B?的4對(duì),0應(yīng)點(diǎn)?0,在4邊2的中點(diǎn)??處?，?點(diǎn)C的

'

?,???,???????????

10

對(duì)應(yīng)點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，則

'?

??=?(?≠0)?=

考點(diǎn)六：利用相似三角形列函數(shù)關(guān)系式

1．（2023·山東青島·中考真題）如圖，在菱形中，對(duì)角線，相交于點(diǎn)O，，

．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿方向勻??速?運(yùn)?動(dòng)，速度為????；同時(shí)，動(dòng)點(diǎn)Q??從=點(diǎn)1A0c出m發(fā)，沿

?方?向=勻4速5運(yùn)cm動(dòng)，速度為．以，??為鄰邊的平行四邊形1cm的/s邊與交于點(diǎn)E．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間?為?

，解答下2列cm問/s題：????????????

?s0<?≤5

(1)當(dāng)點(diǎn)M在上時(shí)，求t的值；

(2)連接．設(shè)??的面積為，求S與t的函數(shù)關(guān)系式和S的最大值；

2

(3)是否存??在某一△時(shí)??刻?t，使點(diǎn)B?在cm的平分線上？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．

2．（2023·黑龍江綏化·中考真題）∠已?知??：四邊形為矩形，，，點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一個(gè)

動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)不與點(diǎn)重合）．連接交于點(diǎn)．??????=4??=3???

???????

(1)如圖一，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，求證：．

(2)如圖二，過點(diǎn)?作??，垂足為．連△接???，?△設(shè)???，．求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式．

(3)如圖三，在（2?）的??條⊥件?下?，過點(diǎn)作???，交??的=延?長(zhǎng)?線?于=點(diǎn)?．當(dāng)??時(shí)，求線段的長(zhǎng)．

???⊥???????=1??

11

3．（2022·四川資陽·中考真題）如圖，平行四邊形中，邊上的高，點(diǎn)E

為邊上的動(dòng)點(diǎn)（不與B、C重合，過點(diǎn)E作直線??的??垂線，??垂=足5為,?F?，=連1接0,??、．??=4

????????

(1)求證：；

(2)當(dāng)點(diǎn)E△為???的中∽△點(diǎn)?時(shí)?，?求的長(zhǎng)；

(3)設(shè)??的面積為?y?，求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求當(dāng)x為何值時(shí)，y有最大值，最大值是多

少？??=?,△???

考點(diǎn)七：利用三點(diǎn)定形法證明比例式或等積式

1．（2023·浙江杭州·中考真題）如圖，在中，直徑垂直弦于點(diǎn)，連接，作

于點(diǎn)，交線段于點(diǎn)（不與點(diǎn)重合⊙），?連接．???????,??,????⊥??

?????,???

(1)若，求的長(zhǎng)．

(2)求證??：=1??．

2

(3)若??，=猜??想???的度數(shù)，并證明你的結(jié)論．

2．（?20?24=·黑??龍江大慶∠·?中?考?真題）如圖，為的內(nèi)接三角形，為的直徑，將沿直線

翻折到，點(diǎn)在上．連接，△交???于點(diǎn)⊙?，延長(zhǎng)，，?兩?線相⊙交?于點(diǎn)，過點(diǎn)△?作??的切?線?

交于△點(diǎn)??．??⊙????????????⊙?

???

12

(1)求證：；

(2)求證：??∥??；

2

??=?????

(3)若，．求的值．

1

sin∠???=3??=6tan∠???

3．（2024·廣東·中考真題）【知識(shí)技能】

（1）如圖1，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，得到

．當(dāng)點(diǎn)E△的?對(duì)?應(yīng)?點(diǎn)?與?點(diǎn)△A重??合?時(shí)，求證：??．△???

'''

△【數(shù)??學(xué)?理解】???=??

（2）如圖2，在中，是的中位線．連接，將繞點(diǎn)D按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，

得到，連△接???，(??，<作??)??的中△線???．求證：??△???．

''''''

【拓展△探??索?】????△?????2?????=?????

（3）如圖3，在中，，點(diǎn)D在上，．過點(diǎn)D作，垂足為E，，．在

43232

△???tan?=3????=5??⊥????=3??=3

四邊形內(nèi)是否存在點(diǎn)G，使得？若存在，請(qǐng)給出證明；若不存在，請(qǐng)說明理由．

????∠???+∠???=180°

考點(diǎn)八：利用相似三角形解決實(shí)際問題

1．（2024·四川自貢·中考真題）為測(cè)量水平操場(chǎng)上旗桿的高度，九（2）班各學(xué)習(xí)小組運(yùn)用了多種測(cè)量方法．

13

(1)如圖1，小張?jiān)跍y(cè)量時(shí)發(fā)現(xiàn)，自己在操場(chǎng)上的影長(zhǎng)恰好等于自己的身高．此時(shí)，小組同學(xué)測(cè)得旗桿

的影長(zhǎng)為，據(jù)此可得旗桿高度為_______?_m?；??

(?2?)如圖2，?小?李1站1在.3m操場(chǎng)上E點(diǎn)處，前面水平放置鏡面C，并通過鏡面觀測(cè)到旗桿頂部A．小組同學(xué)測(cè)得小

李的眼睛距地面高度，小李到鏡面距離，鏡面到旗桿的距離．求旗桿高度；

(3)小王所在小組采用?圖?3=的1方.5m法測(cè)量，結(jié)果誤差較?大?．=在2m更新測(cè)量工具，優(yōu)化測(cè)?量?方=法16后m，測(cè)量精度明顯

提高，研學(xué)旅行時(shí)，他們利用自制工具，成功測(cè)量了江姐故里廣場(chǎng)雕塑的高度．方法如下：

如圖4，在透明的塑料軟管內(nèi)注入適量的水，利用連通器原理，保持管內(nèi)水面M，N兩點(diǎn)始終處于同一水平

線上．

如圖5，在支架上端P處，用細(xì)線系小重物Q，標(biāo)高線始終垂直于水平地面．

如圖6，在江姐故里廣場(chǎng)上E點(diǎn)處，同學(xué)們用注水管確定??與雕塑底部B處于同一水平線的D，G兩點(diǎn)，并標(biāo)

記觀測(cè)視線與標(biāo)高線交點(diǎn)C，測(cè)得標(biāo)高，．將觀測(cè)點(diǎn)D后移到處，采用同

'

樣方法，測(cè)得??，．求?雕?塑=高1.度8m（結(jié)?果?精=確1.5到m）．24m?

''''

2．（2022·江蘇??連云=港1.2·中m考?真?題=）2我m市的花果山景區(qū)大圣湖畔屹立1著m一座古塔——阿育王塔，是蘇北地區(qū)

現(xiàn)存最高和最古老的寶塔．小明與小亮要測(cè)量阿育王塔的高度，如圖所示，小明在點(diǎn)處測(cè)得阿育王塔最高

點(diǎn)的仰角，再沿正對(duì)阿育王塔方向前進(jìn)至處測(cè)得最高點(diǎn)的仰角?，；

小亮?在點(diǎn)∠處?豎??立=標(biāo)4桿5°，小亮的所在位置點(diǎn)、標(biāo)桿頂?、最高點(diǎn)在一條?直線上∠，???=53°，??=10m．（注：

結(jié)果精確到?，參?考?數(shù)據(jù)：?，??，?）?=1.5m??=2m

0.01msin53°≈0.799cos53°≈0.602tan53°≈1.327

(1)求阿育王塔的高度；

(2)求小亮與阿育王塔之??間的距離．

3．（2024福建漳州·模擬預(yù)測(cè)）為??了加強(qiáng)視力保護(hù)意識(shí)，歡歡想在書房里掛一張測(cè)試距離為的視力表，

但兩面墻的距離只有．在一次課題學(xué)習(xí)課上，歡歡向全班同學(xué)征集“解決空間過小，如何放5m置視力表問

3m

14

題”的方案，其中甲、乙兩位同學(xué)設(shè)計(jì)方案新穎，構(gòu)思巧妙．

甲乙

圖

例

使用平面鏡成像的原理來解決房間小的問題．如

圖，在相距的兩面墻上分別懸掛視力表（）

如圖是測(cè)試距離為的大視力表，可以用硬紙

與平面鏡（3m），由平面鏡成像原理，作出?了?

方板制作①一個(gè)測(cè)試距離為5m的小視力表．通過測(cè)

光路圖，通過?調(diào)?整人的位置，使得視力表的上、

案量大視力表中“”的高度3（m的長(zhǎng)），即②可求出小視

下邊沿，發(fā)出的光線經(jīng)平面鏡的上??下邊沿

力表中相應(yīng)的“?”的高度（??的長(zhǎng)）

反射后射?入?人眼處，通過測(cè)量視?力?表的全長(zhǎng)

???

（）就可以計(jì)?算出鏡長(zhǎng)

????

(1)甲生的方案中如果大視力表中“”的高是，那么小視力表中相應(yīng)“”的高是多少？

(2)乙生的方案中如果視力表的全長(zhǎng)?為，3.請(qǐng)5c計(jì)m算出鏡長(zhǎng)至少為多少米．?

0.8m

考點(diǎn)九：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決多結(jié)論問題

1．（2023·山東泰安·中考真題）如圖，是等腰三角形，，．以點(diǎn)B為圓心，任意

長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)F，交BC于△點(diǎn)?G?，?分別以點(diǎn)F和點(diǎn)?G?為=圓??心，∠?大=于36°的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧

1

2??

相交于點(diǎn)H，作射線BH交AC于點(diǎn)D；分別以點(diǎn)B和點(diǎn)D為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩孤相交于

1

2??

M、N兩點(diǎn)，作直線MN交AB于點(diǎn)E，連接DE．下列四個(gè)結(jié)論：；；；

1

當(dāng)時(shí)，．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（）①∠???=∠???②??=??③??=2??

④??=2??=5?1

15

A．1B．2C．3D．4

2．（2022·黑龍江牡丹江·中考真題）如圖，在等腰直角三角形ABC和等腰直角三角形ADE中，

，點(diǎn)D在BC邊上，DE與AC相交于點(diǎn)F，，垂足是G，交BC于點(diǎn)H．下列∠?結(jié)?論?=中：

∠???=90；°；若，??，則⊥??；，正確的是．

22

①??=??②2??=?????③??=35??=5??=3④??=?????

3．（2022·江蘇揚(yáng)州·中考真題）如圖，在中，，將以點(diǎn)為中心逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到，

點(diǎn)在邊上，交于點(diǎn)．下列結(jié)論Δ?：????<??；△???平分?；△?，?其?

中所?有?正?確結(jié)論?的?序號(hào)??是（?）①△???～△???②??∠???③∠???=∠???

A．B．C．D．

①②②③①③①②③

考點(diǎn)十：相似三角形與函數(shù)綜合

1．（2024·山東東營(yíng)·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線與軸交于，

2

兩點(diǎn)，與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)是拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．?=?+??+???(?1,0)

?(2,0)???

16

(1)求拋物線的表達(dá)式；

(2)當(dāng)點(diǎn)在直線下方的拋物線上時(shí)，過點(diǎn)作軸的平行線交于點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)的橫坐標(biāo)為t，的長(zhǎng)為，

請(qǐng)寫出?關(guān)于的函??數(shù)表達(dá)式，并寫出自變量?的取?值范圍；???????

(3)連接?，?交于點(diǎn)，求的最大值．?

?△???

??????△???

2．（2024·江西·中考真題）綜合與實(shí)踐

如圖，在中，點(diǎn)D是斜邊上的動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)A不重合），連接，以為直角邊在的

右側(cè)構(gòu)造Rt△???，，?連?接，．??????

????

Rt△???∠???=90°????=??=?

特例感知

（1）如圖1，當(dāng)時(shí)，與之間的位置關(guān)系是______，數(shù)量關(guān)系是______；

類比遷移?=1????

（2）如圖2，當(dāng)時(shí)，猜想與之間的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明猜想．

拓展應(yīng)用?≠1????

（3）在（1）的條件下，點(diǎn)F與點(diǎn)C關(guān)于對(duì)稱，連接，，，如圖3．已知，設(shè)，

四邊形的面積為y．??????????=6??=?

求y?與??x?的函數(shù)表達(dá)式，并求出y的最小值；

①當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出的長(zhǎng)度．

3②．（?2?02=3·2山東濱州·中考真題?）?如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形的一邊在軸正半軸上，頂點(diǎn)

的坐標(biāo)為，點(diǎn)是邊上的動(dòng)點(diǎn)，過點(diǎn)作交邊?于??點(diǎn)?，作???交邊于點(diǎn)，連接?

．設(shè)2,23?的面積??為．???⊥???????∥?????

????=?,△????

17

(1)求關(guān)于的函數(shù)解析式；

(2)當(dāng)?取何值?時(shí)，的值最大？請(qǐng)求出最大值．

??

考點(diǎn)十一：利用位似圖形的性質(zhì)求解

1．（2024·黑龍江綏化·中考真題）如圖，矩形各頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，，，

以原點(diǎn)為位似中心，將這個(gè)矩形按相似比縮小??，?則?頂點(diǎn)在第一象限對(duì)應(yīng)?點(diǎn)0,0的坐?標(biāo)3是,0（?）3,2?0,2

1

?3?

A．B．C．D．

32

9,44,91,21,3

2．（2024·四川涼山·中考真題）如圖，一塊面積為的三角形硬紙板（記為）平行于投影面時(shí)，

2

在點(diǎn)光源的照射下形成的投影是，若60?cm，則的面△積?是??（）

?△?1?1?1??:??1=2:3△?1?1?1

A．B．C．D．

2222

3．（202930·遼?cm寧·中考真題）1如35圖?c，m在平面直角坐標(biāo)1系50中?c，m四邊形的頂37點(diǎn)5?坐cm標(biāo)分別是，，，

，，，，，若四邊形與四邊形關(guān)于原?點(diǎn)??位?似，且四邊形?0的面0積是?四1邊形0

''''''

?2面積3的?4倍?1，則2第一象限內(nèi)點(diǎn)??的??坐標(biāo)為????．?????

'

?????

18

考點(diǎn)十二：在坐標(biāo)系中畫位似圖形

1．（2022·廣西河池·中考真題）如圖、在平面直角坐標(biāo)系中，ABC的三個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（1，2），

B（2，3），C（4，1）．△

(1)畫出與ABC關(guān)于y軸對(duì)稱的A1B1C1；

(2)以原點(diǎn)△O為位似中心，在第三△象限內(nèi)畫一個(gè)A2B2C2，使它與ABC的相似比為，并寫出點(diǎn)B2的坐

標(biāo)．△△2:1

2．（2020·遼寧丹東·中考真題）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，網(wǎng)格的每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1個(gè)單位長(zhǎng)度

的正方形，點(diǎn)，，的坐標(biāo)分別為，，，先以原點(diǎn)為位似中心在第三象限內(nèi)畫一個(gè)

，使它?與??位似，且相似?比(1為,2)2：?1(，3,1然)后?再(2把,3)繞原點(diǎn)?逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到．

??1?1?1???????????2?2?2

（1）畫出，并直接寫出點(diǎn)的坐標(biāo)；

（2）畫出??1?1?1，直接寫出在旋轉(zhuǎn)?1過程中，點(diǎn)到點(diǎn)所經(jīng)過的路徑長(zhǎng)．

??2?2?2??2

19

重難點(diǎn)一：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決折疊問題

1．（2024·湖北·中考真題）在矩形中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊，上，將矩形沿折疊，使點(diǎn)A

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P落在邊上，點(diǎn)B的對(duì)?應(yīng)??點(diǎn)?為點(diǎn)G，交于點(diǎn)H??．????????

??????

(1)如圖1，求證：；

(2)如圖2，當(dāng)P為△?的??中∽點(diǎn)△，???，時(shí)，求的長(zhǎng)；

(3)如圖3，連接?，?當(dāng)P，H分??別=為2，??=的3中點(diǎn)時(shí)，??探究與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．

2．（2023·湖北武??漢·中考真題）如圖，??平??分等邊的面?積?，?折?疊得到分別與

相交于兩點(diǎn)．若，?用?含的式△子?表??示的長(zhǎng)是△???．△???,????,??

?,???=?,??=??,???

重難點(diǎn)二：利用相似三角形的性質(zhì)與判定解決動(dòng)態(tài)函數(shù)圖象

1．（2022·遼寧營(yíng)口·中考真題）如圖1，在四邊形中，，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)

從點(diǎn)A出發(fā)，點(diǎn)P以的速度沿向點(diǎn)B運(yùn)?動(dòng)??（?運(yùn)動(dòng)到??B∥點(diǎn)??即,∠停?止=）9，0°點(diǎn),∠Q?以=45°的速度沿折線

向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)2，cm設(shè)/s點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)?時(shí)?間為，的面積為，若y與2xc之m間/s的函數(shù)關(guān)系的

2

??→???(s)△????cm

圖像如圖2所示，當(dāng)時(shí)，則．

72

?=2(s)?=cm

20

2．（2023·遼寧錦州·中考真題）如圖，在中，，，，在中，，

，與在同一條直線上，點(diǎn)RCt△與?點(diǎn)??E重合∠?．??=90以°每??秒=13個(gè)?單?位=長(zhǎng)4度的△速?度??沿線?段?=所??在=直5

?線?向=右8勻速??運(yùn)動(dòng)??，當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)F時(shí)，停止運(yùn)△動(dòng)?．?設(shè)?運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，與重?疊?部分的

面積為S，則下列圖象能大致反映S與t之△間?函??數(shù)關(guān)系的是（）△???△???

A．B．

C．D．

3．（2021·湖北·中考真題）如圖1，已知，中，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以

的速度在線段上向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，∠?分??別=與4射5°線△?交?于?E∠，?F??兩=點(diǎn)9，0°且，當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)2C重5c合m/時(shí)s

停止運(yùn)動(dòng)，如圖??2，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)?時(shí)?,間??為，?與?的重疊部分面?積?為⊥??，y與x的函數(shù)關(guān)系由

2

和兩段不同的?圖s象∠組??成?．△????cm

?1(0<?≤5)?2(5<?≤?)

21

（1）填空：當(dāng)時(shí)，______；

___①___；?=5s??=cm

②（2s）in?求=y與x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

（3）當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直．接．寫．出．x的取值范圍．

2

?≥36cm

重難點(diǎn)三：相似模型-A型

1．（2023·四川甘孜·中考真題）如圖，在矩形中，，，點(diǎn)P，Q分別在和上，，

M為上一點(diǎn)，且滿足．連接??、??，?若?=4??=，6則的長(zhǎng)為??．????∥??

????=2????????=????

2．（2023·遼寧鞍山·中考真題）如圖，在中，，頂點(diǎn)C，B分別在x軸的正、負(fù)半軸上，點(diǎn)

△?????=??

A在第一象限，經(jīng)過點(diǎn)A的反比例函數(shù)的圖象交AC于點(diǎn)E，過點(diǎn)E作軸，垂足為點(diǎn)F．若

?

?=??>0??⊥?

點(diǎn)E為的中點(diǎn)，，，則k的值為．

????=2???????=3

3．（2023·河南·中考真題）如圖，與相切于點(diǎn)A，交于點(diǎn)B，點(diǎn)C在上，且．若，

，則的長(zhǎng)為．??⊙???⊙?????=????=5

??=12??

22

重難點(diǎn)四：相似模型-X型

1．（2024·四川樂山·中考真題）如圖，在梯形中，，對(duì)角線和交于點(diǎn)O，若，

?△???1

??????∥???????△???=3

則．

?△???

?△???=

2．（2024·江蘇常州·中考真題）如圖，在矩形中，對(duì)角線的垂直平分線分別交邊、于點(diǎn)E、

F．若，，則???．???????

??