/浙江省杭州市2024_2025學(xué)年高三下冊（3月）第二次聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷一、單選題（本大題共8小題）1．已知集合A=1,2,3，B=x∈NxA．1,2,3 B．0,1,2,3 C．?1,1,2,3 D．?1,0,1,2,32．已知向量a=2x,3，b=2,0，A．?1 B．12 C．1 D．23．已知復(fù)數(shù)z滿足1+iz=2i，則zA．12 B．1 C．2 4．若圓錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，則它的體積為（）A．833π B．8π C．12π 5．已知函數(shù)fx=xA．?1 B．?1e C．16．已知兩條相交直線a,b，a在平面α內(nèi)，b在平面α外．設(shè)a,b的夾角為θ1，直線b與平面α所成角為π2?θ1，sinA．π12 B．π6 C．π4 7．設(shè)拋物線C:x2=4y的焦點(diǎn)為F，斜率為12的直線與拋物線交于A,B兩點(diǎn)，若A．0 B．?45 C．?328．在△ABC中，“sin2A+siA．充分但非必要條件 B．必要但非充分條件C．充要條件 D．既非充分條件也非必要條件二、多選題（本大題共3小題）9．設(shè)1+2x6A．a(chǎn)0=1 B．C．該二項(xiàng)式的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64 D．a(chǎn)010．已知函數(shù)fx=sinπA．fx的最小正周期為2π B．gC．gx在區(qū)間0,π2上單調(diào)遞減 D．gx在11．已知正項(xiàng)等差數(shù)列an與正項(xiàng)等比數(shù)列bn首項(xiàng)相等，且滿足a1A．bn的公比為2 B．?m?3，使得aC．對?λ＜1，數(shù)列bn?λan為遞增數(shù)列三、填空題（本大題共3小題）12．已知橢圓C:x2a2+y2b213．已知函數(shù)fx=x3?6x2+9x在x=a處取得極大值，在x=b處取得極小值，若14．有6張卡片，正面分別寫有數(shù)字1，2，3，4，5，6，且背面均寫有數(shù)字7．先把這些卡片正面朝上排成一排，且第k個位置上的卡片恰好寫有數(shù)字k．然后擲一顆均勻的骰子，若點(diǎn)數(shù)為n，則將第n個位置上的卡片翻面并置于原處．進(jìn)行上述實(shí)驗(yàn)3次，發(fā)現(xiàn)卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，在這一條件下，計(jì)算骰子恰有一次點(diǎn)數(shù)為2的概率為_________．四、解答題（本大題共5小題）15．為了了解高中學(xué)生語文與數(shù)學(xué)成績之間的聯(lián)系，從某學(xué)校獲取了400名學(xué)生的成績樣本，并將他們的數(shù)學(xué)和語文成績整理如表：單位：人數(shù)學(xué)成績語文成績數(shù)學(xué)成績不優(yōu)秀優(yōu)秀不優(yōu)秀18090優(yōu)秀5080(1)依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)？(2)以顧率估計(jì)概率、從全市高中所有數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，設(shè)其中恰有X位學(xué)生的語文成績優(yōu)秀，求隨機(jī)變量X的分布列以及數(shù)學(xué)期望．Pχ0.0500.0100.001k3.8416.63510.828附：χ216．已知等軸雙曲線C的左右焦點(diǎn)分別為F1,F2，經(jīng)過點(diǎn)F2的直線與C的漸近線相交于點(diǎn)M,N，點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為?1，N是線段F2M的中點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)F(1)求雙曲線C的方程；(2)當(dāng)△ABF2的面積為41017．如圖，在等腰直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=6，O為AB的中點(diǎn)，D,E分別為AB,AC邊上一點(diǎn)，滿足AD=1,DE//OC．將△ADE,△BOC分別沿著DE,OC翻折成△A′DE,△B′OC，滿足A′(1)證明：A′(2)在線段B′C上是否存在一點(diǎn)F（異于端點(diǎn)），滿足EF//平面A′(3)在（2）的情況下，求直線CE與平面ODF所成角的正弦值．18．已知a、b∈R，函數(shù)fx(1)若曲線y=fx在0,f0處的切線方程為y=2x+1(2)若函數(shù)fx在R上單調(diào)遞增，求a(3)若對?b∈R，函數(shù)fx至多有兩個零點(diǎn)，求a19．對任意給定的n∈N?，若有窮數(shù)列an滿足：am=(1)當(dāng)n∈1，2時(shí)，是否存在符合條件的“D數(shù)列”？若存在，請求出所有的符合條件的“D(2)證明：（i（ii）當(dāng)n?7時(shí)，任意符合條件的“D數(shù)列”都滿足(3)當(dāng)n=20時(shí)，求出所有的“D數(shù)列”．

答案1．【正確答案】B【詳解】因?yàn)锽=x∈Nx2則A∪B=0,1,2,3故選B.2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)橄蛄縜=2x,3，b=所以a?b?故選C.3．【正確答案】C【詳解】因?yàn)?+iz=2i所以z=2i所以z=故選C.4．【正確答案】A【詳解】因?yàn)閳A錐的軸截面是一個邊長為4的等邊三角形，所以圓錐的底面半徑r=2，高?=4所以圓錐的體積V=1故選A.5．【正確答案】B【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)fx所以f1所以ff故選B.6．【正確答案】B【詳解】設(shè)直線a,b的交點(diǎn)為O，過直線b上異于點(diǎn)O的一點(diǎn)P作平面α的垂線，設(shè)垂足為B，過點(diǎn)B作BA⊥a，垂足為A，連接PA，如圖：因?yàn)镻B⊥α，所以O(shè)B為直線b在平面α內(nèi)的投影，所以直線b與平面α所成角為∠POB，由已知∠POA=θ1，因?yàn)镻B⊥α，a?α，所以PB⊥a，又AB⊥a，PB∩AB=B，PB,AB?平面PAB，所以直線OA⊥平面PAB，又PA?平面PAB，所以PA⊥OA，即PA⊥a，所以由a,b確定的平面與平面α夾角為∠PAB,在Rt△PAB中，sin∠PAB=在Rt△POB中，sin∠POB=PBOP在Rt△POA中，sin∠POA=PAOP所以sin∠PAB=又sinθ1=所以cosθ1=又∠PAB∈0,π2所以由a,b確定的平面與平面α夾角的大小為π6故選B.7．【正確答案】B【詳解】拋物線x2=4y的焦點(diǎn)F的坐標(biāo)為0,1，準(zhǔn)線方程為設(shè)直線AB的方程為y=1聯(lián)立x2=4yy=12方程x2?2x?4b=0的判別式Δ=4+16b＞0，故設(shè)Ax1,y1由已知x1,x所以x1+x設(shè)點(diǎn)A，B在準(zhǔn)線上的投影分別為A1，B因?yàn)锳F+BF=故12x1即x1,x故x1=?2，所以AF=y1又AB=由余弦定理，cos∠AFB=AF故選B.8．【正確答案】B【詳解】第一步：檢驗(yàn)必要性.如果C是直角，那么A+B=90此時(shí)，等式sin2A+si因此，如果C是直角，等式sin2第二步：驗(yàn)證充分性.若sin2構(gòu)造函數(shù)fx=sin則f′=2sin記以u=32x+A2因?yàn)?＜x＜π?A,所以A2?π令f′x=0令π6?A列表如下：x00,xx1x1x2x2x3x3π?AuA20πvπ4π234sinu?0+++0?cosv+++0???f′?0+0?0+fx?cos減fx增fx減fx增2sinfx1=fx當(dāng)A→0時(shí)，fx3→?14而fπ2?A=0，且x1每個零點(diǎn)都可以作為角B的值，所以A+B的值有三個，存在不是直角的情況，即存在角C不是直角的情況，所以充分性不成立.綜上所述，“sin2A+si故選B.9．【正確答案】ACD【詳解】因?yàn)?+2x6取x=0，可得a0取x=1，可得1+2×16所以a0二項(xiàng)式1+2x6的展開式的通項(xiàng)公式為Tk+1=取k=3可得，T4所以a3二項(xiàng)式1+2x6的所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為C故選ACD.10．【正確答案】ABD【詳解】因?yàn)閒x所以函數(shù)fx的最小正周期T=因?yàn)間x所以gx所以gx函數(shù)gx的定義域?yàn)镽g?x所以函數(shù)gxg′當(dāng)0＜x＜π2時(shí)，令g′x=0，可得cos即cosθ0=當(dāng)0＜x＜θ0時(shí)，此時(shí)sinx＞0所以g′x＜0，所以函數(shù)g當(dāng)當(dāng)θ0＜x＜π2時(shí)，此時(shí)所以g′x＞0，所以函數(shù)g因?yàn)楹瘮?shù)gx在0,θ0其中cosθ0=又g0=cosgθ所以函數(shù)gx在0,π2故選ABD.11．【正確答案】ACD【詳解】對于A選項(xiàng)，設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，等比數(shù)列bn的公比為由已知a1=b1，則即b1q2=2b1+對于B選項(xiàng)，由題意可得d=a2?bn=b1q令cn=n當(dāng)n?3時(shí)，cn+1?cn＜0當(dāng)n?3時(shí)，cn?c3=34＜1，則對于C選項(xiàng)，bn?λa對任意的n∈N?，對任意的λ＜1，由于2n?1?20=1所以，對?λ＜1，數(shù)列bn對于D選項(xiàng)，bn則k=110=123＜150，D對.故選ACD.12．【正確答案】63【詳解】由題意可得A0,b,Ba,0，則直線AB又直線AB的傾斜角為56π，所以?b即ba=313．【正確答案】4【詳解】因?yàn)閒x所以f′令f′x=0，可得x=1當(dāng)x＜1時(shí)，f′x＞0，函數(shù)f當(dāng)1＜x＜3時(shí)，f′x＜0，函數(shù)f當(dāng)x＞3時(shí)，f′x＞0，函數(shù)f所以當(dāng)x=1時(shí)，fx取極大值，當(dāng)x=3時(shí)，函數(shù)f所以a=1，b=3，故a+b=4，又f0=0，f1當(dāng)x＞3時(shí)，令fxx3所以x2故x2?2x+1x?4=0，解得所以m的最大值為4.14．【正確答案】1336【詳解】由已知，試驗(yàn)前卡片朝上的數(shù)字之和為1+2+3+4+5+6=21，數(shù)字之和為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和仍然為奇數(shù)，若拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，則試驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和變?yōu)榕紨?shù)，所以事件進(jìn)行3次實(shí)驗(yàn)后卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)，等于事件三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)有一次為偶數(shù)，余下兩次為奇數(shù)，或三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)都為偶數(shù)，設(shè)事件3次試驗(yàn)后，卡片朝上的數(shù)字之和為偶數(shù)為A，設(shè)事件三次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)恰有一次為2為B，記Ai表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)，i=1,2,3，則P設(shè)Ci表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為4或6，i=1,2,3，則P設(shè)Di表示第i次試驗(yàn)中拋擲骰子所得點(diǎn)數(shù)為2，i=1,2,3，則P所以A=APA事件AB表示三次試驗(yàn)中有一次骰子的點(diǎn)數(shù)為2，另兩次的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)或三次試驗(yàn)中有一次骰子的點(diǎn)數(shù)為2，另兩次的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)4或6，AB=D所以PAB所以PB15．【正確答案】(1)依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)；(2)分布列見解析，EX【詳解】（1）零假設(shè)H0由題χ2所以依據(jù)α=0.05的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷零假設(shè)H0不成立，即認(rèn)為學(xué)生的數(shù)學(xué)成績與語文成績有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯誤的概率不大于5%（2）由題意可知數(shù)學(xué)不優(yōu)秀的學(xué)生中語文成績優(yōu)秀的概率為90180+90隨機(jī)變量X的取值有0,1,2,3,4,5，由已知X～B5,則PX=0=CPX=2=CPX=4=C所以隨機(jī)變量X的分布列為X012345P32243802438024340243102431243所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望EX16．【正確答案】(1)x2(2)x+2y+2=0或x?2y+2=0.【詳解】（1）因?yàn)殡p曲線C為等軸雙曲線，故可設(shè)雙曲線方程為x2則F1?2所以雙曲線C的漸近線方程為y=±x，若點(diǎn)M在漸近線y=?x上，則M?1,1，故N代入漸近線y=x，可得a=2所以雙曲線C的方程為x2若點(diǎn)M在漸近線y=x上，則M?1,?1，故N代入漸近線y=?x，可得a=2所以雙曲線C的方程為x2故雙曲線方程為x2（2）由題直線l不與y軸垂直，不妨設(shè)l的方程為x=ty?2，聯(lián)立x2?y2=2由已知t2?1≠0，設(shè)Ax1,由已知y1,y所以y1+y所以AB=又點(diǎn)F2到直線l的距離d=所以△ABF2的面積所以t=±2，所以直線l的方程為x+2y+2=0或x?2y+2=0.17．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)直線CE與平面ODF所成角的正弦值為105【詳解】（1）延長OD，CE相交于點(diǎn)A，因?yàn)锳B=6，O為AB的中點(diǎn)，故AO=BO=3，又AD=1，所以AD=1又DE//OC，所以AEAC因?yàn)锳′D⊥平面CODE，B′所以A′而A′D=1所以△A′AD～△故A,A′,又AEAC=1所以A′（2）由（1）A′D//B′O，又B′O?所以A′D//平面因?yàn)镈E//OC，又OC?平面B′OC，DE?平面所以DE//平面B′OC，又A′D∩ED=D，所以平面A′DE//平面由（1）A′E//B′C，取B則A′E=B所以四邊形A′所以EF//A′B′，EF?平面A′所以EF//平面A′（3）由（2）可得直線CE與平面ODF所成角即為直線AC與OAF所成角，作CH⊥OF與OF相交于點(diǎn)H.由B′O⊥平面CODE，OA?平面CODE，可得又CO⊥OA，B′O∩CO=O，B′所以O(shè)A⊥平面OB′C，又CH?所以O(shè)A⊥CH，又CH⊥OF，OA∩OF=O，OA,OF?平面OAF，所以CH⊥平面OAF，所以直線CA在平面OAF上的投影為AH，所以∠CAH就是直線AC與平面OAF所成角，在△FOC中，CO=3，CF=233所以O(shè)F=C所以CH=2在△CHA中，CH⊥AH，AC=32所以sin∠CAH=所以直線CE與平面ODF所成角的正弦值為10518．【正確答案】(1)0(2)?∞,?1(3)?∞,?1【詳解】（1）因?yàn)閒x=xe由題意可得f0=b?a=2，解得a=?1，b=1，故a+b=0.（2）由題意可知，對任意的x∈R，f′x=令gx=1?x由g′x＜0可得x＜32所以，函數(shù)gx的減區(qū)間為?∞,32所以，a?gx因此，實(shí)數(shù)a的取值范圍是?∞,?1（3）由（2）得，當(dāng)a??12e3時(shí)，函數(shù)則函數(shù)fx當(dāng)x＜1時(shí)，gx=1?xe2x＞0，當(dāng)當(dāng)a?0時(shí)，f′由圖可知，存在x0?1，使得