/山東省濰坊市2024_2025學(xué)年高二下冊(cè)診斷性調(diào)研監(jiān)測(cè)數(shù)學(xué)試卷一、單選題1．已知6是t和2的等差中項(xiàng)，則t的值為（

）A．4 B．8 C．10 D．112．已知隨機(jī)變量，若，則（

）A．6 B．8 C．9 D．123．已知數(shù)列中，，，則（

）A． B． C． D．24．已知函數(shù)，則（

）A． B． C．1 D．25．已知函數(shù)在處取得極值，則（

）A． B． C．5 D．96．某學(xué)校計(jì)劃開(kāi)設(shè)某門(mén)特色課程，現(xiàn)對(duì)男女生參加該課程的意愿程度進(jìn)行調(diào)查，得到以下列聯(lián)表：愿意參加不愿意參加合計(jì)男生20女生20合計(jì)50100則的值為（

）（附：，）A．4 B． C．5 D．7．已知隨機(jī)事件A，B，若，則（

）A． B． C． D．8．若關(guān)于x的不等式存在唯一的整數(shù)解，則a的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題9．下列說(shuō)法正確的是（

）A．若隨機(jī)變量X的期望，則B．離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差越大，說(shuō)明變量離散程度越小C．對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線(xiàn)與x軸圍成圖形的面積與參數(shù)無(wú)關(guān)D．回歸分析中，兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大10．已知定義在上的函數(shù)，部分對(duì)應(yīng)的函數(shù)值如表，其導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則（

）x23120A．在是減函數(shù)B．在定義域上有兩個(gè)極值點(diǎn)C．若，則函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)D．若在上的最大值為2，則11．設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，若滿(mǎn)足：對(duì)任意的正整數(shù)，存在正整數(shù)m，k，使得，稱(chēng)數(shù)列是“T數(shù)列”，下列說(shuō)法正確的是（

）A．若，則為T(mén)數(shù)列B．若，則為T(mén)數(shù)列C．若，則為T(mén)數(shù)列D．若，則存在兩個(gè)T數(shù)列，使得三、填空題12．已知等比數(shù)列中，，則．13．若隨機(jī)變量，且，則．14．已知函數(shù)，對(duì)拋物線(xiàn)持續(xù)實(shí)施下面“牛頓切線(xiàn)法”的步驟：在點(diǎn)處作C的切線(xiàn)，交x軸于；在點(diǎn)處作C的切線(xiàn)，交x軸于；在點(diǎn)處作C的切線(xiàn)，交x軸于；……由此能得到一個(gè)數(shù)列，稱(chēng)為“牛頓數(shù)列”，則的值為；若，則的最大值為．四、解答題15．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為．（1）求的通項(xiàng)公式；（2）求的前項(xiàng)和．16．已知函數(shù)，曲線(xiàn)在處的切線(xiàn)斜率為．（1）求a的值；（2）求在區(qū)間上的最值．17．某科技公司研發(fā)了一種新型電池，測(cè)試該新型電池從滿(mǎn)電狀態(tài)，每使用1小時(shí)其電量衰減情況，得到剩余電量y（庫(kù)侖）與使用時(shí)間t（小時(shí)）的散點(diǎn)圖，其中t為正整數(shù)．（1）利用散點(diǎn)圖，判斷與哪個(gè)更適宜作為回歸模型？（給出判斷即可，不必說(shuō)明理由）（2）在（1）的條件下，（i）求出剩余電量y與使用時(shí)間t的回歸方程（精確到0.01）；（ⅱ）當(dāng)電池剩余電量低于0.3庫(kù)侖時(shí)，電池報(bào)警提示需要充電，否則影響電池使用壽命，請(qǐng)利用所求回歸方程，預(yù)判該新型電池從滿(mǎn)電狀態(tài)使用12小時(shí)后，是否會(huì)報(bào)警提示，并說(shuō)明理由．參考數(shù)據(jù)：記4512.021.5520.2028545.073.42參考公式：．18．已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）若恒成立，求a的取值范圍；（3）當(dāng)時(shí)，證明：．19．某種微生物群體可以通過(guò)自身繁殖的方式不斷生存下來(lái)，且每個(gè)個(gè)體繁殖后自身消亡．假設(shè)開(kāi)始時(shí)有一個(gè)該微生物個(gè)體，稱(chēng)為第0代，經(jīng)過(guò)一次繁殖后產(chǎn)生第1代，第1代經(jīng)過(guò)一次繁殖后產(chǎn)生第2代，…，每個(gè)該微生物個(gè)體繁殖產(chǎn)生下一代個(gè)數(shù)為1和2的概率均為，假設(shè)每個(gè)個(gè)體繁殖過(guò)程相互獨(dú)立，記隨機(jī)變量為繁殖產(chǎn)生的第代的個(gè)體總數(shù)．（1）若，求的分布列和期望；（2）證明：；（3）定義：的條件下，隨機(jī)變量的期望稱(chēng)為條件期望，記作，且．求．參考公式：

答案1．【正確答案】C【詳解】由于6是t和2的等差中項(xiàng)，故，故，故選C2．【正確答案】C【詳解】因?yàn)椋杂?，可得，故選C.3．【正確答案】A【詳解】因?yàn)?，，所以，，?故選A4．【正確答案】D【詳解】因?yàn)椋瑒t，解得.故選D5．【正確答案】D【詳解】函數(shù)，則，因?yàn)樵谔幦O值，所以，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)滿(mǎn)足題意.故.故選D.6．【正確答案】A【詳解】根據(jù)表中數(shù)據(jù)完成下列聯(lián)表，如下：愿意參加不愿意參加合計(jì)男生302050女生203050合計(jì)3050100則.故選A.7．【正確答案】B【詳解】因?yàn)?，故，而，故，故，同理，故，故選B.8．【正確答案】A【詳解】令，則，令得，令得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，其中，，，且時(shí)，恒成立，時(shí)，恒成立，而的圖象為過(guò)定點(diǎn)的直線(xiàn)，設(shè)與相切時(shí)，切點(diǎn)為，則切線(xiàn)斜率，又在上，故，，與聯(lián)立得，解得，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)斜率為不合要求，當(dāng)時(shí)，切線(xiàn)斜率為，滿(mǎn)足要求，故當(dāng)時(shí)，圖象恒在的上方，不合要求，同一坐標(biāo)系內(nèi)，畫(huà)出兩函數(shù)圖象，如下：顯然，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，，不等式存在唯一的整數(shù)解，顯然此整數(shù)解為-1，需滿(mǎn)足，即.故選A9．【正確答案】ACD【詳解】由，得，故A對(duì)；離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差越大，隨機(jī)變量取值越分散，說(shuō)明變量離散程度越大；故B錯(cuò)；對(duì)應(yīng)的正態(tài)曲線(xiàn)與x軸圍成圖形的面積與參數(shù)無(wú)關(guān)，始終為1，故C對(duì)；回歸分析中，兩個(gè)變量的線(xiàn)性相關(guān)性越強(qiáng)，它們的相關(guān)系數(shù)的絕對(duì)值越大；故D對(duì)；故選ACD10．【正確答案】BCD【詳解】根據(jù)的圖象可知：函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.結(jié)合給定的函數(shù)值，可作出函數(shù)的草圖，如下：對(duì)A：由圖可知，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：由圖可知，函數(shù)在上有兩個(gè)極值點(diǎn)，分別為和，故B正確；對(duì)C：當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不同的解，故C正確；對(duì)D：由圖可知，函數(shù)在上要想取到最大值2，須有，故D正確.故選BCD11．【正確答案】ABD【詳解】對(duì)于A(yíng)，，為：，為周期數(shù)列，則的可能取值為0或1，故當(dāng)，時(shí)，可取，時(shí)，可取，故為T(mén)數(shù)列，A正確；對(duì)于B，，則，故對(duì)任意的正整數(shù)，為偶數(shù)，令，則，由于為偶數(shù)，則為整數(shù)，總能找到正整數(shù)，使得成立，如，即存在正整數(shù)m，k，使得成立，B正確；對(duì)于C，，，當(dāng)時(shí)，，令，由于，，故不存在正整數(shù)m，k，使得，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，，可取，結(jié)合B的分析可知為T(mén)數(shù)列，對(duì)于，，令，即，對(duì)任意的正整數(shù)，總為正整數(shù)，故總能找到正整數(shù)，使得成立，如，故為T(mén)數(shù)列，即存在兩個(gè)T數(shù)列，使得，D正確，故選ABD12．【正確答案】【詳解】由等比數(shù)列的性質(zhì)可得，即，解得.13．【正確答案】【詳解】因?yàn)殡S機(jī)變量，可知正態(tài)分布曲線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是，所以正態(tài)分布的對(duì)稱(chēng)性可得，故.14．【正確答案】【詳解】由可得，且，，則切線(xiàn)方程為，令可得，解得，即，在點(diǎn)處的切線(xiàn)斜率為，則切線(xiàn)方程為，因?yàn)榍芯€(xiàn)交軸于，令，則，即，即，則，則，因?yàn)椋裕?，所以?shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，則，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，即，所以，且，即的最大值為.15．【正確答案】（1）（2）【詳解】（1）設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，所以.（2）由（1）知，則，所以，所以.16．【正確答案】（1）（2）最大值為，最小值為.【詳解】（1）由題意可得，因?yàn)?，則，解得.（2）由（1）可知，則，，令，即，解得，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增，即時(shí)，有極小值，且，又，，所以在區(qū)間上的最大值為，最小值為.17．【正確答案】（1）更適宜作為回歸模型，理由見(jiàn)解析（2）（i）；（ⅱ）會(huì)報(bào)警提示，理由見(jiàn)解析【詳解】（1）更適宜作為回歸模型，理由如下：從散點(diǎn)圖可以看出，剩余電量y（庫(kù)侖）與使用時(shí)間t（小時(shí)）不呈線(xiàn)性變化，減小速度越來(lái)越慢，呈線(xiàn)性變化，不適宜作為回歸模型，故更適宜作為回歸模型；（2）（i）兩邊取對(duì)數(shù)得，由于，故，，即，故，（ⅱ）會(huì)報(bào)警提示，理由如下：中，令得，故會(huì)報(bào)警提示.18．【正確答案】（1）答案見(jiàn)解析（2）（3）證明見(jiàn)解析【詳解】（1）因?yàn)椋?若，則在上恒成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增；若，由；由.所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.綜上可得：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）得，欲使恒成立，須有，且.由.所以的取值范圍為.（3）當(dāng)時(shí)，.設(shè)（），則，因?yàn)椋?所以在上單調(diào)遞增，所以.所以在上恒成立.設(shè)（），則.由；由.所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.又，所以即在上恒成立.所以在上恒成立.故原不等式成立.19．【正確答案】（1）分布列見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望為3；（2）證明見(jiàn)解析