2025屆高三年級考前模擬訓練（第2輪）數(shù)學試題一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)，其中為虛數(shù)單位，則復數(shù)的共軛復數(shù)的虛部為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用復數(shù)的乘法、除法運算化簡求出復數(shù)，再根據(jù)共軛復數(shù)、虛部的定義求解.【詳解】由，可得，所以，復數(shù)的共軛復數(shù)，其虛部為.故選：C.2.某高校全體大一新生參加一項體能測試，將測試結果轉換為相應分值，滿分為100分，統(tǒng)計發(fā)現(xiàn)得分．若得分在的學生有300人，則得分在的學生人數(shù)滿足（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)正態(tài)分布的性質(zhì)計算判斷.【詳解】因為得分，所以，又因為若得分在的學生有300人，又，所以得分在的學生人數(shù)滿足.故選：B.3.在所在平面內(nèi)，點滿足，記，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由向量的線性運算法則即可算得結果.【詳解】由向量的線性運算可知.故選：C.4.已知直線與圓相交于，兩點，若劣弧與弦圍成的圖形面積為，則（）A B. C.2 D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)扇形和三角形的面積公式可得，即可根據(jù)點到直線的距離公式求解.【詳解】設，由題意可知:圓心為坐標原點，半徑為，則劣弧與弦圍成的圖形面積，由于故在單調(diào)遞增，又，所以，則，所以圓心到直線的距離為1，即，解得故選：D5.已知拋物線，其準線為，焦點為，過的直線與和從左到右依次相交于，，三點，且，則和的面積之比為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意求出，得出直線，與拋物線聯(lián)立得出，，然后求出兩個三角形的底邊，即可得出答案.【詳解】不妨設點在第一象限，如圖所示，由題可知，，，所以，所以，又，所以，故，此時，所以直線，與拋物線聯(lián)立得，所以，代入拋物線方程得，所以，易得，所以，，，故選：B.6.設函數(shù)是奇函數(shù).若函數(shù)，，則（）A.27 B.28 C.29 D.30【答案】B【解析】【分析】根據(jù)奇函數(shù)定義可得，再利用賦值法由代入計算可得結果.【詳解】由函數(shù)是奇函數(shù)可知，因此可得；又，因此；兩式相加可得；又，因此.故選：B7.當時，曲線與的交點個數(shù)為4個，則實數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意分別作出與的圖象，可得，從而可求解.【詳解】由，如圖所示，畫出在時的圖象，對于，，，令，得，，得，，由與的圖象有個交點，由圖知，解得，故B正確.故選：B.8.在同一平面直角坐標系內(nèi)，函數(shù)及其導函數(shù)的圖象如圖所示，已知兩圖象有且僅有一個公共點，其坐標為，則（）A.函數(shù)的最大值為1 B.函數(shù)的最小值為1C.函數(shù)的最大值為1 D.函數(shù)的最小值為1【答案】C【解析】【分析】AB選項，先判斷出虛線部分為，實線部分為，求導得到在R上單調(diào)遞增，AB錯誤；再求導得到的單調(diào)性，得到C正確，D錯誤．【詳解】AB選項，由題意可知，兩個函數(shù)圖像都在x軸上方，任何一個為導函數(shù)，則另外一個函數(shù)應該單調(diào)遞增，判斷可知，虛線部分為，實線部分為，故恒成立，故在R上單調(diào)遞增，則A，B顯然錯誤；對于C，D，，由圖像可知時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在處取得極大值，也為最大值，且，C正確，D錯誤．故選：C二、多選題：本題共3小題，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．9.從2024年3月1日起，新的酒駕檢驗標準開始實施，只要每血液中乙醇含量大于或等于，就是酒駕，屬于違法行為；而大于或等于則認定為醉駕，屬于犯罪行為．張師傅某次飲酒后，若其血液中的乙醇含量（單位：）與酒后代謝時間（單位：）的數(shù)量關系滿足．則張師傅此次飲酒后（）A.當代謝時間時，血液中的乙醇含量最低B.血液中的乙醇含量開始是代謝時間的增函數(shù)，然后是代謝時間的減函數(shù)C.若執(zhí)意駕車，完全不可能被認定為酒駕違法行為，更不可能被認定為醉駕犯罪行為D.若執(zhí)意駕車，飲酒后接受乙醇含量測試，將被認定為醉駕【答案】BD【解析】【分析】整理可得，結合對勾函數(shù)性質(zhì)分析單調(diào)性和最值，進而逐項分析判斷.【詳解】由題意可知：，則，由對勾函數(shù)可知：在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則在內(nèi)單調(diào)遞增，在內(nèi)單調(diào)遞減，故B正確；當時，取到最大值1，即當代謝時間時，血液中的乙醇含量最高為，即每血液中乙醇含量為，故A錯誤；因為，可知飲酒后接受乙醇含量測試，將被認定為醉駕，故C錯誤，D正確；故選：BD.10.下列說法正確的是（）A.殘差的平方和越小，模型的擬合效果越好B.若隨機變量，則C.數(shù)據(jù)，，，，，，的第80百分位數(shù)是21D.一組數(shù)，，…，（）的平均數(shù)為，若再插入一個數(shù)，則這個數(shù)的方差不變【答案】AC【解析】【分析】對于A，由一元線性回歸模型的知識即可判斷正誤；對于B，先求出隨機變量的方差，由方差的性質(zhì)可知正誤；對于C，由第百分位數(shù)的算法即可算得；對于D，容易計算得出平均數(shù)不變，而方差會變，故D錯誤.【詳解】對于A，由一元線性回歸模型的知識可知，決定系數(shù)越大，表示殘差平方和越小，即模型的擬合效果越好，故A正確；對于B，因為隨機變量服從二項分布，由二項分布的方差計算公式可知，再由方差的性質(zhì)可知，故B錯誤；對于C，從小到大排列一共有7個數(shù)據(jù)，，故第80百分位數(shù)是第6個數(shù)據(jù)，即21，故C正確；對于D，由題意可知，若再插入一個數(shù)，則平均數(shù)變?yōu)椋雌骄鶖?shù)不變，而原來的數(shù)據(jù)的方差為，同理可算得新數(shù)據(jù)的方差為，所以方差會變，故D錯誤；故選：AC.11.設曲線，直線與曲線的交點的可能個數(shù)的集合記為，則（）A. B.C. D.若，則且【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)曲線方程有，且漸近線為，當，，即曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關于y軸對稱，應用對稱性研究時直線與曲線的交點情況判斷各項正誤即可.【詳解】當有且漸近線為，當有，如下圖示，曲線上半部分為雙曲線的一部分，下半部分為橢圓的一部分，且曲線關于y軸對稱，根據(jù)對稱性，只需討論的情況，討論如下：當，時，直線與曲線無交點；時，直線與曲線有1個交點；時，直線與曲線有2個交點；當，時，如下圖直線，隨變化過程，由圖知，直線與橢圓部分相切為界，即有1個交點；此時不變，，直線與曲線有2個交點，，直線與曲線無交點，所以直線與曲線的交點個數(shù)有三種可能；時，，如下圖直線與曲線有2個交點；當，如下圖，分別以直線與曲線雙曲線、橢圓部分相切為界，直線在雙曲線部分相切線上方時，直線與曲線恒有1個交點，直線與雙曲線部分相切時，直線與曲線恒有2個交點，直線在橢圓相切線下方時，直線與曲線無交點，直線與橢圓部分相切時，直線與曲線有1個交點，直線在兩條相切線之間時，直線與曲線有3個交點，綜上，，A對；對于直線恒過點，隨的變化與曲線位置，如下圖示，時直線與曲線恒有2個交點；時直線與曲線恒有1個交點；所以與曲線的交點可能有兩種可能，即，B錯；對于，以直線與橢圓部分相切、直線與雙曲線漸近線平行為界，聯(lián)立，則且，若，可得，如下圖示，當時，直線與曲線有2個交點；當或時，直線與曲線有1個交點；當時，直線與曲線無交點；所以與曲線的交點可能有兩種可能，即，C對；結合A分析，時存在直線與曲線有3個交點，而其它情況不存在，此時，假設，顯然直線與曲線有且僅有1個交點，不符合，所以，結合對稱性，直線與曲線有3個交點，必有且，D對.故選：ACD三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.曲線在點處的切線方程是____________.【答案】【解析】【分析】應用導數(shù)的幾何意義求切線方程即可.【詳解】由題設，則切線斜率，又，得，所以曲線在點處的切線方程是，所以切線方程為.故答案為：13.設為坐標原點，為橢圓的上頂點，點在上，線段交軸于點．若，且，則的離心率等于______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)所給的角確定B所在直線，設出B點坐標，再由三角形相似得出B點坐標代入橢圓方程，化簡即可得解.【詳解】因為，所以直線的斜率為或，不妨取，則如圖，設，過作軸于點，由∽，，，可得，即，故，代入橢圓方程可得：，即，解得，所以.故答案為：14.數(shù)陣圖是將一些數(shù)按照一定要求排列而成的某種圖形，簡稱數(shù)陣，數(shù)陣是由幻方演化出來的另一種數(shù)字圖，有圓、多邊形、星形、花瓣形、十字形，甚至多種圖形的組合，變幻多端，由若干個互不相同的數(shù)構成等腰直角三角形數(shù)陣，如圖，其中第一行1個數(shù)，第二行2個數(shù)，第三行3個數(shù)……以此類推，一共10行，設是從上往下數(shù)第行中的最大數(shù)，則的概率為____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)古典概型逐個得出概率總結規(guī)律即可解題.【詳解】一共10行，第10行需要10個數(shù)，則最大數(shù)在第10行概率為,第9行需要9個數(shù)，則剩余數(shù)中最大數(shù)在第9行的概率為第n行需要n個數(shù)，則剩余數(shù)中最大數(shù)在第n行的概率為滿足的概率為.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．15.已知，函數(shù)．（1）若，判斷的單調(diào)性；（2）若，求．【答案】（1）在上單調(diào)遞增，在上遞減.（2）【解析】【分析】（1）計算的導函數(shù)，求以及的解，從而得出的單調(diào)性；（2）依據(jù)第（1）問結論，當時，求時的取值，并判斷時不成立可得結果.【小問1詳解】解：函數(shù)，定義域為，，因為，令，解得：，所以當時，；當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上遞減.【小問2詳解】由（1）可知，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.若，則，即，代入可得：，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則，即恒成立，且所以，即.當時，恒成立，即在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立，故不成立，所以.16.如圖，在邊長為2的正三角形中，，分別為，的中點，將沿翻折至，使得.（1）證明：平面平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明見解析（2）.【解析】【分析】（1）要證面面垂直，首先證線面垂直，即先證面，再由垂直于平面內(nèi)兩條相交直線即可證明；（2）可以利用等體積法求得點到面的距離，再由線面角的定義可得夾角的正弦值為，當然也可以利用幾何法作輔助線或者直接建系利用空間向量的數(shù)量積求得線面角.【小問1詳解】連接，因為為等邊三角形，為中點，則，又，且面，面，，面，又面，所以平面平面.【小問2詳解】解法一：（等體積法）過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，面；又，分別為，中點，翻折后，，，由對稱性可知，又，所以，由等面積得，設直線和平面所成角為，點到面的距離為，由得：，又，，所以，，故直線與平面所成角的正弦值為.解法二：（幾何法）分別取，的中點，，連接，，，過點作，為等邊三角形，，分別為，中點，，，且，則面；面，面面，平面平面，又，面，，面，所以點到面的距離即為，翻折后，，，由對稱性可知，又，由勾股定理的逆定理可知，所以，在中，，，故邊上的高為，由等面積得，設直線和平面所成角為，所以，故直線與平面所成角的正弦值為.解法三：（坐標法）過點作，垂足為，平面平面，且平面平面，面，又因為，分別為，中點，所以翻折后，，，由對稱性可知，又，所以，由等面積得，因此以為坐標原點，，分別為軸，軸建系如圖，則，，，，，設面的法向量為，，，則不妨令，則法向量，設直線和平面所成角為，則，故直線與平面所成角的正弦值為.17.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，離心率為.過點的直線分別交的左、右兩支于，兩點，且.（1）求的值；（2）求的取值范圍；（3）若，證明：.【答案】（1）（2）（3）證明見解析【解析】【分析】（1）設直線與軸所成銳角為，則，同理得出，，代入即可.（2）設直線為，與雙曲線聯(lián)立，韋達定理，由（1）得，整體代入化簡即可得出答案；（3）當時，則，，由（2）得，設、的中點為，證出即可得出結論.【小問1詳解】設直線與軸所成銳角為，則，同理得出，，因為，即，即，因為，同號且，得，所以，則；【小問2詳解】設直線為，聯(lián)立：，得，則，，；因為直線交的左、右兩支于、兩點，所以，則，由（1）知，即，化簡得，由，所以，即，則；【小問3詳解】當時，則，，由（2）得，設、的中點為，則，，又，所以，那么，所以，由三線合一知，.18.某車企為考察選購新能源汽車的款式與性別的關聯(lián)性，調(diào)查100人購買情況，得到如下列聯(lián)表：新能源汽車款新能源汽車款總計男性5010女性251540總計25100（1）求；（2）根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，能否認為選購該新能源汽車的款式與性別有關聯(lián)？（3）假設用樣本估計總體，用頻率估計概率，所有人選購汽車的款式情況相互獨立.若從購買者中隨機抽取3人，設被抽取的3人中購買了B款車的人數(shù)為，求的數(shù)學期望.附：，.0100.050.0100.0052.7063.8416.6357.879【答案】（1），；（2）與性別有關（3）【解析】【分析】（1）利用表格數(shù)據(jù)直接計算即可.（2）列出零假設，計算，再進行獨立性檢驗即可.（3）先判斷服從二項分布，再利用二項分布的期望公式求解即可.【小問1詳解】由題意得，.【小問2詳解】零假設為：選購新能源汽車的款式與性別無關聯(lián).根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，可得，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，推斷不成立，可以認為選購車的款式與性別有關，此推斷犯錯誤的概率不大于0.05；【小問3詳解】隨機抽取1人購買B款車的概率為，X的可能取值有，由題意得，由二項分布的期望公式得.19.定義：任取數(shù)列中相鄰的兩項，若這兩項之差的絕對值為常數(shù)，則稱數(shù)列具有“性質(zhì)”.已知項數(shù)為的數(shù)列的所有項之和為，且數(shù)列具有“性質(zhì)”.（1）若，數(shù)列具有“性質(zhì)2”，且，，寫出的所有可