綜合測試題

線性代數(shù)(經(jīng)管類)綜合試題一

(課程代碼4184)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請

將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.設(shè)

D二二MWO,則D1==

().

ATMB.2MC.-6MD.6M

2.設(shè)A.B.C為同階方陣，若由AB=AC必能推出B=C.則

A應(yīng)滿足

().

A.A....B.....C.|A|....D.|A|W()

3.設(shè)A,B均為n階方陣，則

().

A.|A+AB|=O,則|A|=O或|E+B|=OB.(A+B)2=A2+2AB+B2

C.當(dāng)AB=O時(shí)，有A=O或B=OD.(AB)-1=B-1A-1

4.二階矩陣A,|A|=1,則A?1二().

??.........D?

5.設(shè)兩個(gè)向量組與，則下列說法正確的是().

A.若兩向量組等價(jià)，則s=t.

B.若兩向量組等價(jià)，則r()=r()

C.若s=t,則兩向量組等價(jià).

口.若「()=r(),則兩向量組等價(jià).

6.向量組線性相關(guān)的充分必要條件是().

A.中至少有一個(gè)零向量

B.中至少有兩個(gè)向量對應(yīng)分量成比例

C.中至少有一個(gè)向量可由其余向量線性表示

D.可由線性表示

7.設(shè)向量組有兩個(gè)極大無關(guān)組與，則下列成立的是

).

..A.r與s未必相....B..…m

C...........D..…m

8.對方程組Ax=b與其導(dǎo)出組Ax=o,下列命題正確的是

).

A.A..0有解時(shí),A肘必有解.

B.A..0有無窮多解時(shí),A..b有無窮多解.

C.A..b無解時(shí),A..o也無解.

D.A..b有惟一解時(shí)，A..0只有零解.

9.設(shè)方程組有非零解，則k=().

A....B.....C......D.1

lO.n階對稱矩陣A正定的充分必要條件是().

A.|A|>.......B.存在n階方陣C使A=CTC

C.負(fù)慣性指標(biāo)為零D.各階順序主子式均為正數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請?jiān)诿?/p>

小題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.四階行列式D中第3列元素依次為-1,2,0/，它們的余子式的

值依次為5,3,?7,4,則口=.

12.若方陣A滿足A2二A,且AWE,則|A仁

13.若A為3階方陣，且，則12Al二

14.設(shè)矩陣的秩為2,則t二

15.設(shè)向量=(6,8,0),=(4,-3,5),則(,)=

16.設(shè)n元齊次線性方程組Ax=o,r(A)=r<n,則基礎(chǔ)解系含有解

向量的個(gè)數(shù)為個(gè).

17.設(shè)=(1,1,0),=(0,1,1),二(0,0,1)是R3的基，則=(1,2,3)

在此基下的坐標(biāo)為

18.設(shè)A為三階方陣，其特征值為1,-1,2,則A2的特征值

為,

19.二次型/。］,々，工3)=2%；+3x；-工；一4%［々+2々&的矩陣

A=.

20.若矩陣A與B=相似，則A的特征值為

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

25.已知，求A的特征值及特征向量，并判斷A能否對角化，若能,

求可逆矩陣P,使P-1AP=A（對角形矩陣）.

26.用配方法將下列二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形:

,與）=X；+-xj+4為/一4-巧巧一4巧巧

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)向量，證明向量組是R3空間中的一個(gè)基.

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題二

（課程代碼4184）

一、單項(xiàng)選擇題（木大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請將

其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

210

1.若三階行列式13l=o,則心（）.

k21

A.1B.OC.-1D.-2

2.設(shè)A.B為n階方陣，則成立的充要條件是（）.

A.A可逆B.B可逆C.|A|=|B|D.AB=BA

3.設(shè)A是〃階可逆矩陣,A*是A的伴隨矩陣，則（）.

A.B.

C.D.

4.矩陣的秩為2,則人=（）.

A.2B.1C.OD.

5.設(shè)3X4矩陣A的秩r（A）=l,是齊次線性方程組Ax=o的三個(gè)

線性無關(guān)的解向量，則方程組的基礎(chǔ)解系為（）.

A.B.

C.D.

6.向量q=（1,2,3）,%=（2,2,2）,4=30,外線性相關(guān)，則（）.

A.k=-4B.k=4C.k=-3D.k=3

7.設(shè)Ui,“2是非齊次線性方程組的兩個(gè)解，若CM-。2町是其

導(dǎo)出組4廠。的解，則有（）.

A.cl+c2=1B.cl=c2C.cl+c2=0D.cl=2c2

8.設(shè)A為n（n22）階方陣，且A2=E,則必有

）.

A.A的行列式等于1B.A的秩等于

C.A的逆矩陣等于ED.A的特征值均為1

9.設(shè)三階矩陣A的特征值為2,1,1,則A-1的特征值為

（）.

A.1,2B.2,1,1C.,1D.,1,1

10.二次型/（2,尢2，工3）=%；+2￥+3工；是（）.

A.正定的B.半正定的C.負(fù)定的D.不定的

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請?jiān)诿啃?/p>

題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.=.

12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=4,則12A仁.

13.設(shè)A=,B=,則ATB=.

14.設(shè)A=，則A?l=.

15.向量尸=（—1,2,5）表示為向量組島=（1,0,O）,=（0,L。），

的線性組合式為.

16.如果方程組有非零解，則卜=.

17.設(shè)向量與正交，則2=.

18.已知實(shí)對稱矩陣A=，寫出矩陣A對應(yīng)的二次型.

19.已知矩陣A與對角矩陣A=相似，則A2=.

20.設(shè)實(shí)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)為

3,則其規(guī)范形為.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

.Vyyy

vX

21.計(jì)算行列式。=yy的值.

VyXy

VyyX

22.設(shè)矩陣A=,B=，求矩陣A-1B.

23.設(shè)矩陣，求k的值，使A的秩r(A)分別等于1,2,3.

24.求向量組的秩和一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極

大線性無關(guān)組線性表示.

25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并用基礎(chǔ)解系表示其通解.

26.已知矩陣，求正交矩陣P和對角矩陣A,使P?1AP=A.

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)向量組線性無關(guān)，證明：向量組

十%,?+%+%，???"1+%+.?.+a、也線性無關(guān).

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題三

（課程代碼4184）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請

將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.當(dāng)（）成立時(shí)，階行列式的值為零.

A.行列式主對角線上的元素全為零

B.行列式中有嗎=2個(gè)元素等于零

C.行列式至少有一個(gè)5-1）階子式為零

D.行列式所有5-1）階子式全為零

2.已知均為n階矩陣，E為單位矩陣，且滿足ABC=E,則下列

結(jié)論必然成立的是（）.

A.ACB=...B.BCA=...C.CBA=...D.BAC=.

3.設(shè)A,B均為n階可逆矩陣，則下列等式成立的是（）.

A.（AB）-1=A-1B-….…B.（A+B）-gA-1+B-…

C.（AB）T=ATB........D.

4.下列矩陣不是初等矩陣的是（）.

<（）n（1o^i（\0、（\（）、

A.B.C.D.

U”I。1JI。2；（21J

5.設(shè)是4維向量組，則（）.

A.線性無關(guān)

B.至少有兩個(gè)向量成比例

C.只有一個(gè)向量能由其余向量線性表示

D.至少有兩個(gè)向量可由其余向量線性表示

6.設(shè)A為mXn矩陣，且m<n,則齊次線性方程組Ax=o必).

A.無解B.只有唯一零解C.有非零解D.不能確定

7.已知4元線性方程組Ax=b的系數(shù)矩陣A的秩為3,又

0=(1,2,3,4)7,%=(2,3,4,5)7是4戶方的兩個(gè)解，則Ax少的通解是().

A.(1,2,3,4)7+42,3,4,5)7B.(2,3,4,5)7+/:(1,2,3,4/

C.(l,l,l,l)/+^(1,2,3,4)7D.(123,4)7+4(1,I/,"

8.如果矩陣A與B滿足..)，則矩陣A與B相似.

A.有相同的行列式

B.有相同的特征多項(xiàng)式

C.有相同的秩

D.有相同的特征值,且這些特征值各天相同

9.設(shè)A是n階實(shí)對稱矩陣，則A是正定矩陣的充要條件是

().

A.|A|>.......B.A的每一個(gè)元素都大于零

C.….…D.A的正慣性指數(shù)為n

10.設(shè)A,B為同階方陣，且r(A)=r(B),則().

A.A與B相.…B.A與B合同

C.A與B等….D.|A|=|B|

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分,共20分)請?jiān)诿啃?/p>

題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

1234

-1034

11.行列式

-1-204

-1-2-30

12.設(shè)A為三階矩陣,|A|=-2,將矩陣A按列分塊為，其中是A

的第j列，，則|B|二

13.已知矩陣方程AX=B，其中A=,B=，則X=

14.已知向量組的秩為2,則k二

15.向量a=(1,2,-1,3)的長度同卜.

16.向量尸=(2-1,3)在基岡=(1,1,1),%=(U,0),%=(h0,0)下的坐

標(biāo)為.

17.設(shè)是4元齊次線性方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系，則矩陣A的秩

r(A)=

18.設(shè)是三階矩陣A的特征值，貝Ia=

19.若是正定二次型，則滿足

20.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,2,3,矩陣B=A2+2A,則

|B|=

三、計(jì)算題(木大題共6小題，每小題9分，共54分)

21.設(shè)三階矩陣A二,E為三階單位矩陣.

求：⑴矩陣A-2E及|A-2E|；(2).

22.已知向量組a=(1,2,2),a2=(2,4,4),a.=(1,0,3),%=(0,4,-2)

求：(1)向量組的秩；

(2)向量組的一個(gè)極大線性無關(guān)組，并將其余向量用該極大線性無

關(guān)組線性表示.

23.討論a為何值時(shí)，線性方程組有解？當(dāng)方程組有解時(shí)，求出

方程組的通解.

24.已知向量組，討論該向量組的線性相關(guān)性.

25.已知矩陣A二,

(1)求矩陣A的特征值與特征向量；

(2)判斷A可否與對角矩陣相似，若可以，求一可逆矩陣P及相應(yīng)

的對角形矩陣A.

26.設(shè)二次型/(不入2，%3)=%；-^-4X]X2-4XjX3+2x；-4x2x3-x^

(1)將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形；

(2)求二次型的秩和正慣性指數(shù).

四、證明題(本大題共6分)

27.已知A是n階方陣，日.，證明矩陣A可逆，并求

線性代數(shù)(經(jīng)管類)綜合試題四

(課程代碼4184)

一、單項(xiàng)選擇題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請

將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

1.三階行列式，則a=().

A??????B???*?C?????D.-.

2.設(shè)A,B均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是

().

A.(A+B)(A-B..A2-B……B.(AB)-..B-1A-.

C.若AB.O.則A=O或B=...D.|AB..|A.|B..

3.設(shè)A,B,AB-BA=).

A???B???C???D?

4.設(shè)矩陣的秩為2,則().

是任意實(shí)..D.以上都不對

5.設(shè)向量，則().

A.(1,0,5,4)B.(1,O,-5,4)C.(-l,0,5,4)D.(l,0,5,-6)

6.向量組四=(1,—1,1),%=(2,k,0),%=(1,2,0)線性相關(guān)，則().

A.B......C.......D...2

7.設(shè)ul,u2是非齊次線性方程組Ax=b的兩個(gè)解，若clul+c2u2

也是方程組Ax=b的解，則

().

A.cl+c.=...B.cl.c...C.cl.c..…D.cl.2c....

8.設(shè)mXn矩陣A的秩r(A)=n-3(n>3),是齊次線性方程組

Ax=o的三個(gè)線性無關(guān)的解向量，則方程組Ax=o的基礎(chǔ)解系為().

A.......B.

C.....D.

9.設(shè)三階矩陣A的特征值為1,1,2,則2A-E的特征值為..)…..…

A.3,...1,.…D.3,3,...

..10,n階對稱矩陣A為正定矩陣的充分必要條件..???.).

A.B.存在n階矩陣P,使得A=PTP

C.負(fù)慣性指數(shù)為0D.各階順序主子式均為正數(shù)

二、填空題(本大題共10小題，每小題2分，共20分)請?jiān)诿?/p>

小題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.....

12.設(shè)A為三階方陣，且|A|=2,A*是其伴隨矩陣，則|2A*|

?

13,設(shè)矩陣A，則=

14.設(shè)，則內(nèi)積=

15.若向量不能由線性表示，且「（）=2,則

4%%尸?

16.設(shè)線性方程組有解，則t二

17.方程組用+2/+3$+4%=0的基礎(chǔ)解系含有解向量的個(gè)數(shù)

是.

18.設(shè)二階矩陣A與B相似,A的特征值為?1,2,則|B|二.

19.設(shè)二次型的矩陣，則二次型….

20.用正交變換將二次型/（公々,工3）=/加化為標(biāo)準(zhǔn)形為

,則矩陣A的最小特征值為

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

Xy0...00

0Xy...00

00X...00

21.計(jì)算〃階行列式。=

?????????....???

000...Xy

y00...0X

22.解矩陣方程:

23.驗(yàn)證是R3的一個(gè)基，并求向量在此基下的坐標(biāo).

24.設(shè)向量組線性無關(guān)，令

1=-?1+%，A=2%-2a3血=2al-5%+3a?,

試確定向量組以，國,質(zhì)的線性相關(guān)性.

25.求線性方程組的基礎(chǔ)解系，并表示其通解.

，200、

26.求矩陣4=111的特征值和全部特征向量.

J-13,

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)是三維向量組，證明：線性無關(guān)的充分必要條件是任一三維

向量都可由它線性表示.

線性代數(shù)（經(jīng)管類）綜合試題五

（課程代碼4184）

一、單項(xiàng)選擇題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

在每小題列出的四個(gè)備選項(xiàng)中只有一個(gè)是符合題目要求的，請

將其代碼填寫在題后的括號內(nèi)。錯(cuò)選、多選或未選均無分。

k11

1.行列式1k-1=0,則%=().

2-11

A……B……C.-1或…

2.設(shè)A,B,C均為n階非零方陣，下列選項(xiàng)正確的是

().

A.若AB=AC,則B=……B.(A-C)..A2-2AC+C.

C.ABC.BC.........D.|ABC..|A.|B.|C...

3.設(shè)A,B均為n階方陣，則等式(A+B)(A-B)=A2-B2成立的充分

必要條件是().

A.A=....B.B=....C.A=..…D.AB二BA

4.若，則初等矩陣P=().

A.......B..

C.......D.

5.設(shè)向量a=(—l,I,2,3),/二(1,0,1,0),則3a+2/=

().

A.(?1.3.8…B.(1.3,8.9.C.(-1.0.8.6..D.(-l,3.9.8.

6.下列結(jié)論正確的........).

A.若存在一組數(shù)kl,k2,…,km,使得成立，則向量組線性相

關(guān).

B.當(dāng)kl=k2=…二km=0時(shí)，，則向量組線性無關(guān).

C.若向量線性相關(guān)，則線性相關(guān).

D.若向量線性無關(guān)，則線性無關(guān).

7.設(shè)ul.u2是非齊次線性方程組A..b的兩個(gè)解,若clul+c2u2是

其導(dǎo)出組A..0的解,.........）.

A.cl.c..…B.c1.c...C.c1.2c...D.c1+c.=..

8.線性方程組4戶。只有零解的充分必要條件是（）.

A.A的行向量組線性尢?.B.A的行向量組線性相關(guān)

C.A的列向量組線性無?.D.A的列向量組線性相關(guān)

9.設(shè)，則2的特征值為（）.

A.4=4=2B.A|==—2

C.4=%=4D.4=%=-4

10.設(shè)二次型的矩陣A是滿秩矩陣，且二次型的正慣性指數(shù)

為3,則二次型的規(guī)范形......）.

A.….B.

C...D...

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）請?jiān)诿?/p>

小題的空格中填上正確答案。錯(cuò)填、不填均無分。

11.行列式.?…

12.設(shè)A為三階方陣,|A|=2,.12A.i.....

13.設(shè)，則2A+B,….

14.設(shè)，則（AB）-l…

15.向量的單位化向量…….

16.設(shè)向量組的兩個(gè)極大無關(guān)組分別是和/和t的關(guān)系……

17.設(shè)向量組的秩為2,則...

18.設(shè)向量與正交，則........

19.已知二次型，寫出二次型f的矩陣A……

20.設(shè)三階實(shí)對稱矩陣的特征值為3,3,0,則A的秩r(A)=

三、計(jì)算題(本大題共6小題，每小題9分，共54分)

1041

0-1Z?-1

21.計(jì)算行列式

-1-1C-1

-11^0

22.已知矩陣A=，且A+X二XA,求X.

23.設(shè)A=,已知r(A)=2,求a,b的值.

24.已知線性方程組，（1）問常數(shù)al,a2,a3滿足什么條件時(shí)，方程

組有解？（2）當(dāng)方程組有無窮多解時(shí)，求出其通解（用它的一個(gè)特解

和導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系表示）.

25.設(shè)實(shí)對稱矩陣A=，求正交矩陣Q,使得Q-1AQ=A.

其中，A是對角矩陣.

26.設(shè)二次型是正定二次型，求a的取值范圍.

四、證明題（本大題共6分）

27.設(shè)向量組線性無關(guān)，可由線性表示，而不能由線性表示.證

明：向量組線性無關(guān).

綜合測試答案

綜合試題一參考答案

、12345678910

單

項(xiàng)

選

擇

題

（

本

大

題

共

10

小

題，

每

小

題2

分，

共

20

分）

題號

答案

BDABBCCDDD

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

3..15.O..16.n-r...l7.(1.1.2).18.114..

19...20.1.2.3.

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.解:

1+x100x000

11001100

=xy=xy=x2yr.

00i+y100y0

00100i1

22.解:令A(yù)=,B二

(ii-1001100

因?yàn)?AE戶-21101003210

1000-1

J170

,所以.

由AX=B,得：X=A-1B=.

23.解：將已知向量按列構(gòu)成矩陣，并對其進(jìn)行行變換:

,1-114、q-i14、

1-13-2002-6

?&&：)=2]

35031-3

、3156;42-6,

」-114、n-i14、」007

002-6011-30100

—>

011-3001-3001-3

0-26,10000；J)000

所以，極大無關(guān)組為

24.解：對方程組的增廣矩陣施以初等行變換:

‘2-111n<12-142、

A=12-142^0-53-7-3

a)105-37

J7-4116Z-2

」2-1

-0-53-7-3

、0000a-5.

若方程組有解,則，故a=5.

當(dāng)a=5時(shí)，繼續(xù)施以初等行變換得:

,原方程組的同解方程組為:

為自由未知量，令x3=x4=0,得原方程組的一個(gè)特解：

與導(dǎo)出組同解的方程組為：為自由未知量，令分別取

得到導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系：

,所以，方程組的全部解為：

,其中，cl,c2為任意常數(shù).

25.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：

2-200

\AE-A\=-IA-21=(A-2)2(/l-l),

—10A—1

所以,A的特征值為：.

對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向

量為:

9、1

1+go仇,。2不全為零?

o

對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向

量為：.

因?yàn)槿A矩陣A有三個(gè)線性無關(guān)的特征向量，，，所以.A

相似于對角矩陣，且.

26懈:

22

=[x^+4%(％-X3)+4(X2-X3)]-4(X2-X3)+2X；-xj-4x2x3

2

=+2X2-2X3)-2x；+4X2X3-

=(X]+2x?—2七)~—2(居—+匚)一3七

=(%+2%2—2()2—2(w—天)~—3芍?

令，即，

得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為:

四、證明題（本題6分）

27.證：因?yàn)椋跃€性無關(guān)（方法多樣），所以向量組是R3

空間中的一個(gè)基.

綜合試題二參考答案

一、12345678910

單

項(xiàng)

選

擇

題

(

本

大

題

共

10

小

題,

每

小

題2

分,

共

20

分）

題號

答案

CDABDCBBDA

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.512.3213.14.

15.16.-117.2

18.

1920.

二、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.解:原式二

1yyy

0無一），0o

=(x+3y)o=(x+3y)Q_y)3

0x-yo

00o工一丁

22.解：方法1

(1-10100T10100、

(AE)=-121010011110

223001<043-201J

10100、00-4-31

->011110->010-5-3

0016400164

得:

所以,

1-10

方法2|A|二-121

223

所以,

101<1-1011、

方法3(AB)=-12102—>01113

(2232b<001413

I-1011、100-2-9、

010-3-1()010-3-1()

<001413,001413

(-2-9、

AlB=-3-10

<413,

23.解：對矩陣A施行初等變換:

1-23k-23k、

A=-12^-302k-23"3

k-237<02k—23-3*

1-23k、7-23k、

02k-23k—30k-\k-\

006-3k-3kl<00(z+2)(1),

當(dāng)k=l時(shí),A，矩陣A的秩r(A)=l；

當(dāng)k=-2時(shí),A,矩陣A的秩r(A)=2；

當(dāng)kW1且kW-2時(shí),A,矩陣A的秩r(A)=3.

24.解：將所給列向量構(gòu)成矩陣A,然后實(shí)施初等行變換:

所以，向量組的秩，向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為：，且有.

25.解：對方程組的系數(shù)矩陣(或增廣矩陣)作初等行變換：

2-23、(\2-23、(\2-23、

A=23-12->0-13-4->01-34

3-57J1014J1000

J-33

’104-5、

?01-34

k0000,

與原方程組同解的方程組為：，其中x3,x4為自由未知量.

令分別取得基礎(chǔ)解系：.

方程組的通解為：.（c..c2為任意常數(shù)）

26.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：

A-1-1-1

\AE-A\=-1A-l-1=22a-3),

-1-12-1

得矩陣A的所有特征值為：.

對于，求方程組的基礎(chǔ)解系.

,得基礎(chǔ)解系為，

將此線性無關(guān)的特征向量正交化，得:

.再標(biāo)準(zhǔn)化，得：

對于4=3解方程組（3E-A）x=o.

,方程組的基礎(chǔ)解系為，

將其單位化，得：.

令P=，A二,

則P是正交矩陣，且P?1AP=A.

四、證明題（本大題共6分）

27.il:令

k]al+攵2（a+%）+&（%+%+。3）+…+工（四+%+…+%）=o，

整理得：

g+k2+...+k）a、+（k2+k3+...+ks）a2+...+（ks_}+4）%+ksas=o

因?yàn)榫€性尢關(guān)，所以

,解得：，

故線性無關(guān)….

綜合試題三參考答案

分）

題號

答案

DBDBDCDDDC

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

1-r

11.2412.613.14.-215.V15

T2)

16.(3,43)17.118.119.A>520.360

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.解:(1)A-2E=

\A-2E|=-1；

(100100、100100

⑵???1-10010—>0-10-110

2100021101

10000、

010-10

012

00、

.-.(A-2E)-1-10

2b

22.解:（1）將所給向量按列構(gòu)成矩陣A,然后實(shí)施初等行變換:

T210、U210202、

240400-24001-2

01-2000

<243-2,<07

所以,向量組的秩；

⑵向量組的一個(gè)極大無關(guān)組為:

且有%=2?,a4=2al-2a3.

23.解：對方程組的增廣矩陣實(shí)施初等行變換:

<12-222、q0040

01-1-110i-1-11

->->

0000a-\0000a-\

<0000°，0000

若方程組有解，則，從而a=L

當(dāng)a=l時(shí)，原方程組的通解方程組為:

,為自由未知量.

令，得原方程組的一個(gè)特解:(0,1,0,0)T.

導(dǎo)出組的同解方程組為：，為自由未知量.

令分別取得導(dǎo)出組的基礎(chǔ)解系:(0,1,1,0)T,(-4,1,0,1)T.

所以，方程組的通解為:(0,1,0,0)T+cl(0,1,1,0)T+c2(-4,1,0,

1)T,其中,cl,c2為任意常數(shù).

24.解：因?yàn)?

當(dāng)a=2或a二?6時(shí)，向量組相性相關(guān);

當(dāng)a六2且aX-6時(shí):向量組線性無關(guān).

25.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：

2+1—10

\AE-A\=4A-30=(A-2)(A-1)2,

-102-2

所以,A的特征值為:

對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向

量為：，(cNO).

對于，求齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系，

，得基礎(chǔ)解系：，從而矩陣A的對應(yīng)于特征值的全部特征向

量為：.

因?yàn)槿A矩陣A只有兩個(gè)線性無關(guān)的特征向量，所以.A不能相

似于對角矩陣.

26.解：(1)利用配方法，將二次型化為標(biāo)準(zhǔn)形：

/(xpx9,x3)=x：+2x^2一2X(X3+2%2-4X,X3-

=[x；+2X|（9-x3）+（/—七）2]一（x7—工3）~+—4工2%3—

2

=0+x2-x3）-2X2X3-

=（%+x2—%3）~+（x；—+x；）—

=（X]+%—工3）~+（工2—-^3）~—.

令，即，

得二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為:

⑵由上述標(biāo)準(zhǔn)形知：二次型的秩為3,正慣性指數(shù)為2.

四、證明題(本大題共6分)

27.證：由，得：A2+2A=-E,從而

A(A+2E)=~E,A(~A-2E)=E

所以A可逆，且

綜合試題四參考答案

、12345678910

單

項(xiàng)

選

擇

題

(

本

大

題

共

10

小

題，

每

小

題2

分,

共

20

分）

題號

答案

BDDAABACDD

二、填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）

11.2b-4a.12.32.13..14.2.15.3.16.1；

17.3..18.-2..19..20.-1

三、計(jì)算題（本大題共6小題，每小題9分，共54分）

21.解:按第一列展開,得:

xy...0y0...0

0x...0一I1xJy.........

原式二i+(-=x〃+(-1嚴(yán)y”

????????????????????????

00...x00…y

22.解：方法1

T10100、(\10100、

(AE)=121010-011-110

I。0()1J[()

21210()1,

11o100、1000

011-110T0101

00-12-21201-2

所以，，

故,

解法2|A|=,

所以，=

23.解：因?yàn)椋允荝3的一個(gè)基;

令，對此方程組的增廣矩陣施以初等行變換:

3

100

101叫i01-n2

A121302040102

-111-212-5

><0一3,001

27

得：，所以,

24.解:令，即

攵1（一%+%）+%2（2%—2a3）+&（2。|一5a2+3%）=o,

整理得：.

因?yàn)榫€性無關(guān).所以，而此方程組有非零解，所以向量組線

性相關(guān)…

25.解：對系數(shù)矩陣施行初等行變換:

fl1-3<11-3-r<11-3-r

A=3135—>0-2128—>01-6-4

「5-27-17;4-24—16）00°,

勺033、

-^01-6-4,

、0000?

原方程組的同解方程組為：，其中x3,x4為自由未知量.

令分別取得基礎(chǔ)解系：

方程組的通解為：（cl,c2為任意常數(shù)）

26.解：矩陣A的特征多項(xiàng)式為：

A-200

\AE-A\=-1A-l-1=(4-2)3,

-11A-3

所以A的特征值為4=%=%=2.

對于，解方程組，由于

’000、-1P

(2E-A)=-11-1T000

1<000;

可得方程組的基礎(chǔ)解系為

故A的對應(yīng)于特征值2的全部特征向量為。烏+c2a2（C],C2不全為

零）