第7章銳角三角函數(shù)7.6

用銳角三角函數(shù)解決問題九年級數(shù)學(xué)下冊蘇科版1坡度、坡角問題2仰角、俯角問題3方向角問題4用銳角三角函數(shù)解決實際問題CONTENTS1新知導(dǎo)入復(fù)習(xí)引入1.三角函數(shù)的計算方法：AbacCB30°45°60°sinαcosαtanα角α三角函數(shù)2.特殊角的三角函數(shù)值：1CONTENTS2課程講授坡度、坡角問題問題1觀察下圖，想一想如何對它們的傾斜程度進(jìn)行描述.

定義：

坡度、坡角問題αli=h:lABC

我們把斜坡與水平面的夾角α稱為坡角.如圖，AB是一斜坡.

斜坡的垂直高度BC(h)與斜坡的水平距離AC(l)的比稱為坡度(或坡比)，記作i，即i=h:l

.坡度與坡角的關(guān)系：h坡度、坡角問題問題1如圖，水壩的橫截面是梯形ABCD，迎水坡BC的坡角α為30°，背水坡AD的坡度i（即tanβ）為1:1.2，壩頂DC=2.5m，壩高4.5m.求:（1）背水坡AD的坡角β(精確到0.1°)；（2）壩底AB的長.(精確到0.1m).DABCβαFE【分析】作梯形ABCD的高CE、DF.根據(jù)題意，在Rt△AFD和Rt△BEC中，可以分別求出AF與BE的長，從而可求得壩底AB的長.解：如圖，作CE⊥AB，DF⊥AB，垂足分別為E、F.用計算器計算，得β

≈39.8.坡度、坡角問題DABCβαFE（1）背水坡AD的坡度i=tanβ=1:1.2，=.（2）在Rt△BEC中，α

=30°，∠BCE=90°-30°=60°，

EB=CE·tan∠BCE=4.5×tan60°.∴AF=1.2DF=1.2×4.5=5.4.又FE=DC=2.5，∴AB=AF+FE+EB=5.4+2.5+4.5×tan60°≈15.7.在Rt△AFD中，練一練：如圖，某山坡的坡面AB=200米，坡角∠BAC=30°，則該山坡的高BC的長為（）A.50米B.100米C.150米D.米B坡度、坡角問題仰角、俯角問題問題2觀察下圖中不同拍攝視角看到的圖像，試著發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律.由上往下拍攝水下仰拍仰角、俯角問題問題3觀察下圖中不同拍攝視角看到的圖像，試著推測它們的拍攝角度.由下往上拍攝俯拍仰角、俯角問題

定義：

我們在觀察物體時，視線與水平線所成的角稱為仰角或俯角.從上往下看，視線與水平線的夾角叫做俯角.右圖中的∠1就是________，∠2就是________.俯角仰角從下往上看，視線與水平線的夾角叫仰角.仰角、俯角問題例1熱氣球的探測器顯示，從熱氣球看一棟高樓頂部的仰角為30°，看這棟高樓底部的俯角為60°，熱氣球與高樓的水平距離為120m，這棟高樓有多高（結(jié)果精確到0.1m）？ABC仰角、俯角問題解：如圖，α=30°，β=60°，AD＝120．∴BD=AD·tana=120·tan30°=120×=CD=AD·tanβ=120·tan60°=120×=∴BC=BD+

CD=

+=≈277（m）因此，這棟樓高約為277.1m.DABCβα練一練：如圖，飛機在空中A處探測到它的正下方地面上目標(biāo)C，此時飛行高度AC=1200米，從飛機上看地面指揮臺B的俯角α的正切值為，則飛機與指揮臺之間的距離AB為（）A.1200米B.1600米C.1800米D.2000米

仰角、俯角問題D問題4觀察下圖中圖形的方位，試著描述它們的位置.方向角問題小島輪船漁船燈塔東北例2如圖，一艘海輪位于燈塔P的北偏東65°方向，距離燈塔80nmile的A處，它沿正南方向航行一段時間后，到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向上的B處，這時，海輪所在的B處距離燈塔P有多遠(yuǎn)（結(jié)果取整數(shù)）？方向角問題65°34°PBCA方向角問題解：如圖，在Rt△APC中，PC=PA·cos（90°－65°）=80×cos25°≈80×0.91=72.505.在Rt△BPC中，∠B=34°，因此，當(dāng)海輪到達(dá)位于燈塔P的南偏東34°方向時，它距離燈塔P大約130nmile．65°34°PBCA∴PB=≈130（nmile）.方向角問題練一練：如圖，小雅家（圖中點O處）門前有一條東西走向的公路，經(jīng)測得有一水塔（圖中點A處）在距她家北偏東60°方向的500米處，那么水塔所在的位置到公路的距離AB是（）A.250米B.米C.米D.米A用銳角三角函數(shù)解決實際問題AOBC例3游樂場的大型摩天輪的半徑為20m，旋轉(zhuǎn)1周需要12min.小明從摩天輪的底部(與地面相距0.3m)出發(fā)開始觀光，2min后小明離地面多高?【分析】如圖，用⊙O表示摩天輪，小明從底部點A出發(fā)，經(jīng)過2min后到達(dá)點B，由題意可求∠BOA的大小.如果作BC⊥OA，垂足為C，在Rt△OCB中，可以根據(jù)OB及∠BOA的大小求得OC，那么就可知道此時小明離地面的高度.用銳角三角函數(shù)解決實際問題AOBC解：如圖，用⊙O表示摩天輪，A、B分別表示小明的出發(fā)點和2min后的到達(dá)點.由題意知，OB=20，∠BOA=360°÷6=60°.作BC⊥OA，垂足為C.在Rt△OCB中，答：2min后小明離地面10.3m.AC=AO-CO=20-10=10.因為摩天輪底部與地面相距0.3m，所以小明離地面的高度應(yīng)為10.3m.

用銳角三角函數(shù)的知識解決實際問題的主要步驟：

1．分析實際問題中某些名詞、概念的意義，正確理解條件和結(jié)論的關(guān)系；2．將現(xiàn)實問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，建立直角三角形模型；3．根據(jù)條件特點，選用適當(dāng)?shù)匿J角三角函數(shù)解決問題；4．寫出解答過程與答案．用銳角三角函數(shù)解決實際問題用銳角三角函數(shù)解決實際問題練一練：如圖，小明為了測量校園里旗桿AB的高度，將測角儀CD豎直放在距旗桿底部B點6m的位置，在D處測得旗桿頂端A的仰角為53°，若測角儀的高度是1.5m，則旗桿AB的高度約為______m.（精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin53°≈0.80，cos53°≈0.60，tan53°≈1.33）9.5CONTENTS3隨堂練習(xí)1.如圖，小島在港口P的北偏西60°方向，距港口56海里的A處，貨船從港口P出發(fā)，沿北偏東45°方向勻速駛離港口P，4小時后貨船在小島的正東方向，則貨船的航行速度是（）A.72海里/時B.73海里/時C.76海里/時D.282海里/時A2.小亮為測量如圖所示的湖面的寬度BC，他在同一水平面上取一點A，測得湖的一端C在A處的正北方向，另一端B在A處的北偏東60°的方向，并測得A,C間的距離AC=10m，則湖的寬度BC為________m.3.某水庫堤壩的橫斷面如圖所示，迎水坡AB的坡度是1∶3，堤壩高BC=50m，則AB=_______m.1005.某商場為方便消費者購物，準(zhǔn)備將原來的階梯式自動扶梯改造成斜坡式自動扶梯.如圖，已知原階梯式自動扶梯AB長為10m，坡角∠ABD=30°，改造后的斜坡式自動扶梯的坡角∠ACB=15°，請你計算改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度.（結(jié)果精確到0.1m，參考數(shù)據(jù)：sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27）答：改造后的斜坡式自動扶梯AC的長度約為19.2m.解：在Rt△ABD中，∵∠ABD