高58級(jí)高一學(xué)期6月份月考數(shù)學(xué)試卷第Ⅰ卷（選擇題，共58分）一、單項(xiàng)選擇題（本答題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題的給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的）1.若復(fù)數(shù)滿足，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先對(duì)復(fù)數(shù)化簡(jiǎn)，然后求其軛復(fù)數(shù)即可.【詳解】若，則，則.故選：B2.已知向量與的夾角為，，，則（）.A. B. C.或 D.以上都不對(duì)【答案】B【解析】【分析】由向量模的坐標(biāo)運(yùn)算及數(shù)量積的運(yùn)算律可得，再由數(shù)量積的定義求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，又，所以，因?yàn)橄蛄颗c的夾角為，所以，所以.故選：B3.在空間中，已知為不同的直線，為不同的平面，則下列判斷正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】C【解析】【分析】借助長(zhǎng)方體模型，根據(jù)位置關(guān)系分類，易得出ABD錯(cuò)誤.【詳解】A.若，則或，故錯(cuò)誤;B.由長(zhǎng)方體可知兩個(gè)平面可相交，故錯(cuò);C.若則直線對(duì)應(yīng)向量分別是平面的法向量，由知向量夾角為，所以，即C正確;D.若，由墻角可知不一定平行，故D錯(cuò)誤.4.某批產(chǎn)品檢驗(yàn)后的評(píng)分，由統(tǒng)計(jì)結(jié)果制成如圖所示的頻率分布直方圖，下列說(shuō)法中正確的是（）A. B.評(píng)分的眾數(shù)估值為70C.評(píng)分的第25百分位數(shù)估值為67.5 D.評(píng)分的平均數(shù)估值為76【答案】C【解析】【分析】根據(jù)頻率分布直方圖中所有小矩形的面積之和為得到方程，求出，再根據(jù)平均數(shù)、百分位數(shù)及眾數(shù)的計(jì)算規(guī)則計(jì)算可得.【詳解】由題意：，解得，A錯(cuò)誤，所以平均數(shù)為，故D錯(cuò)誤；眾數(shù)為，故B錯(cuò)誤；因?yàn)?，第百分位?shù)估計(jì)為，故C正確；故選：C5.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，已知，，，則（）A. B. C. D.為鈍角三角形【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理求解或，再分類討論逐個(gè)判斷即可.【詳解】由正弦定理得，所以，因?yàn)椋曰颍嗜切斡袃煞N解，故ABC均錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，，為鈍角三角形，當(dāng)時(shí)，為鈍角三角形，故D正確.故選：D6.已知，，則（）.A. B.C. D.或【答案】C【解析】【分析】先將用兩角差的正弦公式化簡(jiǎn)得到，兩邊平方即可求出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關(guān)系求出，最后利用兩角差的正弦公式計(jì)算可得到.【詳解】因，所以，即，所以，所以，即，即，所以，因?yàn)椋?，又，所以，即，所以，所以，所?故選：C7.在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c，且，，面積為，D為邊AB上一點(diǎn)，CD是的角平分線，則（）A. B.1 C. D.【答案】B【解析】【分析】利用余弦定理，結(jié)合面積可求和，利用，可得，進(jìn)而可求得.【詳解】在中，，由余弦定理可得，所以，所以，又面積為，所以，所以，所以，所以，因?yàn)镃D是的角平分線，，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以，所?故選：B.8.如圖，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)的平面截該正方體所得的截面記為，則截面的面積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】作出輔助線，得到五邊形即為截面，根據(jù)三角形全等或相似得到各邊長(zhǎng)度，求出截面面積.【詳解】延長(zhǎng)，與直線相交于，連接與分別交于點(diǎn)，連接，則五邊形即為截面，正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)分別是的中點(diǎn)，由≌≌得，，，故，因?yàn)椤推矫?，平面，所以⊥，⊥，由勾股定理得，取的中點(diǎn)，連接，則⊥，且，由勾股定理，其中，由相似關(guān)系可知，，故.故選：D二、多項(xiàng)選擇題(本答題共3小題，每小題6分，共18分.在小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分)9.設(shè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z，原點(diǎn)為O，為虛數(shù)單位，則下列說(shuō)法正確的是（）A.若，則或B.若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，且是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則C.若，則的虛部為D.若，則點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為【答案】BD【解析】【分析】舉反例可判斷A；根據(jù)復(fù)數(shù)相等列方程組可解p、q，然后可判斷B；由虛部概念可判斷C；利用兩圓面積相減可判斷D.【詳解】A中，令，則，故A錯(cuò)誤；B中，若點(diǎn)Z的坐標(biāo)為，則，所以，整理得，所以，解得，所以，故B正確；C中，易知的虛部為，故C錯(cuò)誤；D中，記，則所以，圓的面積為，圓的面積為，所以點(diǎn)的集合所構(gòu)成的圖形的面積為，故D正確.故選：BD10.某同學(xué)擲骰子五次，分別記錄每次骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．根據(jù)該同學(xué)記錄的結(jié)果，判斷可能出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6的是（）A.平均數(shù)為3，中位數(shù)為2 B.中位數(shù)為3，眾數(shù)為2C.平均數(shù)為2，方差為2.4 D.中位數(shù)為3，方差為2.8【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)題意舉例判斷即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，1，2，5，6時(shí)，滿足平均數(shù)為3，中位數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故A正確；對(duì)于B，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為2，2，3，4，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，眾數(shù)為2，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故B正確；對(duì)于C，若平均數(shù)為2，且出現(xiàn)6點(diǎn)，則方差，故平均數(shù)為2，方差為2.4時(shí)，一定沒(méi)有出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)投擲骰子出現(xiàn)結(jié)果為1，2，3，3，6時(shí)，滿足中位數(shù)為3，平均數(shù)為：，方差為，可以出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)6，故D正確．故選：ABD11.如圖，在直棱柱中，底面是邊長(zhǎng)為2菱形，，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），則下列結(jié)論正確的是（）A.B.平面與平面所成角的余弦值為C.若，則點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為D.若點(diǎn)在直線上，則的最小值為【答案】ABC【解析】【分析】通過(guò)線面垂直可判斷線線垂直，判斷A的真假；利用投影面積法求二面角的余弦，判斷B的真假；弄清點(diǎn)的軌跡，再求其長(zhǎng)度，可判斷C的真假；利用表面展開，轉(zhuǎn)化為兩點(diǎn)之間，直線段最短求的最小值，判斷D的真假.【詳解】如圖1，連接，由菱形可得．再由直棱柱，可得底面．又因?yàn)榈酌?，所以，而平面，所以平面，又因?yàn)槠矫妫?，故A正確；，，，所以為直角三角形，且，其在底面投影的三角形的面積為，由投影面積法可得平面和平面所成角的余弦值為，故B正確；如圖2，動(dòng)點(diǎn)在側(cè)面內(nèi)（包含邊界），過(guò)作，垂足為，由直棱柱，所以平面平面，平面平面，平面，且，所以平面.而側(cè)面，即有，由菱形邊長(zhǎng)為2，，可得，再由勾股定理得：，則點(diǎn)的軌跡是以為圓心，以為半徑的圓?。ㄈ鐖D3中），則由側(cè)面正方形，可知，，可得，所以點(diǎn)軌跡的長(zhǎng)度為，故C正確；由為直角三角形，且為等腰直角三角形，將與展開成一個(gè)平面圖，如圖4，則；由余弦定理得：，即，故的最小值為，故D錯(cuò)誤．故選：ABC第Ⅱ卷（非選擇題，共92分）三、填空題12.已知向量在向量方向上的投影向量為，且，則______(結(jié)果用數(shù)值表示)【答案】【解析】【分析】根據(jù)投影向量的計(jì)算公式，結(jié)合數(shù)量積的定義式求解.【詳解】因?yàn)橄蛄吭谙蛄糠较蛏系耐队跋蛄繛?，即，故，故答案為?3.函數(shù)，其中，若，使得，則的取值范圍為______．【答案】【解析】【分析】由已知得在的圖象至少有2個(gè)最大值，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)即可求解．【詳解】由題可知，在的圖象至少有2個(gè)最大值，當(dāng)時(shí)，，解得，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，使得，故答案為：．14.在各棱長(zhǎng)均相等的正四面體中，取棱上一點(diǎn)T，使，連接，三棱錐的內(nèi)切球的球心為M，三棱錐的內(nèi)切球的球心為N，則平面與平面的夾角的正弦值是__________．【答案】【解析】【分析】畫出立體圖形和截面圖形，結(jié)合題意分別確定的位置，再由幾何關(guān)系求出正弦值.【詳解】設(shè)三棱錐的內(nèi)切球分別與面、面相切于兩點(diǎn)，易知平分，平分，易知，取中點(diǎn)為，則在的平分線上，同理三棱錐的內(nèi)切球球心在的角平分線上，易知面，故，同理，于是為平面與平面的夾角的平面角，設(shè)正四面體棱長(zhǎng)為，則，，所以.故答案為：.四、解答題（本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟）15.如圖，AB是O的直徑，PA垂直于O所在的平面，C是圓周上不同于A，B的一點(diǎn)，E，F(xiàn)分別是線段PB，PC的中點(diǎn)，.（1）求證：BC平面AEF；（2）求點(diǎn)P到平面AEF的距離.【答案】（1）證明見(jiàn)解析;（2）【解析】【分析】（1）利用中位線，得到線線平行，即可證明.（2）利用等體積法，即可求點(diǎn)面距離.【小問(wèn)1詳解】證明：因?yàn)镋，F(xiàn)分別是線段PB，PC的中點(diǎn)，所以,又平面AEF，又平面AEF，所以BC平面AEF【小問(wèn)2詳解】因?yàn)镻A垂直于O所在的平面，所以,因?yàn)镃是圓周上不同于A，B的一點(diǎn),所以,又平面PAC,所以平面PAC,又，所以平面PAC,所以,，所以，，,,又因?yàn)?，F(xiàn)是線段PC的中點(diǎn)，所以,所以,設(shè)點(diǎn)P到平面AEF的距離為.所以，又，所以點(diǎn)P到平面AEF的距離為.16.中，角A，B，C的對(duì)邊為a，b，c，已知，且．（1）證明：為等邊三角形；（2）如圖，若邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，BA上，將沿著線段EF對(duì)折，頂點(diǎn)恰好落在邊上的點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求重疊部分的面積．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）由兩角和與差的余弦公式得出，根據(jù)正弦定理邊化角得出，再根據(jù)同角三角函數(shù)的平方關(guān)系即可求解，代入得出即可證明；（2）由余弦定理得出，再根據(jù)三角形面積公式求解即可．【小問(wèn)1詳解】證明：由，得，展開得．①由可得．②①－②得，因?yàn)?，所以，解得或（舍去）．又，所以．把代入，得，則．所以，故是等邊三角形．【小問(wèn)2詳解】由及，得，設(shè)，則．在中，由余弦定理可得，即，解得．同理，在中，由余弦定理可得．又，所以．17.已知函數(shù)．（1）如圖，在中，角的對(duì)邊分別為，點(diǎn)為的中點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，分別等于的最小值、最大值，且，求的長(zhǎng)．（2）當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程有三個(gè)不同的解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等變換化簡(jiǎn)，根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)求出，進(jìn)而由求得，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算計(jì)算，即可得出答案；（2）由題意或，作出函數(shù)的圖象，由圖可知，有一解，從而有兩解，即函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，數(shù)形結(jié)合即可得出結(jié)果.【小問(wèn)1詳解】由題意得，，當(dāng)時(shí)，，的值域是，則，，，，或，或，，，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．小問(wèn)2詳解】由得，或．函數(shù)的圖象如下：由圖可知，有一解，即，有兩解，即函數(shù)與有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，18.如圖，直角梯形中，，，，，，點(diǎn)為線段不在端點(diǎn)上的一點(diǎn)，過(guò)作的平行線交于，將矩形翻折至與梯形垂直，得到六面體．（1）若，求的長(zhǎng)；（2）求異面直線與所成角余弦值的最小值．【答案】（1）5（2）【解析】【分析】（1）由翻折后的位置關(guān)系和可得平面，進(jìn)而得，進(jìn)而可得；（2）先在平面中找到，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求余弦的最小值，先利用求其正切的最大值，進(jìn)而可得.【小問(wèn)1詳解】連接，平面平面，交線為，由，有平面，又平面，所以,當(dāng)，，所以平面，又平面，所以，此時(shí)與相似，故，設(shè)，由，解得，所以.【小問(wèn)2詳解】過(guò)作的平行線交于點(diǎn)，連接，由，且，得四邊形是平行四邊形，故，所以即為異面直線與所成的角，設(shè)，，所以銳角正切值的最大值為，此時(shí)余弦值有最小值，所以異面直線與所成角余弦值的最小值為.19.利用平面向量的坐標(biāo)表示，可以把平面向量的概念推廣為坐標(biāo)為復(fù)數(shù)的“復(fù)向量”，即可將有序復(fù)數(shù)對(duì)（其中）視為一個(gè)向量，記作．類比平面向量可以定義其運(yùn)算，兩個(gè)復(fù)向量，的數(shù)量積定義為一個(gè)復(fù)數(shù)，記作，滿足，復(fù)向量的模定義為．（1）設(shè)，，為虛數(shù)單位，求復(fù)向量、的模；（2）設(shè)、是兩個(gè)復(fù)向量，①已知對(duì)于任意兩個(gè)平面向量，，（其中），成立，證明：對(duì)于復(fù)向量、，也成立；②當(dāng)時(shí)，稱復(fù)向量與平行．若復(fù)向量與平行（其中為虛數(shù)單位，），求復(fù)數(shù)．【答案】（1），（2）①證明見(jiàn)解析；②【解