/四川省資中縣2024-2025學(xué)年高二（普通班）下冊2月月考數(shù)學(xué)試卷一?單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求.1.已知向量，滿足，，且，則向量與的夾角為（）A. B. C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)題意結(jié)合向量夾角公式運(yùn)算求解即可.【詳解】因為，，且，則，且，所以與的夾角為．故選：D.2.已知空間向量，則下列向量可以與構(gòu)成空間向量的一組基底的是（）A. B. C. D.【正確答案】B【分析】根據(jù)基底的定義，判斷是否共面即可逐一求解.【詳解】對于A，由于基底向量不能是零向量，故A錯誤，對于B，由于與不共面，符合基底要求，故B正確，對于C，，故共面，不符合要求，C錯誤，對于D，，故共面，不符合要求，D錯誤，故選：B3.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【正確答案】A【分析】由方程確定即可求解.【詳解】根據(jù)題意，，可知，所以漸近線方程為：．故選：A4.如圖，在棱長為1的正四面體（四個面都是正三角形）中，分別為的中點(diǎn)，則直線和夾角的正弦值為（）A. B. C. D.【正確答案】C【分析】由題意，根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算可得和數(shù)量積的運(yùn)算律和定義計算即可求解.【詳解】，因為分別為的中點(diǎn)，所以，，且，則，所以，即直線和夾角的余弦值為，所以正弦值為.故選：C5.設(shè)等差數(shù)列的公差為，若，，則（）A.4 B.3 C.2 D.1【正確答案】D【分析】由等差數(shù)列通項公式的性質(zhì)求得，進(jìn)而求得，再根據(jù)等差數(shù)列通項公式求公差即可.【詳解】因為，所以，又，所以，故公差.故選：D6.若存在實(shí)數(shù)a，使得直線與圓相切，則實(shí)數(shù)b的取值范圍是（）A. B.C. D.【正確答案】D【分析】根據(jù)給定條件，利用圓的切線性質(zhì)列式計算得解.【詳解】圓的圓心為，半徑為1，由直線與圓相切，得對于實(shí)數(shù)a有解，由，解得：或，所以實(shí)數(shù)b的取值范圍是.故選：D.7.已知雙曲線C：的左、右頂點(diǎn)分別為，，圓與C的漸近線在第一象限的交點(diǎn)為M，直線交C的右支于點(diǎn)P，若的角平分線與y軸平行，則C的離心率為（）A. B.2 C. D.【正確答案】A【分析】求出點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)點(diǎn)在直線上，結(jié)合求出點(diǎn)坐標(biāo)，然后代入雙曲線方程可得.【詳解】由題知，，雙曲線過第一象限的漸近線方程為，聯(lián)立，解得，則，所以直線的方程為，設(shè)，則①，因為的角平分線與y軸平行，所以，即，整理得②，聯(lián)立①②解得，代入雙曲線方程得，即.故選：A8.已知拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，過點(diǎn)的直線與拋物線交于點(diǎn)、，與直線交于點(diǎn)，若，則（）A.3 B.6 C.9 D.12【正確答案】C【分析】根據(jù)焦點(diǎn)弦的性質(zhì)結(jié)合，得出，根據(jù)圖形特征得出即可.【詳解】拋物線的焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線為，設(shè)直線的傾斜角為，作垂直于點(diǎn)，作垂直于點(diǎn)，過作的垂線交于點(diǎn)，因為，所以，同理，因為，那么，解得，所以，，所以是的中位線，所以.故選：C.二?多項選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.對拋物線，下列描述正確的是（）A.開口向下，準(zhǔn)線方程為B.開口向下，焦點(diǎn)為C.開口向左，焦點(diǎn)為D.開口向左，準(zhǔn)線方程為【正確答案】AB【分析】先化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求得焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程即可判斷.【詳解】由題設(shè)，拋物線可化為，開口向下，焦點(diǎn)為，準(zhǔn)線方程為.所以AB正確，CD錯誤.故選：AB.10.已知直線，圓，則下列說法正確的是（）A.若或，則直線與圓相切B.若，則圓關(guān)于直線對稱C.若圓與圓相交，且兩個交點(diǎn)所在直線恰為，則D.若，圓上有且僅有兩個點(diǎn)到的距離為1，則【正確答案】BD【分析】A選項，利用圓心到直線距離等于半徑求解；B選項，由圓心在直線上求解；C選項，由兩個圓的方程相減，得公共弦所在直線方程；D選項，由圓心到直線距離的范圍求解.【詳解】即，圓心，對A，若直線與圓相切，則圓心到直線的距離等于半徑，則，解得或，故A錯誤；對B，若圓關(guān)于直線對稱，則直線通過圓心，則有，解得，故B正確；對C，圓與圓方程作差得，即，則，解得，經(jīng)檢驗此時圓，滿足，則，故C錯誤；對D，若圓上有且僅有兩個點(diǎn)到的距離為1，則圓心到直線的距離，即，即，且，解得，故D正確.故選：BD．11.在直平行六面體中，為棱上的動點(diǎn)，且四點(diǎn)均在球的球面上，則（）A.平面B.存在點(diǎn)，使平面C.存在點(diǎn)，使的周長為D.球的表面積為【正確答案】BD【分析】連接，交于點(diǎn)，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法即可判斷A；根據(jù)平面平面，即可判斷B；將平面與平面沿展平，求出周長的最小值即可判斷C；設(shè)為的外心，連接，由，求出球心坐標(biāo)，即可求出球的半徑，從而可判斷D.【詳解】由題意知直平行六面體的底面為菱形，且為等邊三角形，如圖，連接，交于點(diǎn)，則，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸，軸，過點(diǎn)且與平行的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，所以，．因為，平面，所以與平面不垂直，故A錯誤；對于B，連接，因為且，所以四邊形為平行四邊形，所以，同理，又平面，平面，所以平面，平面，又平面，所以平面平面，所以當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，平面，故B正確；將平面與平面沿展平，可得當(dāng)三點(diǎn)共線時，最小，且最小值為，所以周長的最小值為，故C錯誤；設(shè)為的外心，連接，則底面，設(shè)，則由，得，解得，所以球的半徑為，所以球的表面積為，故D正確．故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知，，，三點(diǎn)不共線，為平面外任意一點(diǎn)．若．且，，，四點(diǎn)共面，則實(shí)數(shù)_____．【正確答案】【分析】根據(jù)空間向量基本定理判斷向量共面，可得解.【詳解】由題知，即又，，，四點(diǎn)共面，所以，解得.故答案為.13.在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn),點(diǎn)P到A與B的距離之和為8，則點(diǎn)P的軌跡為________.【正確答案】線段【分析】根據(jù)題意可得，即可判斷出答案.【詳解】由題意得，則P點(diǎn)在線段上，所以點(diǎn)P的軌跡為線段，故線段14.已知數(shù)列的首項為14，且，則的最小值為_______________.【正確答案】10【分析】利用累加法求通項公式，并注意檢驗首項，然后用基本不等式求最小值，并考慮取等號條件即可.【詳解】當(dāng)時，由，得，，…，，將以上各式左右分別相加，得，所以，又滿足上式，所以，則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時等號成立，即最小值為10.故10.四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已如空間直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)都在平面內(nèi)，求實(shí)數(shù)的值.【正確答案】【分析】方法一：根據(jù)共面，由平面向量基本定理列方程即可解出；方法二：先求出平面的一個法向量，再根據(jù)即可求出.【詳解】方法一：，由題意知四點(diǎn)共面，則存在實(shí)數(shù)，滿足：，，而.方法二：，設(shè)平面一個法向量為，則，取，則，，解得.16..①.②③④觀察上面各組數(shù)，你能從運(yùn)算角度發(fā)現(xiàn)它們有什么共同的特點(diǎn)嗎？【正確答案】從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)【分析】觀察相鄰兩項的關(guān)系，從而歸納得出結(jié)論.【詳解】對于①：從第2項起，每一項與它前一項的差都等于7；對于②：從第2項起，每一項與它前一項的差都等于；對于③：從第2項起，每一項與它前一項的差都等于0.5；對于④：從第2項起，每一項與它前一項的差都等于2；綜上，它們的共同特點(diǎn)為：從第2項起，每一項與它前一項的差都等于同一個常數(shù)；17.已知點(diǎn)和點(diǎn)是圓直徑的兩個端點(diǎn)．（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）過點(diǎn)作圓的切線，求切線的方程．【正確答案】（1）（2）【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得出圓心，應(yīng)用兩點(diǎn)間距離得出半徑，進(jìn)而得出圓的方程；（2）先應(yīng)用斜率乘積為得出斜率，再點(diǎn)斜式得出切線方程.【小問1詳解】由題意可得的中點(diǎn)，∴圓心，故半徑，∴圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為．【小問2詳解】∵為圓切線，∴，則，∵，∴，∴過點(diǎn)的切線方程為，即切線的方程為．18.已知以點(diǎn)為圓心的圓與直線相切，過點(diǎn)的動直線與圓A相交于（1）求圓的方程；（2）當(dāng)時，求直線的方程．【正確答案】（1）（2）或【分析】(1)由題意知點(diǎn)到直線距離公式可確定圓A半徑，帶入到圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可求得圓的方程；(2)過A做，由垂徑定理可知圓心到直線，設(shè)出直線，可分為斜率存在和斜率不存在兩種情況，解之可得直線方程【小問1詳解】易知到直線的距離為圓A半徑r，所以，則圓A方程為【小問2詳解】過A做,由垂徑定理可知，且，在中由勾股定理易知當(dāng)動直線斜率不存在時，設(shè)直線的方程為，經(jīng)檢驗圓心到直線的距離為，且根據(jù)勾股定理可知，顯然合題意，當(dāng)動直線斜率存在時，過點(diǎn)，設(shè)方程為：，由到距離為知得，代入解之可得，所以或為所求方程．19.如圖，在直四棱柱中，中點(diǎn)分別為.（1）證明.（2）求二面角的正弦值.【正確答案】（1）證明見解析（2）【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，通過計算，得證；（2）求出平面和平面的法向量，由法向量所成角的余弦公式求解.【小問1詳解】在直四棱柱中，因為，所以兩兩垂直，又因為，所以，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向分別為軸的正方向，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，則，從而，所以；【小問2詳解】根據(jù)題意，可知平面的法向量為，設(shè)平面的法向量為，則，令，可得，所以易知二面角的正弦值為.20.已知橢圓的一個焦點(diǎn)短軸長為.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）連線與軸交于點(diǎn)，過焦點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn).（i）證明：點(diǎn)在以為直徑的圓外：（ii）在上是否存在點(diǎn)使得是等邊三角形.若存在，求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【正確答案】（1）（2）（i）證明見解析；（ii）存在，或【分析】（1）根據(jù)橢圓的基本性質(zhì)來確定方程參數(shù)；（2）（i）判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系通過向量的數(shù)量積來實(shí)現(xiàn)；（ii）利用直線與橢圓方程聯(lián)立得到相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)關(guān)系，再結(jié)合等邊三角形的性質(zhì)建立等式求解直線方程.【小問1詳解】由題意得，所以，則橢圓的標(biāo)