第14練空間線面關(guān)系的判斷[明考情]空間線面關(guān)系的判斷是高考的必考內(nèi)容，主要以選擇題形式出現(xiàn)，屬于基礎(chǔ)題.[知考向]1.空間線面位置關(guān)系的判斷.2.空間中的平行、垂直關(guān)系.考點一空間線面位置關(guān)系的判斷方法技巧(1)判定兩直線異面的方法：①反證法；②利用結(jié)論：過平面外一點和平面內(nèi)一點的直線和平面內(nèi)不過該點的直線是異面直線.(2)模型法判斷線面關(guān)系：借助空間幾何模型，如長方體、四面體等觀察線面關(guān)系，再結(jié)合定理進行判斷.1.若直線l1和l2是異面直線，l1在平面α內(nèi)，l2在平面β內(nèi)，l是平面α與平面β的交線，則下列命題中正確的是()A.l與l1，l2都不相交 B.l與l1，l2都相交C.l至多與l1，l2中的一條相交 D.l至少與l1，l2中的一條相交答案D解析若l與l1，l2都不相交，則l∥l1，l∥l2，∴l(xiāng)1∥l2，這與l1和l2異面矛盾，∴l(xiāng)至少與l1，l2中的一條相交.2.(2017·常德一中模擬)已知α，β是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l?α，m?β，則()A.若α∥β，則l∥m B.若l∥m，則α∥βC.若α⊥β，則l⊥m D.若l⊥β，則α⊥β答案D解析選項A，若α∥β，則直線l，m平行或異面，錯誤；選項B，若l∥m，則平面α，β平行或相交，錯誤；選項C，若α⊥β，則直線l，m平行、相交或異面，錯誤；選項D，若l⊥β，則由面面垂直的判定定理可得α⊥β，正確，故選D.3.已知直線a與平面α，β，α∥β，a?α，點B∈β，則在β內(nèi)過點B的所有直線中()A.不一定存在與a平行的直線B.只有兩條a平行的直線C.存在無數(shù)條與a平行的直線D.存在唯一一條與a平行的直線答案D解析在平面內(nèi)過一點，只能作一條直線與已知直線平行.4.將正方體的紙盒展開如圖，直線AB，CD在原正方體的位置關(guān)系是()A.平行 B.垂直C.相交成60°角 D.異面且成60°角答案D解析如圖，直線AB，CD異面.因為CE∥AB，所以∠ECD即為直線AB，CD所成的角，因為△CDE為等邊三角形，故∠ECD＝60°.5.已知α，β表示平面，m，n表示直線，m⊥β，α⊥β，給出下列四個結(jié)論：①?n?α，n⊥β；②?n?β，m⊥n；③?n?α，m∥n；④?n?α，m⊥n.則上述結(jié)論中正確的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.4答案B解析由于m⊥β，α⊥β，所以m?α或m∥α.?n?α，n⊥β或n與β斜交或n∥β，所以①不正確；?n?β，m⊥n，所以②正確；?n?α，m與n可能平行、相交或異面，所以③不正確；當m?α或m∥α時，?n?α，m⊥n，所以④正確.考點二空間中的平行、垂直關(guān)系方法技巧(1)利用平面圖形中的線的平行判斷平行關(guān)系：①比例線求證平行，特別是三角形中位線定理；②平行四邊形的對邊互相平行；③同一平面內(nèi)垂直于同一直線的兩直線互相平行.(2)熟練把握平面圖形中的垂直關(guān)系①等腰三角形的底邊上的中線和高重合；②菱形的對角線互相垂直；③圓的直徑所對的圓周角為直角；④勾股定理得垂直.(3)空間中平行與垂直的實質(zhì)是轉(zhuǎn)化與化歸思想在空間中的體現(xiàn).6.(2017·全國Ⅰ)如圖，在下列四個正方體中，A，B為正方體的兩個頂點，M，N，Q為所在棱的中點，則在這四個正方體中，直線AB與平面MNQ不平行的是()答案A解析A項，作如圖①所示的輔助線，其中D為BC的中點，則QD∥AB.∵QD∩平面MNQ＝Q，∴QD與平面MNQ相交，∴直線AB與平面MNQ相交；B項，作如圖②所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；C項，作如圖③所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥MQ，∴AB∥MQ，又AB?平面MNQ，MQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ；D項，作如圖④所示的輔助線，則AB∥CD，CD∥NQ，∴AB∥NQ，又AB?平面MNQ，NQ?平面MNQ，∴AB∥平面MNQ.故選A.7.已知兩個不同的平面α，β和兩條不重合的直線m，n，則下列四個命題中不正確的是()A.若m∥n，m⊥α，則n⊥αB.若m⊥α，m⊥β，則α∥βC.若m⊥α，m∥n，n?β，則α⊥βD.若m∥α，α∩β＝n，則m∥n答案D解析易知A，B正確；對于C，因為m⊥α，m∥n，所以n⊥α.又n?β，所以β⊥α，即C正確；對于D，因為m∥α，α∩β＝n，所以m∥n或m與n是異面直線，故D不正確.8.(2017·全國Ⅲ)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E為棱CD的中點，則()A.A1E⊥DC1B.A1E⊥BDC.A1E⊥BC1D.A1E⊥AC答案C解析方法一如圖，∵A1E在平面ABCD上的射影為AE，而AE不與AC，BD垂直，∴B，D錯；∵A1E在平面BCC1B1上的射影為B1C，且B1C⊥BC1，∴A1E⊥BC1，故C正確；(證明：由條件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又CE∩B1C＝C，∴BC1⊥平面CEA1B1.又A1E?平面CEA1B1，∴A1E⊥BC1.)∵A1E在平面DCC1D1上的射影為D1E，而D1E不與DC1垂直，故A錯.故選C.方法二(空間向量法)建立如圖所示的空間直角坐標系，設(shè)正方體的棱長為1，則A(1，0，0)，B(1，1，0)，C(0，1，0)，D(0，0，0)，A1(1，0，1)，C1(0，1，1)，Eeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)，0))，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，\f(1,2)，－1))，eq\o(DC1,\s\up6(→))＝(0，1，1)，eq\o(BD,\s\up6(→))＝(－1，－1，0)，eq\o(BC1,\s\up6(→))＝(－1，0，1)，eq\o(AC,\s\up6(→))＝(－1，1，0)，∴eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(DC1,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BD,\s\up6(→))≠0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(BC1,\s\up6(→))＝0，eq\o(A1E,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))≠0，∴A1E⊥BC1.故選C.9.如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M，N，P，Q分別是AA1，A1D1，CC1，BC的中點，給出以下四個結(jié)論：①A1C⊥MN；②A1C∥平面MNPQ；③A1C與PM相交；④NC與PM異面.其中不正確的結(jié)論是()A.①B.②C.③D.④答案B解析作出過M，N，P，Q四點的截面交C1D1于點S，交AB于點R，如圖所示中的六邊形MNSPQR，顯然點A1，C分別位于這個平面的兩側(cè)，故A1C與平面MNPQ一定相交，不可能平行，故結(jié)論②不正確.10.如圖，三棱柱ABC—A1B1C1中，側(cè)面BB1C1C為菱形，B1C的中點為O，且AO⊥平面BB1C1C，則B1C與AB的位置關(guān)系為________.答案異面垂直解析∵AO⊥平面BB1C1C，B1C?平面BB1C1C，∴AO⊥B1C.又側(cè)面BB1C1C為菱形，∴B1C⊥BO，又AO∩BO＝O，∴B1C⊥平面ABO.∵AB?平面ABO，∴B1C⊥AB.1.正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為4，M，N，P分別是棱A1D1，A1A，D1C1的中點，則過M，N，P三點的平面截正方體所得截面的面積為()A.2eq\r(3) B.4eq\r(3)C.6eq\r(3) D.12eq\r(3)答案D解析如圖所示.取正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1的中點L，K，Q，連接NL，LK，KQ，QP，則六邊形PQKLNM是過M，N，P三點的平面截正方體所得的截面，該六邊形是正六邊形，其邊長為eq\f(1,2)NQ＝2eq\r(2)，其面積為6×eq\f(1,2)×(2eq\r(2))2×eq\f(\r(3),2)＝12eq\r(3).2.給出下列命題：①若平面α上的直線a與平面β上的直線b為異面直線，直線c是α與β的交線，那么c至多與a，b中的一條相交；②若直線a與b異面，直線b與c異面，則直線a與c異面；③一定存在平面α同時和異面直線a，b都平行.其中正確的命題為()A.①B.②C.③D.①③答案C解析①錯，c可與a，b都相交；②錯，因為a，c也可能相交或平行；③正確，例如過異面直線a，b的公垂線段的中點且與公垂線垂直的平面即滿足條件.3.已知m，n表示兩條不同的直線，α表示平面，下列說法正確的是()A.若m∥α，n∥α，則m∥nB.若m⊥α，n?α，則m⊥nC.若m⊥α，m⊥n，則n∥αD.若m∥α，m⊥n，則n⊥α答案B解析對A，m，n還可能異面、相交，故A不正確；對C，n還可能在平面α內(nèi)，故C不正確；對D，n可能平行于平面α，還可能在平面α內(nèi)，故D不正確；對B，由線面垂直的定義可知正確.4.(2017·包頭模擬)在正方體ABCD－A1B1C1D1中，點P在線段AD1上運動，則異面直線CP與BA1所成的角θ的取值范圍是()A.0＜θ＜eq\f(π,2) B.0＜θ≤eq\f(π,2)C.0≤θ≤eq\f(π,3) D.0＜θ≤eq\f(π,3)答案D解析∵A1B∥D1C，∴CP與A1B所成的角可化為CP與D1C所成的角.∵△AD1C是正三角形，當P與A重合時所成的角為eq\f(π,3)，∵P不能與D1重合，此時D1C與A1B平行而不是異面直線，∴θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,3))).解題秘籍(1)平面的基本性質(zhì)公理是幾何作圖的重要工具.(2)兩條異面直線所成角的范圍是(0°，90°].(3)線面關(guān)系的判斷要結(jié)合空間模型或?qū)嵗?，以定理或結(jié)論為依據(jù)進行推理，絕不能主觀判斷.1.l1，l2表示空間中的兩條直線，若p：l1，l2是異面直線，q：l1，l2不相交，則()A.p是q的充分條件，但不是q的必要條件B.p是q的必要條件，但不是q的充分條件C.p是q的充要條件D.p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件答案A解析由l1，l2是異面直線，可得l1，l2不相交，所以p?q；由l1，l2不相交，可得l1，l2是異面直線或l1∥l2，所以q?p.所以p是q的充分條件，但不是q的必要條件.故選A.2.正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AD，DD1的中點，AB＝4，則過B，E，F(xiàn)的平面截該正方體所得的截面周長為()A.6eq\r(2)＋4eq\r(5) B.6eq\r(2)＋2eq\r(5)C.3eq\r(2)＋4eq\r(5) D.3eq\r(2)＋2eq\r(5)答案A解析∵正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AD，DD1的中點，∴EF∥AD1∥BC1.∵EF?平面BCC1，BC1?平面BCC1，∴EF∥平面BCC1.由正方體的邊長為4，可得截面是以BE＝C1F＝2eq\r(5)為腰，EF＝2eq\r(2)為上底，BC1＝2EF＝4eq\r(2)為下底的等腰梯形，故周長為6eq\r(2)＋4eq\r(5).故選A.3.(2017·唐山一模)下列命題正確的是()A.若兩條直線和同一個平面平行，則這兩條直線平行B.若一直線與兩個平面所成的角相等，則這兩個平面平行C.若一條直線平行于兩個相交平面，則這條直線與這兩個平面的交線平行D.若兩個平面垂直于同一個平面，則這兩個平面平行答案C解析A選項中兩條直線可能平行也可能異面或相交；B選項中兩垂直平面與l所成的角都是45°；D選項中兩平面也可能相交.C正確.4.在如圖所示的正四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱B1B，AD的中點，直線BF與平面AD1E的位置關(guān)系是()A.平行 B.相交但不垂直C.垂直 D.異面答案A解析取AD1的中點O，連接OE，OF，則OF平行且等于BE，∴BFOE是平行四邊形，∴BF∥EO.∵BF?平面AD1E，OE?平面AD1E，∴BF∥平面AD1E.5.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°.將△ADB沿BD折起，使CD⊥平面ABD，構(gòu)成三棱錐A－BCD.則在三棱錐A－BCD中，下列結(jié)論正確的是()A.AD⊥平面BCDB.AB⊥平面BCDC.平面BCD⊥平面ABCD.平面ADC⊥平面ABC答案D解析∵在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，∴BD⊥CD.又CD⊥平面ABD，則CD⊥AB.又AD⊥AB，AD∩CD＝D，故AB⊥平面ADC，∴平面ABC⊥平面ADC.6.已知α，β是兩個不同的平面，給出下列四個條件：①存在一條直線a，a⊥α，a⊥β；②存在一個平面γ，γ⊥α，γ⊥β；③存在兩條平行直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α；④存在兩條異面直線a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α，可以推出α∥β的是()A.①③B.②④C.①④D.②③答案C解析對于②，平面α與β還可以相交；對于③，當a∥b時，不一定能推出α∥β，所以②③是錯誤的，易知①④正確，故選C.7.如圖，四邊形ABCD為矩形，平面PCD⊥平面ABCD，且PC＝PD＝CD＝2，BC＝2eq\r(2)，O，M分別為CD，BC的中點，則異面直線OM與PD所成角的余弦值為()A.eq\f(\r(6),4)B.eq\f(\r(6),3)C.eq\f(\r(3),6)D.eq\f(\r(3),3)答案C解析連接BD，OB，則OM∥DB，∴∠PDB或其補角為異面直線OM與PD所成的角.由條件PO⊥平面ABCD可知，OB＝3，PO＝eq\r(3)，BD＝2eq\r(3)，PB＝2eq\r(3)，在△PBD中，由余弦定理可得cos∠PDB＝eq\f(4＋12－12,2·2·2\r(3))＝eq\f(\r(3),6).8.如圖是一個幾何體的平面展開圖，其中ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為PA，PD的中點，在此幾何體中，給出下面四個結(jié)論：①直線BE與直線CF異面；②直線BE與直線AF異面；③直線EF∥平面PBC；④平面BCE⊥平面PAD.其中正確結(jié)論的個數(shù)是()A.1B.2C.3D.4答案B解析畫出幾何體的圖形，如圖，由題意可知，①直線BE與直線CF異面，不正確，因為E，F(xiàn)是PA與PD的中點，可知EF∥AD，所以EF∥BC，直線BE與直線CF是共面直線；②直線BE與直線AF異面，滿足異面直線的定義，正確；③由E，F(xiàn)分別是PA與PD的中點可知，EF∥AD，所以EF∥BC.因為EF?平面PBC，BC?平面PBC，所以直線EF∥平面PBC，正確.④因為△PAB與底面ABCD的關(guān)系不是垂直關(guān)系，BC與平面PAB的關(guān)系不能確定，所以平面BCE⊥平面PAD，不正確.故選B.9.如圖，在空間四邊形ABCD中，點M∈AB，點N∈AD，若eq\f(AM,MB)＝eq\f(AN,ND)，則直線MN與平面BDC的位置關(guān)系是________.答案平行解析由