高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1浙江省A9協(xié)作體2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期4月期中考試數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘；2．答題前，在答題卷密封區(qū)內(nèi)填寫班級、學(xué)號(hào)和姓名；座位號(hào)寫在指定位置；3．所有答案必須寫在答題卷上，寫在試卷上無效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題卷.第I卷一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B.C. D.【答案】C【解析】解不等式可得，所以，所以，故選：C2.下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)錯(cuò)誤；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B.3.關(guān)于的不等式的解集為，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】因?yàn)榈慕饧癁?，所以，對?yīng)方程，，則，所以.故選：D.4.已知函數(shù)，則的值為（）A3 B.2 C.1 D.0【答案】A【解析】因?yàn)?，則令，有，所以.故選：A.5.已知，，且，則的最小值為（）A.12 B.9 C.8 D.6【答案】C【解析】因?yàn)?，，，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值為8.故選：C6.的展開式中的系數(shù)為（）A.60 B.20 C.-20 D.-60【答案】D【解析】，展開式的通項(xiàng)公式為，令，故，的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，故的系數(shù)為，故選：D.7.已知正四面體的頂點(diǎn)處有一質(zhì)點(diǎn)，點(diǎn)每次隨機(jī)沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，則點(diǎn)經(jīng)過4次移動(dòng)后仍回到頂點(diǎn)處的概率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】點(diǎn)每次隨機(jī)沿一條棱向相鄰的某個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)，且向每個(gè)頂點(diǎn)移動(dòng)的概率相同，每次移動(dòng)有3種可能，則點(diǎn)經(jīng)過4次移動(dòng)共有種移動(dòng)情況，滿足點(diǎn)經(jīng)過4次移動(dòng)后仍回到頂點(diǎn)處的情況共有種，所以點(diǎn)經(jīng)過4次移動(dòng)后仍回到頂點(diǎn)處的概率為故選：C.8.已知函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的值為（）A. B.1 C.2 D.3【答案】B【解析】由條件得，，①若，則，則在上單調(diào)遞增，則至多有一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意；②若，則得或；得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，取，則，，則，因，則由零點(diǎn)存在性定理可知，在上存在唯一一個(gè)零點(diǎn)，因，則若使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，有，得；③若，則得或；得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因，則時(shí)，，則在上至多存在一個(gè)零點(diǎn)，不符合題意，綜上所知，若使函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，則.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.已知隨機(jī)變量，則下列說法正確的是（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因?yàn)椋瑒t，，A選項(xiàng)錯(cuò)誤；，，B選項(xiàng)正確；，C選項(xiàng)正確；，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：.10.有大小、形狀、質(zhì)地完全相同的白色、黃色、藍(lán)色小球各3個(gè)，紅色小球1個(gè)，并且將這個(gè)紅色小球命名為“幸運(yùn)A9球”，現(xiàn)將這10個(gè)小球裝在一個(gè)盒子里，依次任取3個(gè)小球，則下列說法正確的是（）A.“幸運(yùn)A9球”被選中的概率為B.每次取后再放回，則第3次才取到“幸運(yùn)A9球”的概率C.每次取后不放回，則第3次取到“幸運(yùn)A9球”的概率最大D.記事件為“幸運(yùn)A9球”被選中，事件為“取得的3個(gè)小球不同色”，則【答案】ABD【解析】A，從盒子中任選3個(gè)小球共有種，其中紅球被選中共有種，則按照古典概型可知，“幸運(yùn)A9球”被選中的概率為，故A正確；B，每次取1個(gè)球，該球是紅球的概率為，則不是紅球的概率為，則第3次才取到“幸運(yùn)A9球”的概率，故B正確；C，從盒子中依次取3個(gè)小球共有種，其中第1、2、3次取到紅球分別有、、種，則按照古典概型可知，第1、2、3次取到“幸運(yùn)A9球”的概率均為，故C錯(cuò)誤；D，由題意可知，，則，故D正確.故選：ABD11.已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A.若，則有極大值，無極小值B.若，則有四個(gè)單調(diào)區(qū)間C.若，且有兩個(gè)零點(diǎn)，則成立D.若，則對任意，都有成立【答案】ACD【解析】A項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，.令，得，當(dāng)或時(shí)，，在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減；所以在處取極大值，無極小值，故A正確；B項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，.則,所以在與上都單調(diào)遞增，故B錯(cuò)誤；C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，無意義，故必不是的零點(diǎn)，而有兩個(gè)零點(diǎn)，可令，，不影響取值范圍分析.若有兩個(gè)零點(diǎn)，證明：則方程有兩根，則必有一個(gè)零點(diǎn)，要使有解，則，且，即且.當(dāng)且時(shí)，由解得，當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，在單調(diào)遞增；要使有兩個(gè)零點(diǎn)，則，若時(shí)，，此時(shí)不滿足題意，故.當(dāng)時(shí)，由得.又由，，且當(dāng)，則在與內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，由題意不妨設(shè)，則，則，，兩式作比得，令，則，代入，解得，則，故，所以要證明，即證明，，只需證，即證明，令，，則，，故在上單調(diào)遞增；所以，故在上單調(diào)遞增，故故，故C正確；D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，則，，令，由，因?yàn)椋瑒t故恒有，所以當(dāng)時(shí)，且，即函數(shù)在單調(diào)遞增，也單調(diào)遞增，所以連接函數(shù)圖像上任意兩點(diǎn)的線段（弦）始終位于這兩點(diǎn)之間的曲線上方，則弦中點(diǎn)也始終位于這兩點(diǎn)之間的曲線上方，所以對任意，都有成立，D正確.故選：ACD.第II卷三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.已知隨機(jī)變量，則__________．【答案】1【解析】正態(tài)分布形式，，則，即.故答案為：1.13.甲、乙等5位大學(xué)生分配到3所單位實(shí)習(xí)，每人只能到一所單位實(shí)習(xí)，每所單位至少接收一人，則甲、乙分到同一單位的方案有__________種．【答案】36【解析】由題意可知，甲、乙分到同一單位的方案中3所單位的人數(shù)有3，1，1和2，2，1兩種可能，①在3，1，1方案中，包含甲乙在內(nèi)的3人到一所學(xué)校，另外兩人各到一所學(xué)校，有種方案；②在2，2，1方案中，甲乙去一所學(xué)校，其余3人中的1人去一所學(xué)校，剩余2人去另一所學(xué)校，有種方案，因此，所有的分配方案共有種，故答案為：36.14.已知函數(shù)，，對于任意的，存在，使得成立，則的最大值為__________．【答案】【解析】因?yàn)?，，?dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，且，所以，又，所以.所以.令，令，，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增.所以有最大值.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知的展開式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且所有項(xiàng)的系數(shù)和為729．（1）求和的值；（2）求展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)．解：（1）因?yàn)檎归_式中只有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，所以展開式一共有7項(xiàng)，即.令，所以所有項(xiàng)的系數(shù)和，因?yàn)?，解得；?）的展開式的通項(xiàng)為，，設(shè)展開式中第項(xiàng)的系數(shù)最大，則，解得，因?yàn)?，所以，所以展開式中系數(shù)最大的項(xiàng)為.16.某市共有10所重點(diǎn)大學(xué)可供考生選擇，其中3所為985高校，5所為211高校，另外2所為特色專業(yè)高校．一位考生準(zhǔn)備從這10所高校中隨機(jī)選擇4所進(jìn)行志愿填報(bào)，每所高校被選中的概率相同．（1）求該考生恰好選到2所985高校的概率；（2）若該考生選到985高校的數(shù)量為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望．解：（1）從10所高校中，任取4所，共有種取法，恰有2所985高校的取法為：，該考生恰好選到2所985高校的概率為；（2）設(shè)為該考生選到985高校的個(gè)數(shù)，則的取值為0，1，2，3．，，，，則0123.17.已知函數(shù)．（1）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．解：（1）當(dāng)時(shí)，，可得，則，即切線的斜率為，切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由題可得函數(shù)定義域?yàn)椋?，①?dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；②當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，又，所以不恒成立；③當(dāng)，令，則，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，則單調(diào)遞減，所以有極大值且為最大值，即，即，解得，所以的取值范圍為．18.某校為豐富學(xué)生的校園生活決定開展興趣課，興趣課包括音樂課，舞蹈課，影視鑒賞課、籃球課、圍棋課等十余種．興趣課共開展3個(gè)月，每種課每月4節(jié)且必須上滿，每節(jié)課可得1分且表現(xiàn)優(yōu)秀可額外獲得1分，若本月不少于6分，下月可以選擇繼續(xù)上此課或者選擇其他的興趣課，6分以下則只能上原來的課．現(xiàn)有甲、乙兩人是好朋友，在第一個(gè)月他們一起選擇了音樂課，音樂課上甲每節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)秀的概率為，乙每節(jié)課表現(xiàn)優(yōu)秀的概率為．（1）求甲第一個(gè)月得分的分布列及數(shù)學(xué)期望；（2）求第二個(gè)月甲乙兩人可以一起選擇其他興趣課的概率；（3）若乙每種課的表現(xiàn)優(yōu)秀率一致，在三個(gè)月后乙一共獲得21分的情況下，求他在第二個(gè)月獲得8分的概率．解：（1）方法一：記甲在第一個(gè)月的得分為，則的取值為4，5，6，7，8，則，，，，，所以甲第一個(gè)月得分的分布列為：45678；方法二：設(shè)甲的4節(jié)課中優(yōu)秀的節(jié)數(shù)為，則且則；（2）記事件為“甲、乙第二個(gè)月可以一起選擇其他興趣課”，設(shè)甲在第一個(gè)月的得分為，則，設(shè)乙在第一個(gè)月的得分為，設(shè)乙的4節(jié)課中優(yōu)秀的節(jié)數(shù)為，則且，所以，，，所以；45678（3）記事件B為“乙在三個(gè)月后得分為21分”，事件為“乙在第2個(gè)月的得8分”乙得分為21分共有3種情況：①8+8+5，這種情況概率，②8+7+6，這種情況的概率，③7+7+7，這種情況的概率，所以，，則.19.英國數(shù)學(xué)家泰勒是18世紀(jì)早期一位非常杰出的數(shù)學(xué)家，以泰勒公式和泰勒級數(shù)聞名.泰勒公式是數(shù)學(xué)分析的重要組成部分，它的理論方法在近似計(jì)算、求極限、不等式的證明等方面都有重要的應(yīng)用．例如：函數(shù)的帶有佩亞諾余項(xiàng)的泰勒展開式為：，，為佩亞諾余項(xiàng)，在解決問題時(shí)可以忽略不計(jì).（1）若，利用泰勒展開式證明：；（2）當(dāng)時(shí)，證明：；（3）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)