中學(xué)奧林匹克競賽試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.下列運算正確的是（）A.$a^2+a^3=a^5$B.$(a^2)^3=a^5$C.$a^6\diva^2=a^4$D.$a^2\cdota^3=a^6$2.一元二次方程$x^2-3x-4=0$的兩根分別為（）A.$x_1=1$，$x_2=-4$B.$x_1=-1$，$x_2=4$C.$x_1=-1$，$x_2=-4$D.$x_1=1$，$x_2=4$3.在平面直角坐標(biāo)系中，點$P(-3,4)$關(guān)于$x$軸對稱的點的坐標(biāo)是（）A.$(3,4)$B.$(-3,-4)$C.$(3,-4)$D.$(-4,3)$4.函數(shù)$y=\frac{1}{\sqrt{x-2}}$中，自變量$x$的取值范圍是（）A.$x\gt2$B.$x\geq2$C.$x\lt2$D.$x\neq2$5.一個多邊形的內(nèi)角和是外角和的$2$倍，則這個多邊形是（）A.四邊形B.五邊形C.六邊形D.八邊形6.拋物線$y=2(x-3)^2+4$的頂點坐標(biāo)是（）A.$(3,4)$B.$(-3,4)$C.$(3,-4)$D.$(-3,-4)$7.已知$\sin\alpha=\frac{1}{2}$，且$\alpha$是銳角，則$\alpha$等于（）A.$30^{\circ}$B.$45^{\circ}$C.$60^{\circ}$D.$90^{\circ}$8.已知兩圓的半徑分別為$3$和$5$，圓心距為$4$，則這兩圓的位置關(guān)系是（）A.外離B.外切C.相交D.內(nèi)切9.化簡$\frac{x^2-1}{x}\div\frac{x-1}{x^2}$的結(jié)果是（）A.$x(x+1)$B.$x(x-1)$C.$(x+1)(x-1)$D.$x^2$10.數(shù)據(jù)$2$，$3$，$4$，$5$，$4$，$3$的眾數(shù)是（）A.$2$B.$3$C.$4$D.$5$答案：1.C2.B3.B4.A5.C6.A7.A8.C9.A10.B二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.以下屬于無理數(shù)的是（）A.$\sqrt{2}$B.$\pi$C.$0$D.$\frac{1}{3}$2.下列因式分解正確的是（）A.$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$B.$x^2+2x+1=(x+1)^2$C.$x^2-4x+4=(x-2)^2$D.$x^2+x=x(x+1)$3.以下哪些是一次函數(shù)（）A.$y=2x+1$B.$y=\frac{1}{x}$C.$y=3x$D.$y=x^2-1$4.下列圖形中，是中心對稱圖形的有（）A.平行四邊形B.矩形C.菱形D.正方形5.關(guān)于$x$的一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\neq0$），有兩個相等的實數(shù)根，則（）A.$\Delta=b^2-4ac=0$B.$b^2=4ac$C.方程的根為$x=-\frac{2a}$D.方程沒有實數(shù)根6.以下三角函數(shù)值正確的是（）A.$\sin30^{\circ}=\frac{1}{2}$B.$\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$C.$\tan60^{\circ}=\sqrt{3}$D.$\sin60^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$7.一個幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖都是圓，則這個幾何體可能是（）A.球B.圓柱C.圓錐D.正方體8.若點$A(x_1,y_1)$，$B(x_2,y_2)$在反比例函數(shù)$y=\frac{k}{x}$（$k\gt0$）的圖象上，且$x_1\lt0\ltx_2$，則（）A.$y_1\lt0$B.$y_2\gt0$C.$y_1\gty_2$D.$y_1\lty_2$9.下列不等式組中，無解的是（）A.$\begin{cases}x\gt2\\x\lt1\end{cases}$B.$\begin{cases}x\geq3\\x\leq3\end{cases}$C.$\begin{cases}x\lt-1\\x\gt-2\end{cases}$D.$\begin{cases}x\leq0\\x\gt1\end{cases}$10.下列運算正確的是（）A.$a^3\cdota^4=a^{12}$B.$(a^3)^4=a^{12}$C.$a^6\diva^3=a^2$D.$(ab)^3=a^3b^3$答案：1.AB2.ABCD3.AC4.ABCD5.ABC6.ABCD7.A8.ABD9.AD10.BD三、判斷題（每題2分，共20分）1.兩個銳角的和一定是鈍角。（）2.所有的偶數(shù)都是合數(shù)。（）3.直線外一點到這條直線的垂線段，叫做這點到直線的距離。（）4.若$a\gtb$，則$ac^2\gtbc^2$。（）5.圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)。（）6.函數(shù)$y=\frac{1}{x-1}$中，自變量$x$可以取$1$。（）7.三角形的外心是三角形三邊垂直平分線的交點。（）8.一組數(shù)據(jù)的方差越大，這組數(shù)據(jù)的波動越大。（）9.若一個多邊形的內(nèi)角和是$1080^{\circ}$，則這個多邊形是八邊形。（）10.二次函數(shù)$y=-x^2$的圖象開口向上。（）答案：1.×2.×3.×4.×5.√6.×7.√8.√9.√10.×四、簡答題（每題5分，共20分）1.解方程：$x^2-5x+6=0$。答案：分解因式得$(x-2)(x-3)=0$，則$x-2=0$或$x-3=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$。2.已知一個三角形的兩邊長分別為$3$和$5$，第三邊是方程$x^2-6x+8=0$的根，求這個三角形的周長。答案：解方程$x^2-6x+8=0$，得$(x-2)(x-4)=0$，$x=2$或$x=4$。當(dāng)?shù)谌厼?2$時，$2+3=5$，不滿足三邊關(guān)系，舍去；當(dāng)?shù)谌厼?4$時，周長為$3+4+5=12$。3.求二次函數(shù)$y=x^2-4x+3$的對稱軸和頂點坐標(biāo)。答案：將函數(shù)化為頂點式$y=(x-2)^2-1$，所以對稱軸為直線$x=2$，頂點坐標(biāo)為$(2,-1)$。4.已知$\sin\alpha=\frac{3}{5}$，且$\alpha$為銳角，求$\cos\alpha$的值。答案：因為$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$，所以$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-(\frac{3}{5})^2}=\frac{4}{5}$。五、討論題（每題5分，共20分）1.在平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)$y=kx+b$（$k\neq0$）的圖象經(jīng)過點$(1,2)$和$(-1,-4)$，請討論$k$、$b$的值以及該函數(shù)圖象的性質(zhì)。答案：把點$(1,2)$和$(-1,-4)$代入$y=kx+b$，得$\begin{cases}k+b=2\\-k+b=-4\end{cases}$，解得$\begin{cases}k=3\\b=-1\end{cases}$。函數(shù)為$y=3x-1$，$k=3\gt0$，圖象從左到右上升，$y$隨$x$增大而增大，與$y$軸交于點$(0,-1)$。2.討論在一個直角三角形中，已知一條直角邊和斜邊的長度，如何求另一條直角邊以及三個內(nèi)角的度數(shù)。答案：根據(jù)勾股定理，另一條直角邊等于斜邊的平方減去已知直角邊的平方再開方。求內(nèi)角時，已知直角為$90^{\circ}$，一個銳角的正弦值等于已知直角邊與斜邊的比值，可求出該銳角，進(jìn)而求出另一個銳角。3.探討二次函數(shù)$y=ax^2+bx+c$（$a\neq0$）的圖象與$x$軸交點個數(shù)和判別式$\Delta=b^2-4ac$的關(guān)系。答案：當(dāng)$\Delta\gt0$時，圖象與$x$軸有兩個不同交點；當(dāng)$\Delta=0$時，圖象與$x$軸有一個交點；當(dāng)$\Del