班級姓名學(xué)號分?jǐn)?shù)11.1空間幾何體、11.2平面的基本事實與推論（B卷·提升能力）（時間：120分鐘，滿分：150分）一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個小題紿岀的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1．如圖直角是一個平面圖形的直觀圖，斜邊，則原平面圖形的面積是（

）A． B． C．4 D．【答案】A【解析】根據(jù)斜二測畫法規(guī)則可求原平面圖形三角形的兩條直角邊長度，利用三角形的面積公式即可求解.【詳解】由題意可知為等腰直角三角形，，則，所以原圖形中，，，故原平面圖形的面積為.故選：A2．如圖所示的螺母可以看成一個組合體，對其結(jié)構(gòu)特征最接近的表述是（

）A．一個六棱柱中挖去一個棱柱 B．一個六棱柱中挖去一個棱錐C．一個六棱柱中挖去一個圓柱 D．一個六棱柱中挖去一個圓臺【答案】C【解析】【分析】根據(jù)組合體外部輪廓圖的結(jié)構(gòu)特征和挖掉的幾何體的結(jié)構(gòu)特征即可得解.【詳解】螺母這個組合體的外部輪廓圖是六棱柱，由于螺母是旋擰在螺桿上的，則挖去的部分是圓柱，選項C表述準(zhǔn)確.故選：C3．已知直三棱柱的各頂點都在同一球面上，且該棱柱的體積為，，，，則該球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】利用三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，求出，再求出外接圓的半徑，即可求得球的半徑，從而可求球的表面積.【詳解】∵三棱柱的側(cè)棱垂直于底面，棱柱的體積為，，，，∴，∴∵，∴.設(shè)外接圓的半徑為R，則，∴.∴外接球的半徑為，∴球的表面積等于.故選：C.【點睛】本小題主要考查根據(jù)柱體體積求棱長，考查幾何體外接球有關(guān)計算，屬于基礎(chǔ)題.4．已知，是球的球面上兩點，，為該球面上的動點，若三棱錐體積的最大值為，則球的表面積為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】根據(jù)給定條件確定出三棱錐體積最大時的點C位置，再求出球半徑即可得解.【詳解】設(shè)球的半徑為，因，則的面積，而，且面積為定值，則當(dāng)點到平面的距離最大時，最大，于是，當(dāng)是與球的大圓面垂直的直徑的端點時，三棱錐體積最大，最大值為，解得，所以球的表面積為.故選：D5．埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇跡之一，它的形狀可視為一個正四棱錐，以該四棱錐的高為邊長的正方形面積等于該四棱錐一個側(cè)面三角形的面積，則其側(cè)面三角形底邊上的高與底面正方形的邊長的比值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】設(shè)，利用得到關(guān)于的方程，解方程即可得到答案.【詳解】如圖，設(shè)，則，由題意，即，化簡得，解得（負值舍去）.故選：C.【點晴】本題主要考查正四棱錐的概念及其有關(guān)計算，考查學(xué)生的數(shù)學(xué)計算能力，是一道容易題.6．在棱長為的正方體中，為的中點，則過、、三點的平面截正方體所得的截面面積為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】取中點，連接、、、、，證明出，故四點、、、共面，所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，根據(jù)已知，即可求解.【詳解】取中點，連接、、、、，因為且，所以，四邊形為平行四邊形，所以，，、分別為、的中點，所以，且，所以，，故、、、四點共面，所以過、、三點的平面截正方體所得的截面為等腰梯形，其中，，，過點、在平面內(nèi)分別作的垂線，垂足點分別為、，因為，，，所以，，故，在平面內(nèi)，因為，，，所以，四邊形為矩形，則，所以，，所以，梯形的高，梯形的面積.故選：B.7．如圖所示，半徑為4的球O中有一內(nèi)接圓柱.當(dāng)圓柱的側(cè)面積最大時，球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差為A． B． C． D．【答案】C【解析】設(shè)圓柱的底面半徑為、高分別為，得，即，得到圓柱的側(cè)面積，求得圓柱的側(cè)面積最大值，進而可求解球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差，得到答案．【詳解】由題意知，球的半徑，所以球的表面積為.設(shè)圓柱的底面半徑為、高分別為，則，得，即，所以圓柱的側(cè)面積，所以當(dāng)，即時，圓柱的側(cè)面積最大，最大值為.此時球的表面積與圓柱的側(cè)面積之差是.【點睛】本題主要考查了球的表面積和圓柱的側(cè)面積公式的應(yīng)用，以及組合體的性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中根據(jù)組合體的性質(zhì)，得到圓柱的底面半徑和高的關(guān)系，求得圓柱的側(cè)面積的表示是解答的關(guān)鍵，著重考查了空間想象能力，以及推理與運算能力．8．如圖正方體，棱長為1，P為中點，Q為線段上的動點，過A?P?Q的平面截該正方體所得的截面記為.若，則下列結(jié)論錯誤的是（

）A．當(dāng)時，為四邊形 B．當(dāng)時，為等腰梯形C．當(dāng)時，為六邊形 D．當(dāng)時，的面積為【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，依次討論各選項，作出相應(yīng)的截面，再判斷即可.【詳解】解：當(dāng)時，如下圖1，是四邊形，故A正確；當(dāng)時，如下圖2，為等腰梯形，B正確：當(dāng)時，如下圖3，是五邊形，C錯誤；當(dāng)時，Q與重合，取的中點F，連接，如下圖4，由正方體的性質(zhì)易得，且，截面為為菱形，其面積為，D正確.故選：C二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9．設(shè)P表示一個點，表示兩條直線，表示兩個平面，下列說法不正確的是（）A．若，，則B．若，，則C．若，，，，則D．若，，，則【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)公理及直線在面內(nèi)的定義，逐一對四個結(jié)論進行分析，即可求解．【詳解】當(dāng)時，P∈a，，但α，A錯；當(dāng)a∩β=P時，,B錯；∵，P∈b，∴，∴由直線a與點P確定唯一平面α，又，由a與b確定唯一平面，該平面經(jīng)過直線a與點P，∴該平面與α重合，∴，故C正確；兩個平面的公共點必在其交線上，故D正確.故選：AB.10．下列說法正確的是（

）A．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面B．圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點C．有一個面為多邊形，其余各面都是三角形的幾何體叫作棱錐D．若棱錐的側(cè)棱長與底面多邊形的邊長相等，則該棱錐不可能是正六棱錐【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)幾何體的定義及結(jié)構(gòu)特征即可判斷各個選項.【詳解】選項A：用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面，故A正確；選項B：由圓臺的概念知圓臺的任意兩條母線延長后一定交于一點，故B正確；選項C：根據(jù)棱錐的定義，其余各面的三角形必須有一個公共的頂點，故C錯誤；選項D：若六棱錐的底面邊長都相等，則底面為正六邊形，由過底面中心和頂點的截面知，若以正六邊形為底面，側(cè)棱長一定大于底面邊長，故D正確．故選：ABD.11．正方體中，E為棱CC1的中點，則下列說法正確的是（

）A．DC平面AD1EB．⊥平面AD1EC．直線AE與平面所成的正切值為D．平面AD1E截正方體所得截面為等腰梯形【答案】CD【解析】【分析】利用線面平行的定義可判斷A；利用線面垂直的判定定理可判斷B；作出線面角，在三角形中求解即可判斷C；根據(jù)兩條平行線確定一個平面即可判斷D.【詳解】對于A，根據(jù)題意可得，因為與平面AD1E相交，則與平面AD1E也相交，故A不正確；對于B，由正方體的性質(zhì)可知平面，所以，又⊥，所以平面，若⊥平面AD1E，則平面平面，與平面平面矛盾，故B不正確；對于C，取的中點，連接，,則四邊形為平行四邊形，所以，又平面，所以為直線與平面所成的角，等于AE與平面所成的角，設(shè)正方體的邊長為，則，，所以，故C正確；對于D，取的中點，連接，則，所以，且，所以四邊形為等腰梯形，即平面AD1E截正方體所得截面為等腰梯形，故D正確；故選：CD.【點睛】本題考查了線、面之間的位置關(guān)系、線面角以及正方體的截面形狀，考查了考生的空間想象能力，屬于中檔題.12．在空間直角坐標(biāo)系中，棱長為1的正四面體的頂點A，B分別為y軸和z軸上的動點（可與坐標(biāo)原點O重合），記正四面體在平面上的正投影圖形為S，則下列說法正確的有（

）A．若平面，則S可能為正方形B．若點A與坐標(biāo)原點O重合，則S的面積為C．若，則S的面積不可能為D．點D到坐標(biāo)原點O的距離不可能為【答案】ABD【解析】【分析】對于A，舉例說明可能性成立即可；對于B，當(dāng)點A與坐標(biāo)原點O重合時，到的距離均為，再利用正四面體兩個面所成二面角的正弦值為，從而可求出結(jié)果；對于C，當(dāng)位于軸上時，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中，從而可求得結(jié)果；對于D，由正四面體的性質(zhì)可知到的距離為，當(dāng)時，到的距離最大，進而可求出的最大值【詳解】對于A，如圖，當(dāng)B為時，正投影圖形為正方形，所以A正確；對于B，點A與坐標(biāo)原點O重合時，兩點已定，即在軸上，此時正四面體在空間中的形態(tài)已定，到的距離就是正三角形的高，均為，則正四面體在平面上的正投影圖形為以為腰，1為底的等腰三角形，所以，所以B正確；對于C，當(dāng)位于軸上時，且且兩兩垂直，故把正四面體放入外接正方體中,如圖所示，可知投影到面為正方形，且邊長為，此時，所以C錯誤；對于D，頂點到的距離為，設(shè)點到的距離為，則,得，當(dāng)且僅當(dāng)時，到的距離最大，且為，所以的最大值為，所以D正確，故選：ABD【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查空間直角坐標(biāo)系中正四面體的有關(guān)面積、距離問題，解題的關(guān)鍵是靈活運用正四面體的性質(zhì)，考查空間想象能力和計算能力，屬于中檔題三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計20分.13．已知正三棱柱的側(cè)棱長為，底面邊長為2，則該三棱柱的體積為___________.【答案】6【解析】【分析】利用棱柱的體積公式求三棱柱的體積.【詳解】由題設(shè)，所以該三棱柱的體積為.故答案為：614．將一個邊長為2的正三角形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的表面積為_____________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)正三角形繞一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個同底的圓錐求解.【詳解】如圖所示：正三角形繞AB所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，得到幾何體是兩個同底的圓錐，圓錐的底面半徑為,所以所得幾何體的表面積為，故答案為：15．已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長為2，D，E，F(xiàn)分別為PA，PB，PC的中點，則此三棱錐的外接球被平面DEF所截的截面面積為_______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)正四面體的邊長，求得外接球半徑，并求得外接球球心到被平面DEF所截的截面的距離，從而求得外接球被平面DEF所截的截面所在的圓的半徑，從而求得面積.【詳解】作平面于N點，交平面于M點，取三棱錐P﹣ABC的外接球球心為O，則設(shè)外接球半徑，易知，，則在中，，解得又D，E，F(xiàn)分別為PA，PB，PC的中點，則則球心到平面DEF的距離此三棱錐的外接球被平面DEF所截的截面為以為半徑的圓，則截面面積為故答案為：16．下列命題中，正確的是______．（填序號）①以直角三角形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將矩形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是圓柱；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，將等腰三角形旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體是圓錐；⑤用一個平面去截圓柱，得到的截面是一個圓面或者矩形面．【答案】②③④【解析】【分析】對于①：舉反例：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐構(gòu)成的組合體.即可否定結(jié)論；對于②：由圓柱的定義可以判斷；對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征可以判斷；對于④：由圓錐的定義可以判斷；對于⑤：舉反例：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.即可否定結(jié)論.【詳解】對于①：以直角三角形的斜邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，將直角三角形旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體是兩個圓錐構(gòu)成的組合體.故①錯誤；對于②：由圓柱的定義可以判斷②正確；對于③：由圓柱、圓錐、圓臺的結(jié)構(gòu)特征可以判斷③正確；對于④：由圓錐的定義可以判斷④正確；對于⑤：用不平行于底面的平面截圓柱，可以得到的橢圓形截面.故⑤錯誤.故答案為：②③④四、解答題：本題共6小題，共計70分．解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．如圖，在正三棱柱中中，AB＝2，，由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線與的交點記為M，求：(1)三棱柱的側(cè)面展開圖的對角線長；(2)三棱錐體積．【答案】(1)；(2)【解析】【分析】（1）先判斷出側(cè)面展開圖為長方形，再由勾股定理求解即可；（2）先將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，判斷出為中點，取中點，再證明平面，按照體積公式求解即可.(1)三棱柱的側(cè)面展開圖是長為6，寬為2的長方形，故對角線長為；(2)如圖，將側(cè)面繞棱旋轉(zhuǎn)使其與側(cè)面在同一平面上，點運動到點的位置，連接交于，則就是由頂點B沿棱柱側(cè)面經(jīng)過棱到頂點的最短路線，由，為中點，則為中點，故，，取中點，連接，易知，又面，面，故，又，故平面，又，則.18．如圖，中，，，，在三角形內(nèi)挖去一個半圓（圓心O在邊BC上，半圓與AC、AB分別相切于點C，M，與BC交于點N），將繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周得到一個旋轉(zhuǎn)體.(1)求該旋轉(zhuǎn)體中間一個空心球的表面積的大?。?2)求圖中陰影部分繞直線BC旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）求出空心球的半徑，即可得答案；（2）旋轉(zhuǎn)一周后得到的組合體為一個圓錐中挖去一個球，由此可求答案.(1)連接OM，則，設(shè)，，在中，，∴.(2)∵，，，∴，∴.19．如圖，水平放置的正四棱臺玻璃容器的高為，兩底面對角線的長分別為，水深為.(1)求正四棱臺的體積；(2)將一根長的玻璃棒放在容器中，的一端置于點處，另一端置于側(cè)棱上，求沒入水中部分的長度.（容器厚度，玻璃棒粗細均忽略不計）【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，結(jié)合臺體的體積公式，即可求出結(jié)果.（2）設(shè)玻璃棒在上的點為，玻璃棒與水面的交點為，過點作，交于點，過點作，交于點，推導(dǎo)出為等腰梯形，求出，，由正弦定理求出，由此能求出玻璃棒沒入水中部分的長度．(1)解：由題意可知，下底面正方形的邊長為，上底面正方形的邊長為，所以下底面面積為，上底面的面積，又臺體的高為，所以正四棱臺的體積(2)解：設(shè)玻璃棒在上的點為，則，玻璃棒與水面的交點為，在平面中，過點作，交于點，過點作，交于點，∵為正四棱臺，∴，，∴為等腰梯形，畫出平面的平面圖，∵，∴，由勾股定理得：，，根據(jù)正弦定理得：，，，．∴玻璃棒沒入水中部分的長度為．20．在意大利，有一座滿是“斗笠”的灰白小鎮(zhèn)阿爾貝羅貝洛，這些圓錐形屋頂?shù)钠嫣匦∥菝蠺rullon，于1996年故入世界文化遺產(chǎn)名景（如圖1）.現(xiàn)測量一個屋頂，得到圓錐SO的底面直徑AB長為m，母線SA長為m（如圖2）.C是母線SA的一個三等分點（靠近點S）.(1)現(xiàn)用鮮花鋪設(shè)屋頂，如果每平方米大約需要鮮花60朵，那么裝飾這個屋頂（不含底面）大約需要多少朵鮮花（此處π取3.14，結(jié)果精確到個位）:(2)從點A到點C繞屋頂側(cè)面一周安裝燈光帶，求燈光帶的最小長度.【答案】(1)20347；(2)m.【解析】【分析】(1)根據(jù)給定條件求出圓錐的側(cè)面積即可計算作答.(2)將圓錐側(cè)面沿母線SA剪開展在同一平面內(nèi)，點A到點，連接，求出的值即可得解.(1)因圓錐SO的底面直徑AB長為m，母線SA長為m，則此圓錐的側(cè)面積為()又每平方米大約需要鮮花60朵，于是得(朵)，所以裝飾這個屋頂大約需要20347朵鮮花.(2)將圓錐SO沿母線SA剪開展在同一平面內(nèi)得如圖所示的扇形，點A到點，連接，則為最小長度，扇形弧長等于圓錐SO底面圓周長，于是得扇形圓心角，在中，，由余弦定理得，即，解得，所以燈光帶的最