/內(nèi)蒙古呼和浩特市2024_2025學(xué)年高三下冊(cè)2月半月考試數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合，，若，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．2．已知復(fù)數(shù)滿(mǎn)足，則的虛部為（

）A． B． C．3 D．3．函數(shù)的圖象可能為（

）A． B．C． D．4．已知，且數(shù)列是等比數(shù)列，則“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件5．已知定義在上的函數(shù)滿(mǎn)足，當(dāng)時(shí)，，則（

）A．1 B．2 C． D．-26．已知函數(shù)，且，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B．C． D．7．在正三棱臺(tái)中，，，與平面ABC所成角為，則該三棱臺(tái)的體積為（

）A． B． C． D．8．已知定義在[，]上的函數(shù)滿(mǎn)足，且當(dāng)x[，1]時(shí)，，若方程有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A．(，] B．(，]C．(，] D．(，]二、多選題（本大題共3小題）9．已知，則下列不等式正確的是（）A． B． C． D．10．設(shè)函數(shù)，則（

）A．當(dāng)時(shí)，的極大值大于0B．當(dāng)時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)C．，使在上是減函數(shù)D．，曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心的橫坐標(biāo)為定值11．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記，且，，則（

）A． B．的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)C． D．（）三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量，的模相等且?jiàn)A角為，若向量與向量垂直，則實(shí)數(shù)．13．曲線(xiàn)：與曲線(xiàn)：存在公切線(xiàn)，則的取值范圍是.14．已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，且存在唯一的整數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是．四、解答題（本大題共5小題）15．在中，內(nèi)角所對(duì)的邊分別為．已知．(1)求角的大??；(2)若的角平分線(xiàn)與邊相交于點(diǎn)，，求的周長(zhǎng)．16．如圖，在四棱錐中，平面平面，且．

(1)證明：平面平面；(2)求平面與平面夾角的正弦值．17．已知數(shù)列滿(mǎn)足：，，.(1)記，求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)記數(shù)列的前項(xiàng)和為，求.18．已知雙曲線(xiàn)：的右頂點(diǎn)，斜率為1的直線(xiàn)交于、兩點(diǎn)，且中點(diǎn).(1)求雙曲線(xiàn)的方程；(2)證明：為直角三角形；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率不為零的直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)的兩支分別交于點(diǎn)，.若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，試問(wèn)，不論直線(xiàn)的斜率如何變化，直線(xiàn)是否過(guò)定點(diǎn)?若過(guò)定點(diǎn)，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不過(guò)定點(diǎn)，說(shuō)明理由.19．已知函數(shù)(1)判斷曲線(xiàn)是否具有對(duì)稱(chēng)性，若是，求出相應(yīng)的對(duì)稱(chēng)軸或?qū)ΨQ(chēng)中心，并加以說(shuō)明；(2)若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求的取值范圍；(3)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：．

答案1．【正確答案】A【詳解】當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，，合乎題意；當(dāng)時(shí)，即當(dāng)時(shí)，由可得，解得，此時(shí).綜上所述，.故選A.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?，所以的虛部?，故選C.3．【正確答案】A【詳解】的定義域?yàn)?，因?yàn)?，所以為偶函?shù)，排除B、D.當(dāng)時(shí)，，，則，排除C選項(xiàng)，故選A.4．【正確答案】B【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為，若，則，因?yàn)椴坏扔?，所以，若時(shí)，無(wú)法得出，所以“”不是“”的充分條件；若“”，則，所以“”是“”的必要條件.所以“”是“”的必要不充分條件.故選B5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，所以，所以是?為周期的周期函數(shù)，所以.故選B6．【正確答案】C【詳解】由題意得，函數(shù)，設(shè)（），由，得從而：，又因?yàn)?，所以是上的奇函?shù)，即，又有，因?yàn)槭巧系脑龊瘮?shù)，是上的增函數(shù)，所以是上的增函數(shù)；則可得：，即，整理得：，解得：或，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選C.7．【正確答案】C【詳解】由題設(shè)，將棱臺(tái)補(bǔ)全為正棱錐，如下圖，且均為正三角形，其中為底面中心，連接，則平面，而平面，即，所以與平面ABC所成角為，而，則，所以，令的高為，結(jié)合棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征，知，所以棱臺(tái)體積.故選C.8．【正確答案】B【詳解】∵當(dāng)時(shí)，，∴當(dāng)時(shí)，，綜上，，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，∵有三個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，∴的圖像和直線(xiàn)有三個(gè)不同的交點(diǎn)，作的大致圖像如圖所示，當(dāng)直線(xiàn)和的圖像相切時(shí)，設(shè)切點(diǎn)為，∴，可得，，代入，可得，當(dāng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，由圖知，實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選B.9．【正確答案】ABC【詳解】因?yàn)椋苫静坏仁娇傻?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，又，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，A正確；所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，B正確；，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，D錯(cuò)誤；因?yàn)椋?，所以，，故，，所以，C正確..故選ABC.10．【正確答案】BD【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，，求導(dǎo)得，令得或，由，得或，由，得，于是在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在處取得極大值，極大值為，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)時(shí)，，即恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無(wú)極值點(diǎn)，故B正確；對(duì)于C，要使在上是減函數(shù)，則恒成立，而不等式的解集不可能為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，由，得曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)中心的坐標(biāo)為，故D正確.故選BD.11．【正確答案】ABD【分析】對(duì)于A項(xiàng)，對(duì)條件，求導(dǎo)可得；對(duì)于B項(xiàng)，對(duì)條件，兩邊同時(shí)除以可得；對(duì)于C項(xiàng)，反證法，假設(shè)C項(xiàng)正確，求導(dǎo)，結(jié)合條件，可得與矛盾，可判斷C項(xiàng)；對(duì)于D項(xiàng)，求出，，所以有，，，得出數(shù)列是以0為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，利用等差數(shù)列求和公式即可判斷．【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，因?yàn)椋?，即，令，得，故A正確；對(duì)于B項(xiàng)，因?yàn)?，?dāng)時(shí)，，所以的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，故B正確；對(duì)于C項(xiàng)，假設(shè)成立，求導(dǎo)得，即，又，所以，所以與矛盾，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，因?yàn)?，，所以，，，，所以有，所以?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，又因?yàn)?，，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，所以，所以，故D正確．故選ABD．12．【正確答案】2【詳解】由向量，的模相等且?jiàn)A角為，得，由向量與向量垂直，得，而，所以.13．【正確答案】設(shè)公切線(xiàn)在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義得出，整理得到，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得出其值域，即可得出的取值范圍.【詳解】設(shè)公切線(xiàn)在上的切點(diǎn)為，在上的切點(diǎn)為函數(shù)，的導(dǎo)數(shù)分別為，則公切線(xiàn)的斜率為，整理得由可知，令，則；在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，即14．【正確答案】【詳解】已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)、，則有兩個(gè)不同的解，即有兩個(gè)不同的解，進(jìn)一步變形為有兩個(gè)不同的解.設(shè)，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn).對(duì)求導(dǎo)，.令，即，則，解得，即.當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減.所以在處取得極大值，也是最大值，.，，可以得到大致的函數(shù)圖像.，.因?yàn)榇嬖谖ㄒ坏恼麛?shù)，且，，從的單調(diào)性可知，要使與的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)且存在唯一整數(shù)，則.則實(shí)數(shù)的取值范圍是.15．【正確答案】(1)(2)【詳解】（1）因?yàn)?，由正弦定理可得，，，，，即，即，∴．又，；?）因?yàn)榈慕瞧椒志€(xiàn)與邊相交于點(diǎn)，所以，即，所以，所以，又由余弦定理，即，所以，解得或（舍去），所以.16．【正確答案】(1)證明見(jiàn)解析；(2).【分析】(1)先由線(xiàn)段關(guān)系證，結(jié)合面面垂直的性質(zhì)判定線(xiàn)線(xiàn)垂直，利用線(xiàn)線(xiàn)垂直證線(xiàn)面垂直；(2)建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量計(jì)算面面角即可.【詳解】(1)由題意，則，因?yàn)椋?，因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，且平面，所以平面，因?yàn)槠矫?，所以，且平面，所以平面，又平面，所以平面平面?2)如圖，以A為原點(diǎn)，分別為軸，軸正方向，在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)A作平面ABC的垂線(xiàn)為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則，所以，，設(shè)平面的一個(gè)法向量，則，令，得，設(shè)平面的法向量，則，令，得，設(shè)平面與平面的夾角為，則，所以平面與平面夾角的正弦值為．17．【正確答案】(1)(2)353【詳解】（1）因?yàn)?，令n取，則，即，，所以數(shù)列是以1為首項(xiàng)，3為公差的等差數(shù)列，所以（2）令n取2n，則，所以，由（1）可知，；；所以18．【正確答案】(1)；(2)證明見(jiàn)詳解；(3)過(guò)定點(diǎn)，坐標(biāo)為.【詳解】（1）設(shè)，，則，，∵，兩點(diǎn)在雙曲線(xiàn)上，∴由①－②得，即，∴，∴，即，∴，又∵，∴，∴雙曲線(xiàn)的方程為：；（2）由已知可得，直線(xiàn)的方程為：，即，聯(lián)立，，則，，∵，∴，∴為直角三角形；（3）設(shè)方程為，，聯(lián)立直線(xiàn)與的方程，消去得，∵直線(xiàn)與的兩支分別交于點(diǎn)，，設(shè)，，∴得，則，，，∵，∴直線(xiàn)的方程為，由對(duì)稱(chēng)性可知，若直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，則定點(diǎn)在軸上，在直線(xiàn)的方程中，令，得∴直線(xiàn)過(guò)定點(diǎn)，定點(diǎn)坐標(biāo)為.19．【正確答案】(1)具有中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn);(2);(3)證明見(jiàn)詳解【詳解】（1）令，等價(jià)于，解得，可知的定義域?yàn)?,2，因?yàn)椋芍哂兄行膶?duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)1,0，顯然不為常函數(shù)，可知不具有軸對(duì)稱(chēng)，所以y=fx具有中心對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)中心為點(diǎn)1,0（2）因?yàn)?，則，若在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，則f'x≥0在又因?yàn)?，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，可得，解得，所以的取值范圍為.（3）由