專題14線段和角的動(dòng)態(tài)問題的八種考法目錄解題知識(shí)必備 1壓軸題型講練 2類型一、線段上動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)問題 2類型二、線段上動(dòng)點(diǎn)求定值問題 6類型三、線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題 10類型四、線段上動(dòng)點(diǎn)的新定義型問題 13類型五、幾何圖形中動(dòng)角求定值問題 17類型六、幾何圖形中動(dòng)角探究數(shù)量關(guān)系問題 21類型七、幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題 26類型八、幾何圖形中動(dòng)角之新定義型問題 32壓軸能力測(cè)評(píng)（18題） 36解題知識(shí)必備1.線段的中點(diǎn)模型把一條線段分成兩條相等線段的點(diǎn)，叫做線段的中點(diǎn)．如下圖，有：2.角平分線模型從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線，叫做這個(gè)角的平分線．如圖所示，OC是∠AOB的角平分線，∠AOB＝2∠AOC＝2∠BOC，∠AOC＝∠BOC=12∠AOB壓軸題型講練類型一、線段上動(dòng)點(diǎn)求線段長(zhǎng)問題例題：（23-24七年級(jí)上·陜西渭南·期末）如圖，B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以的速度沿往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)；(2)當(dāng)時(shí)，求線段的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、兩點(diǎn)間的距離【分析】本題主要考查了線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，線段的和差計(jì)算，解題關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，熟練掌握中點(diǎn)的定義．（1）根據(jù)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的速度進(jìn)行計(jì)算即可；（2）先求出，然后根據(jù)中點(diǎn)定義進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)B是線段上一動(dòng)點(diǎn)，以的速度沿往返運(yùn)動(dòng)1次，∴當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為：；（2）解：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)的路程為：，∵，∴此時(shí)，∴，∵C是線段的中點(diǎn)，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24六年級(jí)下·山東青島·期末）如圖，動(dòng)點(diǎn)B在線段AD上，沿以2cm/s的速度往返運(yùn)動(dòng)1次，C是線段BD的中點(diǎn)，，設(shè)點(diǎn)B的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)時(shí)，①________cm；②求線段CD的長(zhǎng)度．(2)用含t的代數(shù)式表示運(yùn)動(dòng)過程中線段AB的長(zhǎng)度．【答案】(1)①；②(2)或【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】（1）①根據(jù)速度乘以時(shí)間等于路程，可得答案；②根據(jù)線段的和差，可得BD的長(zhǎng)，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)，可得答案；（2）根據(jù)速度乘以時(shí)間等于路程，及線段的和差，可得AB的長(zhǎng)．【詳解】（1）解：①當(dāng)時(shí)，；故答案為：4②∵，，∴．∵C是線段BD的中點(diǎn)，∴．（2）解：∵B是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)，沿以2m/s的速度往返運(yùn)動(dòng)，∴當(dāng)點(diǎn)B沿點(diǎn)A→D運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B沿點(diǎn)D→A運(yùn)動(dòng)時(shí)，∴綜上所述，（）或（）【點(diǎn)睛】本題考查兩點(diǎn)間的距離，利用線段中點(diǎn)的性質(zhì)及線段的和差得出AB與BD的關(guān)系是解題關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·重慶沙坪壩·期末）點(diǎn)C在線段上滿足，點(diǎn)D和點(diǎn)E是線段上的兩動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D在點(diǎn)E的左側(cè)）滿足，．(1)當(dāng)點(diǎn)E是的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)度；(2)當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)度．【答案】(1)(2)【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查線段的和差，線段的中點(diǎn)．（1）由，可得，，由點(diǎn)E是的中點(diǎn)，得到，從而，；（2）設(shè)，則，，根據(jù)即可得到方程，求解即可解答．【詳解】（1）∵，，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴；（2）設(shè)，則，，∵，∴，解得，∴．【變式訓(xùn)練3】（22-23七年級(jí)上·河南駐馬店·期末）線段，C，D是線段AB上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），且，E為的中點(diǎn)，(1)如圖1，當(dāng)時(shí)，求DE的長(zhǎng)．(2)如圖2，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)①點(diǎn)C，D在線段AB上移動(dòng)的過程中，線段的長(zhǎng)度是否會(huì)發(fā)生變化，若會(huì)，請(qǐng)說明理由，若不會(huì)，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．②當(dāng)時(shí)，請(qǐng)直接寫出線段DE的長(zhǎng)．【答案】(1)4(2)①不變，4；②4.2或5.8【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）首先根據(jù)題意求出的長(zhǎng)度，然后由為的中點(diǎn)求出的長(zhǎng)度，最后即可求出的長(zhǎng)；（2）由題意可得，由為的中點(diǎn)和為的中點(diǎn)表示出，代入，即可求出長(zhǎng)．【詳解】（1）解：因?yàn)樗砸驗(yàn)闉榈闹悬c(diǎn)．所以，因?yàn)?，所以?）解：①因?yàn)槭蔷€段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)，所以，．因?yàn)樗跃€段的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，．②或．提示：當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖1所示。因?yàn)椋裕散僦裕?dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖2所示．因?yàn)椋杂散僦?，所以綜上所述，當(dāng)時(shí)，線段的長(zhǎng)為或．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的和差計(jì)算以及有關(guān)線段中點(diǎn)的計(jì)算問題，解題的關(guān)鍵是正確分析題目中線段之間的數(shù)量關(guān)系．類型二、線段上動(dòng)點(diǎn)求定值問題例題：（23-24七年級(jí)上·云南曲靖·期末），是數(shù)軸上的兩點(diǎn)（點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)），點(diǎn)表示的數(shù)為，、兩點(diǎn)的距離是點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的倍，即．點(diǎn)為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)．(1)數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是______；(2)當(dāng)時(shí)，求點(diǎn)表示的數(shù)；(3)若點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)你說明理由；若不變，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)；(2)點(diǎn)表示的數(shù)為或；(3)不發(fā)生變化，圖見解析，．【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段的和與差【分析】（1）本題根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離算出，利用，得到的長(zhǎng)，利用數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，即可解題．（2）本題根據(jù)，可判斷點(diǎn)不在線段上，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，則可分兩種情況進(jìn)行分析：點(diǎn)在左側(cè)或點(diǎn)在右側(cè)，分別表示出后，根據(jù)建立等式求解，即可解題；（3）本題根據(jù)點(diǎn)為數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，分為以下三種情況，①點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，②點(diǎn)在之間，③點(diǎn)在點(diǎn)右側(cè)，利用中點(diǎn)求出線段、的長(zhǎng)度，根據(jù)圖形分析表示出的長(zhǎng)度，即可解題．【詳解】（1）解：點(diǎn)表示的數(shù)為，，，，又點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，點(diǎn)表示的數(shù)為，故答案為：．（2）解：設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)或點(diǎn)的右側(cè)，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，解得；當(dāng)在的右側(cè)時(shí)，．解得．綜上所述，點(diǎn)表示的數(shù)為或．（3）解：的長(zhǎng)度不發(fā)生變換，理由如下：①點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，；②點(diǎn)在之間，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，；③點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)，，，是的中點(diǎn)，是的中點(diǎn)，，，．【點(diǎn)睛】本題考查用數(shù)軸上的點(diǎn)表示有理數(shù)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題，線段中點(diǎn)的定義、一元一次方程的應(yīng)用、線段的和差，解題關(guān)鍵是根據(jù)數(shù)軸表示出線段的長(zhǎng)度．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·北京·期末）如圖，線段，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒2個(gè)單位的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，M為的中點(diǎn)．(1)出發(fā)多少秒后，？(2)當(dāng)P在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，試說明為定值．(3)當(dāng)P在延長(zhǎng)線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，N為的中點(diǎn)，下列兩個(gè)結(jié)論：長(zhǎng)度不變；的值不變．選擇一個(gè)正確的結(jié)論，并求出其值．【答案】(1)出發(fā)6秒后；(2)，理由見解析；(3)選，，理由見解析．【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，解答本題的關(guān)鍵是用含時(shí)間的式子表示出各線段的長(zhǎng)度．（1）分兩種情況討論，點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊，點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊，分別求出t的值即可．（2），，，表示出后，化簡(jiǎn)即可得出結(jié)論．（3），，，，分別表示出，的長(zhǎng)度，即可作出判斷．【詳解】（1）解：設(shè)出發(fā)x秒后，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左邊時(shí)，，，，由題意得，，解得：；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右邊時(shí)，，，，由題意得：，方程無解；綜上可得：出發(fā)6秒后．（2）解：，，，；（3）解：選；，，，，定值；變化．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·吉林白城·期末）如圖，線段，點(diǎn)是線段上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，再?gòu)狞c(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)，然后停止．設(shè)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為．(1)當(dāng)時(shí)，________；當(dāng)時(shí)，________；(2)用含的式子表示整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中的長(zhǎng)度；(3)設(shè)是線段的中點(diǎn)，是線段的中點(diǎn)．①當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度是否變化？若不變，求出的長(zhǎng)度；若變化，說明理由；②當(dāng)時(shí)，直接寫出的值，________．【答案】(1)4；8(2)①當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，；②當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，(3)①當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)，線段的長(zhǎng)度不變，；②或【知識(shí)點(diǎn)】列代數(shù)式、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，用代數(shù)式表示式，線段的和差以及線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算，根據(jù)情況分情況計(jì)算是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意先得出當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處，時(shí)，點(diǎn)C從點(diǎn)B處返回點(diǎn)A，然后求出以及時(shí)的結(jié)果即可；（2）由（1）分析可知：當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)以及當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，兩種情況下的的長(zhǎng)度；（3）①設(shè)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，根據(jù)線段中點(diǎn)的相關(guān)計(jì)算即可求解；②在若點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，時(shí)，點(diǎn)C從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，時(shí)，兩種情況下分別求解即可．【詳解】（1）解：由題意可知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B處，時(shí)，點(diǎn)C從點(diǎn)B處返回點(diǎn)A，當(dāng)時(shí)，（厘米），當(dāng)時(shí)，（厘米），故答案為：4，8；（2）由（1）分析可知：當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)從運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，；（3）設(shè)D是線段的中點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，①當(dāng)點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，線段的長(zhǎng)度不變化，D是線段的中點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，，，即的長(zhǎng)度為；②當(dāng)時(shí)，若點(diǎn)C從點(diǎn)A向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，時(shí)，是線段的中點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，，，即有，；若點(diǎn)C從點(diǎn)B向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，時(shí)，D是線段的中點(diǎn)，E是線段的中點(diǎn)，，，即有，，綜上可知，當(dāng)時(shí)，t的值為或．類型三、線段上動(dòng)點(diǎn)求時(shí)間問題例題：（23-24七年級(jí)·四川達(dá)州·階段練習(xí)）如圖，C是線段中點(diǎn)，且，兩點(diǎn)分別從C、B同時(shí)出發(fā)以，的速度沿線段向左運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)時(shí)，求的值．(2)若點(diǎn)相距，則的值為多少？【答案】(1)(2)或【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、兩點(diǎn)間的距離、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】（1）由題意列出方程并求解即可；（2）分兩種情況：①

當(dāng)點(diǎn)M未追上點(diǎn)N時(shí)；②

當(dāng)點(diǎn)M追上點(diǎn)N后，分別列出方程并求解即可．【詳解】（1）解：由題意得：解得：，∴當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)時(shí)，的值為；（2）當(dāng)點(diǎn)未追上點(diǎn)時(shí)，，得；當(dāng)點(diǎn)追上點(diǎn)后，，得；綜上，當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)M與N相距．【點(diǎn)睛】本題考查線段上動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用，兩點(diǎn)之間距離的概念，找等量關(guān)系列出方程是解決問題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型．【變式訓(xùn)練1】（22-23七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)B在線段上，且，．動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．(1)線段、的中點(diǎn)之間的距離為_______．(2)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)C時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)求的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(4)設(shè)時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)6(2)6(3)當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；(4)或【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、列代數(shù)式【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，分別求出和的長(zhǎng)，再求和即可；（2）先求出當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)t的值，再根據(jù)路程時(shí)間速度可求出；（3）先找到何時(shí)P、Q相遇，再分段討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別求出的長(zhǎng)即可；（4）根據(jù)（3）中求出的長(zhǎng)，利用列方程，求出t的值即可．【詳解】（1）解：設(shè)點(diǎn)的中點(diǎn)為M，的中點(diǎn)為N，∵，，∴，，∴；（2）解：∵，∴∵動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向終點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)∴當(dāng)P到點(diǎn)C時(shí)，，∴；（3）解：當(dāng)點(diǎn)P、Q相遇時(shí)，．當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；（4）解：當(dāng)時(shí)，，解得；當(dāng)時(shí)，，解得．當(dāng)時(shí)，，（舍）．∴或．【點(diǎn)睛】本題考查在動(dòng)點(diǎn)問題的背景下考查線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，關(guān)鍵是理清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找到臨界點(diǎn)．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·重慶南岸·期末）如圖，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，線段，，點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)．(1)直接寫出線段和的長(zhǎng)；(2)若動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿直線向右運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位的速度沿直線向左運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)點(diǎn)A時(shí)立即掉頭沿直線向右運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q再次回到點(diǎn)B時(shí)，動(dòng)點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q重合？②當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)Q之間的距離．【答案】(1)；(2)①或；②或或或．【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了線段中點(diǎn)相關(guān)的計(jì)算，列一元一次方程解幾何動(dòng)點(diǎn)問題，恰當(dāng)分類并建立方程是解題的關(guān)鍵．（1）利用，結(jié)合已知條件計(jì)算線段的長(zhǎng)度，根據(jù)中點(diǎn)的定義計(jì)算線段的長(zhǎng)度，再利用計(jì)算線段的長(zhǎng)；（2）①點(diǎn)與點(diǎn)重合有兩種情況：點(diǎn)從到向左運(yùn)動(dòng)時(shí)、點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后掉頭向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，分別列方程求解即可；②分四種情況：動(dòng)點(diǎn)相遇前，動(dòng)點(diǎn)第一次相遇后反向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)第一次相遇后同向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)第二次相遇后同向運(yùn)動(dòng)，分別根據(jù)列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，∵點(diǎn)D為線段的中點(diǎn)，∴，∴．（2）解：①由題意可知，，點(diǎn)與點(diǎn)重合有兩種情況：點(diǎn)從到向左運(yùn)動(dòng)時(shí)、點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)后掉頭向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)點(diǎn)向左運(yùn)動(dòng)時(shí)，．解得．當(dāng)點(diǎn)向右運(yùn)動(dòng)時(shí)，．解得．答：當(dāng)或時(shí)，點(diǎn)與點(diǎn)重合．②當(dāng)動(dòng)點(diǎn)沒有相遇時(shí)，兩點(diǎn)相距4時(shí)，有，解得；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)第一次相遇后，向右運(yùn)動(dòng)，向左運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)相距4時(shí)，有，解得；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)第一次相遇后，向右運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)相距4時(shí)，有，解得；當(dāng)動(dòng)點(diǎn)第二次相遇后，向右運(yùn)動(dòng)，向右運(yùn)動(dòng)兩點(diǎn)相距4時(shí)，有，解得．綜上所述，滿足條件的有：或或或．類型四、線段上動(dòng)點(diǎn)的新定義型問題例題：（23-24七年級(jí)上·北京房山·期中）定義：若A，B，C為數(shù)軸上三點(diǎn)，若點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是點(diǎn)C到點(diǎn)B的距離2倍，我們就稱點(diǎn)C是的美好點(diǎn)．例如；如圖1，點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為2，表示1的點(diǎn)C到點(diǎn)A的距離是2，到點(diǎn)B的距離是1，那么點(diǎn)C是的美好點(diǎn)；又如，表示0的點(diǎn)D到點(diǎn)A的距離是1，到點(diǎn)B的距離是2，那么點(diǎn)D就不是的美好點(diǎn)，但點(diǎn)D是的美好點(diǎn)．如圖2，M，N為數(shù)軸上兩點(diǎn)，點(diǎn)M所表示的數(shù)為，點(diǎn)N所表示的數(shù)為2．(1)點(diǎn)E，F(xiàn)，G表示的數(shù)分別是，，11，其中是美好點(diǎn)的是________；寫出美好點(diǎn)H所表示的數(shù)是___________．(2)現(xiàn)有一只電子螞蟻P從點(diǎn)N開始出發(fā)，以2個(gè)單位每秒的速度向左運(yùn)動(dòng)．當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)P恰好為M和N的美好點(diǎn)？【答案】(1)G，或(2)或3或9【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、絕對(duì)值方程、與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題【分析】（1）根據(jù)美好點(diǎn)的定義即可求解；（2）根據(jù)美好點(diǎn)的定義，分三種情況分別確定P點(diǎn)的位置，進(jìn)而可確定t的值．【詳解】（1）解：根據(jù)題意得∶，此時(shí)，故點(diǎn)E不是美好點(diǎn)；，此時(shí)，故點(diǎn)F不是美好點(diǎn)；，此時(shí)，故點(diǎn)G是美好點(diǎn)；故答案是：G．設(shè)點(diǎn)H所表示的數(shù)是x，則，∵點(diǎn)H為美好點(diǎn)，∴，∴，解得：或；故答案是：或．（2）解：第一情況：當(dāng)P為的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖1，∵，，∴，∴秒；第二種情況，當(dāng)P為的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M，N之間，如圖2，∵，，∴，∴秒；第三種情況，P為的美好點(diǎn)，點(diǎn)P在M左側(cè)，如圖3，∵，，∴，∴秒；綜上所述，t的值為：或3或9．【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)與數(shù)軸、美好點(diǎn)的定義等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是理解題意，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問題，屬于中考創(chuàng)新題目．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·江西吉安·期末）我們將數(shù)軸上不同的三點(diǎn)A，B，C表示的數(shù)記為a，b，c，若滿足，其中為有理數(shù)，則稱點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“星點(diǎn)”．已知在數(shù)軸上，原點(diǎn)為，點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)分別為，．(1)若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的“星點(diǎn)”，則；若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“星點(diǎn)”，則．(2)若線段在數(shù)軸上沿正方向運(yùn)動(dòng)，每秒運(yùn)動(dòng)1個(gè)單位長(zhǎng)度，取線段的中點(diǎn)．是否存在某一時(shí)刻，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)2的“?2星點(diǎn)”？若存在，求出線段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；若不存在，請(qǐng)說明理由；(3)點(diǎn)是數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)表示為整數(shù)，且點(diǎn)是原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“星點(diǎn)”，請(qǐng)直接寫出的值．【答案】(1)，(2)(3)，，0，2【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查新定義下的解一元一次方程和線段中點(diǎn)計(jì)算，根據(jù)給定的定義列出方程求解即可；設(shè)線段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，表示出點(diǎn)A、點(diǎn)B和點(diǎn)X的坐標(biāo)，根據(jù)題意列出方程求解即可；根據(jù)題意列出關(guān)于m的方程，化簡(jiǎn)為，結(jié)合m為整數(shù)，求得k值即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于原點(diǎn)的“星點(diǎn)”，∴，∵，∴，解得；∵若點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“星點(diǎn)”，∴，解得，故答案為：，；（2）設(shè)線段的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，則點(diǎn)A的坐標(biāo)為，點(diǎn)B得坐標(biāo)為，∵點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴點(diǎn)X的坐標(biāo)為，∵點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)2的“?2星點(diǎn)”，∴，解得，∴線段的運(yùn)動(dòng)8秒時(shí)，使得點(diǎn)是點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)2的“?2星點(diǎn)”；（3）∵點(diǎn)表示為整數(shù)，且點(diǎn)是原點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的“星點(diǎn)”，∴，整理得，∵點(diǎn)表示為整數(shù)，∴當(dāng)m為、、1和3時(shí)，、2、和，則的值為，，0，2．【變式訓(xùn)練2】（24-25七年級(jí)上·黑龍江哈爾濱·階段練習(xí)）【新知理解】如圖①，點(diǎn)在線段上，圖中共有三條線段、和，若其中有一條線段的長(zhǎng)度是另外一條線段長(zhǎng)度的倍，則稱點(diǎn)是線段的“巧點(diǎn)”．（1）線段的中點(diǎn)______這條線段的“巧點(diǎn)”（填“是”或“不是”）；（2）若，點(diǎn)是線段的巧點(diǎn)，則最長(zhǎng)為______；【解決問題】（3）如圖②，已知，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)；點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以的速度沿向點(diǎn)勻速移動(dòng)，點(diǎn)、同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，運(yùn)動(dòng)停止，設(shè)移動(dòng)的時(shí)間為．當(dāng)為何值時(shí)，為、的巧點(diǎn)？說明理由．【答案】（1）是；（2）；（3）當(dāng)為或或時(shí)，為、的巧點(diǎn)【知識(shí)點(diǎn)】與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、線段的和與差、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查了線段的相關(guān)計(jì)算，與線段有關(guān)的動(dòng)點(diǎn)問題，一元一次方程的應(yīng)用．（1）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義解答即可；（2）點(diǎn)為線段的巧點(diǎn)，則最長(zhǎng)時(shí)，滿足，即，即可求解；（3）根據(jù)“巧點(diǎn)”的定義，分為或或，三種情況，分別計(jì)算即可求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，∴，∴點(diǎn)是線段的的“巧點(diǎn)”，故答案為：是．（2）解：點(diǎn)在線段上，點(diǎn)為線段的巧點(diǎn)，∴則最長(zhǎng)時(shí)，滿足，即，∴，故答案為：．（3）解：秒后，，，，∵為、的巧點(diǎn)∴或，或，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，當(dāng)時(shí)，，解得：，∴當(dāng)為或或時(shí)，為、的巧點(diǎn)．類型五、幾何圖形中動(dòng)角求定值問題例題：（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知一副直角三角尺和，，，，．(1)將兩個(gè)直角三角尺按如圖1擺放，點(diǎn)在邊上，則；(2)將直角三角尺從圖1位置繞點(diǎn)逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到圖2位置，使恰好平分，求的度數(shù)；(3)如圖3，當(dāng)三角尺擺放在內(nèi)部時(shí)，作射線平分，射線平分，若三角尺在內(nèi)部繞點(diǎn)任意轉(zhuǎn)動(dòng)（均在內(nèi)部），試判斷的度數(shù)是否會(huì)發(fā)生變化？通過計(jì)算說明理由．【答案】(1)(2)(3)的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算、三角板中角度計(jì)算問題【分析】此題主要考查了角平分線的定義，角的計(jì)算，理解角平分線的定義，熟練掌握角的計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)即可得出答案；（2）根據(jù)角平分線性質(zhì)得，再根據(jù)可得出答案；（3）先求出，再根據(jù)角平分線定義得，由此可得得度數(shù)．【詳解】（1）解：依題意得：，∴，故答案為：60°；（2）解：∵，恰好平分，∴，∴；（3）解：的度數(shù)不發(fā)生變化，始終等于60°，理由如下：∵，∴，∵平分，平分，∴，，∴，∴．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·江蘇徐州·期末）已知，．平分，平分．(1)如圖①，當(dāng)重合時(shí)，求的值；(2)當(dāng)從圖①所示位置繞點(diǎn)O以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)t秒（）；在旋轉(zhuǎn)過程中的值是否會(huì)因t的變化而變化，若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)；(2)不變，是定值，見解析．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的定義，理解角度之間的和差關(guān)系是解題的關(guān)鍵．∠AOE-∠BOF的值是定值，（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得，，然后求解即可；（2）首先由題意可得，再根據(jù)角平分線的定義得出，，然后由角平分的定義解答即可．【詳解】（1）解：∵平分，平分，∴，，∴；（2）解：是定值．理由如下：由題意：，則，，∵平分，平分，∴，，．∴的值是定值，定值為．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)下·陜西榆林·開學(xué)考試）【問題情境】已知，，，平分，平分．【特例分析】（1）如圖1，當(dāng)、重合時(shí)，求的值；【深入探究】（2）如圖2，當(dāng)、不重合，在的下方時(shí)，設(shè)，的值是否會(huì)因?yàn)閤的變化而變化?若不發(fā)生變化，請(qǐng)求出該定值；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；【問題解決】（3）在（2）的條件下，當(dāng)時(shí)，求的度數(shù).【答案】（1）；（2）不會(huì)變化，定值為；（3）【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了角度的計(jì)算以及角的平分線的性質(zhì)，理解角度之間的和差關(guān)系是關(guān)鍵．（1）首先根據(jù)角平分線的定義求得和的度數(shù)，然后根據(jù)求解；（2）根據(jù)角平分線的定義得出：，，然后代入求值即可；（3）根據(jù)，，求出，根據(jù)角平分線的定義求出，，根據(jù)角度間的關(guān)系，求出結(jié)果即可．【詳解】解：（1）∵平分，平分，，，∴，，∴；（2）的值是定值；理由如下：∵，∴，，∵平分，平分，∴，，∴．∴的值是定值，定值為；（3）∵，，∴，∵平分，∴，∴，∴，∵平分，∴，∴．類型六、幾何圖形中動(dòng)角探究數(shù)量關(guān)系問題例題：（24-25七年級(jí)上·河北唐山·期中）【問題情境】O為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)O在直線AB上方任意作射線，一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)O處，且三角板可以圍繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)．【操作探究】如圖1，將三角板的一邊與射線重合時(shí)．（1）若，______°；（2）若，將圖1中的三角板繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一定角度，如圖2，當(dāng)恰好是的平分線時(shí)，求旋轉(zhuǎn)角是多少度；【歸納總結(jié)】設(shè)，在旋轉(zhuǎn)的過程中當(dāng)邊恰好是的平分線時(shí)，通過觀察和測(cè)量猜想和有怎樣的數(shù)量關(guān)系，試著說明理由．【答案】（1）；（2）；（3），見解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）由鄰補(bǔ)角和余角的定義求出，即可得出結(jié)論；（2）由角平分線的定義可得，再根據(jù)，從而可求解；（3）用分別求出和，即可得到答案．【詳解】解：（1）∵，∴，∵，∴，故答案為；（2）因?yàn)榍『檬堑钠椒志€，，所以，因?yàn)樗裕凰孕D(zhuǎn)角是50度；（3）理由：因?yàn)榍『檬堑钠椒志€因?yàn)?，所以．因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕军c(diǎn)睛】本題主要考查三角形的內(nèi)角和定理，余角和補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是結(jié)合圖形分析清楚角與角之間的關(guān)系．【變式訓(xùn)練1】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）如圖所示，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)如圖1，若，求的度數(shù)．(2)在圖1中，若，直接寫出的度數(shù)：（用含的代數(shù)式表示）．(3)將圖1中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針開始旋轉(zhuǎn)．①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至如圖2的位置時(shí)，請(qǐng)?zhí)骄颗c的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；②過點(diǎn)O的一條射線，使得恰好平分，在圖1和圖2中分別探究與的度數(shù)之間的關(guān)系，請(qǐng)直接寫出結(jié)論．【答案】(1)(2)(3)①．理由見解析；②，【知識(shí)點(diǎn)】與余角、補(bǔ)角有關(guān)的計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查角的運(yùn)算、角平分線的定義，解題關(guān)鍵是正確運(yùn)用相關(guān)定義，利用角的和差倍分關(guān)系進(jìn)行計(jì)算．（1）利用平角的定義可得，由角平分線的定義得，則．（2）利用平角的定義可得，由角平分線的定義得，則．（3）①當(dāng)旋轉(zhuǎn)至題圖2的位置時(shí)，設(shè)，同理可得，則，即，由，，兩式相減即可得到結(jié)果；②在圖1中，反向延長(zhǎng)得到射線

，由對(duì)頂角和角平分線的性質(zhì)易得，于是，由（2）可知，進(jìn)而，即；在圖1中，由角平分線的性質(zhì)和平角的定義易得，即，由知，于是，將代入上式，化簡(jiǎn)即可得到結(jié)果．【詳解】（1）解：，，平分，，是直角，即，；（2）解：，，平分，，是直角，即，，故答案為：；（3）解：①．理由如下：當(dāng)旋轉(zhuǎn)至題圖2的位置時(shí)，設(shè)，則，平分，，，，即，，，，；②在圖1中，．理由如下：由已知，過點(diǎn)O的一條射線，使得恰好平分，反向延長(zhǎng)得到射線，如圖，則平分，，又，，，由（2）知，若，則，，，即；在圖2中，．理由如下：平分，，又，，即，由①知，，，，，將代入，得，整理得．【變式訓(xùn)練2】（2024七年級(jí)上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知O為直線上的一點(diǎn)，．(1)如圖①，以O(shè)為觀察中心，射線表示正北方向，表示正東方向．①若，則射線的方向是_________；②與的關(guān)系為_________；③與的關(guān)系為_________．(2)若將射線、射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖②所示的位置，另一條射線恰好平分．若，求的度數(shù)；(3)若將射線、射線繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)至如圖③所示的位置，射線仍然平分與之間存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說明理由．【答案】(1)①北偏東；②相等；③互補(bǔ)(2)(3)，理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、同(等)角的余(補(bǔ))角相等的應(yīng)用、方向角的表示【分析】本題主要考查了方向角的定義，以及角平分線的定義，余角與補(bǔ)角的性質(zhì)，對(duì)定義的熟練掌握是解題關(guān)鍵．（1）①根據(jù)方向角的定義即可求解；②根據(jù)同角的余角相等即可得出結(jié)論；③先根據(jù)同角的余角相等得出，再根據(jù)兩角互補(bǔ)的定義即可得出結(jié)果；（2）①根據(jù)同角的余角可知，又根據(jù)角平分線的定義可得，兩式相減即可得出結(jié)果；（3）根據(jù)角的和差，以及角平分線的定義即可求解．【詳解】（1）解：①∵，∴射線的方向是北偏東；②∵由題意知，，∴；③由題意知，，∴，又，∴．即與的關(guān)系為互補(bǔ)．故答案為：①北偏東；②相等；③互補(bǔ)；（2）由題意知，，∴．∵恰好平分，∴，∴，∴．（3），理由如下：∵為的平分線，∴，∴．∵，∴，∴．類型七、幾何圖形中動(dòng)角求運(yùn)動(dòng)時(shí)間問題例題：（23-24六年級(jí)下·黑龍江哈爾濱·期末）在數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)課中，學(xué)生進(jìn)行操作探究，用一副三角板（其中，，，）按如圖1所示擺放，邊與在同一條直線上（點(diǎn)C與點(diǎn)E重合）．如圖2，將三角板從圖1的位置開始繞點(diǎn)C以每秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)邊與邊重合時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)三角板的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)當(dāng)t為何值時(shí)，平分？(2)當(dāng)t為何值時(shí)，？【答案】(1)t為21(2)t為22.5秒或24.75秒【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了三角板有關(guān)的角度計(jì)算，角平分線的定義，（1）根據(jù)角平分線的定義可得，從而得到三角板旋轉(zhuǎn)的角度，再結(jié)合三角板運(yùn)動(dòng)的速度即可解題；（2）根據(jù)出現(xiàn)的情況分類討論，再根據(jù)將與的結(jié)果關(guān)聯(lián)即可求解．【詳解】（1）解：如圖1，平分，，旋轉(zhuǎn)的角度為，（秒），答：當(dāng)t為21時(shí)，平分．（2）解：由題可知：當(dāng)時(shí)會(huì)出現(xiàn)以下兩種情況：①如圖2，由圖可得：，又，

，，旋轉(zhuǎn)的角度為，（秒），②如圖3，由圖可得：，又，，，旋轉(zhuǎn)的角度為，（秒），答：當(dāng)t為秒或秒時(shí)，．【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·安徽合肥·期末）如圖，為線段AB上一點(diǎn)，，為的角平分線，定義與重合時(shí)為初始位置，將繞著點(diǎn)從初始位置開始，以秒的速度順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，至與重合時(shí)終止．(1)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)秒，求此時(shí)的度數(shù)；(2)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)至?xí)r，求此時(shí)的值；(3)當(dāng)從初始位置旋轉(zhuǎn)至?xí)r，__________秒（用含有m的代數(shù)式直接表示）．【答案】(1)(2)(3)【知識(shí)點(diǎn)】幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了解一元一次方程，角平分線的定義，幾何圖形中的角度計(jì)算；（1）根據(jù)角平分線的定義可得，根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)補(bǔ)角的定義求得，根據(jù)，即可求解；（2）根據(jù)（1）的方法得出，將代入，解一元一次方程，即可求解；（3）根據(jù)（2）可得，將代入，解關(guān)于的一元一次方程，即可求解．【詳解】（1）解：∵，為的角平分線，∴，∵從初始位置旋轉(zhuǎn)秒，∴，∴，∴，∴，（2）解：∵，為的角平分線，∴，∵從初始位置旋轉(zhuǎn)秒，∴，∴，∴，∴，∵，∴，解得：；（3）解：由（2）可得，∵，∴，解得：．故答案為：．【變式訓(xùn)練2】（23-24七年級(jí)上·福建廈門·期末）【實(shí)踐操作】三角尺中的數(shù)學(xué)

(1)如圖1，將兩塊三角尺的直角頂點(diǎn)C疊放在一起，．①若，則；若，則；②猜想與的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，若是將兩個(gè)同樣的含銳角的直角三角尺疊放在一起，其中銳角的頂點(diǎn)A重合在一起，．①探究與的大小有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若一開始就將與完全重合（與重合），保持不動(dòng)，將繞點(diǎn)A以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t．在旋轉(zhuǎn)的過程中，t為何值時(shí)．【答案】(1)①；；②猜想，理由見解析(2)①，理由見解析；②3或21【知識(shí)點(diǎn)】三角板中角度計(jì)算問題【分析】此題考查了三角板中角度的技術(shù)，解答本題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，根據(jù)圖形得出各角之間的關(guān)系．（）①本題已知兩塊直角三角尺實(shí)際就是已知三角板的各個(gè)角的度數(shù)，根據(jù)角的和差就可以求出，的度數(shù)；②根據(jù)前兩個(gè)小問題的結(jié)論猜想與的大小關(guān)系，結(jié)合前兩問的解決思路得出證明；（）①根據(jù)（）解決思路確定與的大小并證明即可；②分點(diǎn)G在上方和下方兩種情況討論求解即可．【詳解】（1）解：①∵，，∴，∵，∴；∵，，∴，∵，∴故答案為：；；②猜想，理由如下：∵，，∴，，∴；（2）解：①，理由如下：∵，∴；②如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在上方時(shí)，∵，∴，∴由（3）①的結(jié)論可知，，∴，∴；

如圖所示，當(dāng)點(diǎn)G在下方時(shí)，則在的基礎(chǔ)上再旋轉(zhuǎn)180度時(shí)，，∴；綜上所述，t的值為3或21．

類型八、幾何圖形中動(dòng)角之新定義型問題例題：（23-24六年級(jí)下·上海徐匯·期末）定義：如果一個(gè)角內(nèi)部的一條射線將這個(gè)角分成兩個(gè)角，其中一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，那么我們將這條射線稱為這個(gè)角的分位線．例如：如圖1，，則為的分位線；，則也是的分位線．(1)若，為的分位線，且，則．(2)如圖，點(diǎn)、、在同一條直線上，為一條射線，，分別為與的分位線，（，）．①已知，，則．②若，當(dāng)變化時(shí)，的度數(shù)是否發(fā)生變化？若不發(fā)生變化，請(qǐng)寫出計(jì)算過程；若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由．(3)如果點(diǎn)、、在同一條直線上，為一條射線，已知射線、分別為與的分位線，且，請(qǐng)直接寫出的度數(shù)．【答案】(1)(2)①；②不變，見解析(3)或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了新定義，幾何圖形中角度的計(jì)算，正確聯(lián)系新定義的內(nèi)容是解題的關(guān)鍵；（1）根據(jù)題意可得：，，進(jìn)而得出答案；（2）①由題意可得：，，根據(jù)，得到，，求解即可；②不變，根據(jù)題意，，代入即可求解；（3）因?yàn)?，位置不確定，有兩種情況，第一種情況，設(shè)，，，代入求解，進(jìn)而求得的度數(shù)；第二種情況，設(shè)，，，代入求解，進(jìn)而求得的度數(shù)．【詳解】（1），為的分位線，且；，（2）①，分別為與的分位線，（，），，，，，，，，；②不變；，分別為與的分位線，（，），，若，的度數(shù)不會(huì)改變；（3）根據(jù)題意作圖，如圖所示已知射線、分別為與的分位線，設(shè)，，，，點(diǎn)、、在同一條直線上，，；根據(jù)題意作圖，如圖所示；已知射線、分別為與的分位線，設(shè)，，，點(diǎn)、、在同一條直線上，，解得的度數(shù)為或【變式訓(xùn)練1】（23-24七年級(jí)上·遼寧葫蘆島·期末）【問題初探】在一個(gè)角的內(nèi)部，從頂點(diǎn)畫一條射線，得到三個(gè)角，若其中有一個(gè)角是另一個(gè)角的倍，則稱這條射線是已知角的“奇妙線”．例如：圖中，則射線是的“奇妙線”．（1）一個(gè)角的角平分線______這個(gè)角的“奇妙線”；（填“是”或“不是”）【類比分析】（2）如圖，若，在內(nèi)部畫一條射線，使是的“奇妙線”，求的度數(shù)；【變式拓展】（3）如圖，若，且射線繞點(diǎn)從位置開始以每秒的速度逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，同時(shí)射線以每秒的速度也繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)射線與射線重合時(shí)全部停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)旋轉(zhuǎn)時(shí)間為秒，請(qǐng)直接寫出為何值時(shí)，射線是的“奇妙線”．【答案】（）是；（）或或；（）或或．【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】（）根據(jù)奇妙線定義即可求解；（）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義即可求解；（）分三種情況，根據(jù)奇妙線定義得到方程求解即可；本題考查了角平分線定義，角度和差，奇妙線的定義，理解“奇妙線”的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（）解：根據(jù)角平分線的定義可知：由平分，得：，則一個(gè)角的角平分線是這個(gè)角的“奇妙線”，故答案為：是；（）當(dāng)平分時(shí)，∴，當(dāng)時(shí)，∴，，∴，則綜上可知：的度數(shù)為或或；（）由題意得：如圖，則，，則，∵射線是的“奇妙線”，∴，即，解得：，，即，解得：，，即，解得：，綜上可知：或或．壓軸能力測(cè)評(píng)（18題）一、單選題1．（23-24七年級(jí)上·湖北武漢·階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)A、B、C是直線l上的三個(gè)定點(diǎn)．點(diǎn)B是線段的三等分點(diǎn)，，若點(diǎn)D是直線l上的一動(dòng)點(diǎn)，M、N分別是、的中點(diǎn)，則與的數(shù)量關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】C【知識(shí)點(diǎn)】?jī)牲c(diǎn)間的距離【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，用特殊值法設(shè)點(diǎn)A為，C為，根據(jù)題意求出，設(shè)D為x，則為，為，表示出，從而得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)點(diǎn)A為，C為，點(diǎn)B是線段的三等分點(diǎn)，，為，，設(shè)D為x，則為，為，，,故選：C．2．（23-24七年級(jí)上·福建廈門·期末）如圖，點(diǎn)是直線外一點(diǎn)，連接、，若點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，則下列說法正確的是（）A．點(diǎn)A在射線上B．C．連接D．連接，若，則平分【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】點(diǎn)與線的位置關(guān)系、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了直線、射線的相關(guān)知識(shí)，角平分線的定義，鄰補(bǔ)角，解題的關(guān)鍵是利用分類思想、數(shù)形結(jié)合思想、舉反例來解決相關(guān)問題．根據(jù)點(diǎn)是直線上一動(dòng)點(diǎn)，分類討論，逐項(xiàng)判斷，即可得出答案．【詳解】解：A．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，點(diǎn)在射線上，故A選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；B．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，，故B選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；C．當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，，此時(shí)不一定成立，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，不符合題意；D．連接，若，根據(jù)角平分線的定義，可得平分，故D選項(xiàng)正確，符合題意．故選：D．3．（23-24七年級(jí)上·湖北荊門·單元測(cè)試）如圖，射線都在的內(nèi)部，和都是直角，下列說法：①；②；③若，則；④若平分，平分，則．其中結(jié)論正確的有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算，與角平分線有關(guān)的計(jì)算，找準(zhǔn)角度之間的和差關(guān)系，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵和都是直角，∴，∴，故①正確；∵，∴，故②正確；若，則：，∴，故③正確；若平分，平分，

則：，，∴；故④正確；故選：D．4．（23-24七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，已知（在的左側(cè)）是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)，且，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，以每秒個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向左運(yùn)動(dòng)，在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，始終為的中點(diǎn)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為（）秒，則下列結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是（

）①對(duì)應(yīng)的數(shù)是；②點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，；③時(shí)，；④在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度會(huì)發(fā)生變化．A． B． C． D．【答案】A【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了數(shù)軸，根據(jù)兩點(diǎn)間距離進(jìn)行計(jì)算即可判斷；利用路程除以速度即可判斷；分兩種情況，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，由題意求出的長(zhǎng)，再利用路程除以速度即可判斷；分兩種情況，點(diǎn)在點(diǎn)的右邊，點(diǎn)在點(diǎn)的左邊，利用線段的中點(diǎn)性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可判斷；根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形分析是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵已知(在的左側(cè))是數(shù)軸上的兩點(diǎn)，點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，且，∴對(duì)應(yīng)的數(shù)為，故正確；∵，∴點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，故是正確的；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，∵，∴，∴；當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，∵，∴，∴，∴時(shí)，或，故錯(cuò)誤；在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)右邊時(shí)，；在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)左邊時(shí)，；∴在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度不會(huì)發(fā)生變化，故錯(cuò)誤；∴正確結(jié)論有，故選：．二、填空題5．（23-24七年級(jí)下·江蘇蘇州·開學(xué)考試）如圖，于點(diǎn)O，，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒60°的速度順時(shí)針向終邊旋轉(zhuǎn)，同時(shí)，射線從出發(fā)，繞點(diǎn)O以每秒30°的速度順時(shí)針向終邊旋轉(zhuǎn)，當(dāng)、中有一條射線到達(dá)終邊時(shí)，另一條射線也隨之停止．在旋轉(zhuǎn)過程中，設(shè)，，則x與y之間的數(shù)量關(guān)系為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查幾何圖形中角度的計(jì)算．正確的識(shí)圖，理清角之間的和差關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為秒，∵于點(diǎn)，∴，∴，∴.當(dāng)與成一條直線時(shí)，則，∴.(秒)，(秒)，∴秒時(shí)停止運(yùn)動(dòng).當(dāng)時(shí)，，∴，∴；當(dāng)時(shí)，，，∴.綜上所述，與之間的數(shù)量關(guān)系為或，故答案為：或．6．（23-24七年級(jí)上·湖南衡陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，數(shù)軸上，A兩點(diǎn)的距離為3，一動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)A出發(fā)，按以下規(guī)律跳動(dòng)：第1次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第2次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，第3次從點(diǎn)跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，按照這樣的規(guī)律繼續(xù)跳動(dòng)到點(diǎn)，，，…，．（，是整數(shù)）處，那么線段的長(zhǎng)度為（，是整數(shù)）．【答案】/【知識(shí)點(diǎn)】圖形類規(guī)律探索、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了兩點(diǎn)間的距離，對(duì)于找規(guī)律的題目首先應(yīng)找出哪些部分發(fā)生了變化，是按照什么規(guī)律變化的．本題注意根據(jù)題意表示出各個(gè)點(diǎn)跳動(dòng)的規(guī)律．根據(jù)題意，得第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到處，即在離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，則跳動(dòng)n次后，即跳到了離原點(diǎn)的長(zhǎng)度為，再根據(jù)線段的和差關(guān)系可得線段的長(zhǎng)度．【詳解】解：由題可知：，此第一次跳動(dòng)到的中點(diǎn)處時(shí)，，同理，第二次從點(diǎn)跳動(dòng)到處，，同理，跳動(dòng)次后，，故線段的長(zhǎng)度為：，故答案為：．7．（23-24七年級(jí)下·浙江金華·開學(xué)考試）如圖，點(diǎn)為直線AB上一點(diǎn)，過點(diǎn)作射線，使．將一直角三角板的直角頂點(diǎn)放在點(diǎn)處，一邊在射線上，另一邊在直線AB的下方．將三角板繞點(diǎn)按每秒的速度沿順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，在旋轉(zhuǎn)的過程中，第秒時(shí)，直線恰好平分銳角，則的值為．【答案】或【知識(shí)點(diǎn)】角平分線的有關(guān)計(jì)算、幾何圖形中角度計(jì)算問題【分析】本題考查了角平分線的定義，應(yīng)該認(rèn)真審題并仔細(xì)觀察圖形，找到各個(gè)量之間的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．分兩種情況進(jìn)行討論，分別依據(jù)直線恰好平分銳角，得到三角板旋轉(zhuǎn)的度數(shù)，進(jìn)而得到的值．【詳解】解：當(dāng)直線恰好平分銳角時(shí)，如下圖：∵平分，∴，此時(shí)，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為，∴；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如下圖：∵平分，∴，三角板旋轉(zhuǎn)的角度為，∴；∴的值為：或．故答案為：或．8．（23-24七年級(jí)上·河南鄭州·期末）在數(shù)軸上，O為原點(diǎn)，點(diǎn)A對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，點(diǎn)B在點(diǎn)A的左側(cè)，且．動(dòng)點(diǎn)M從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)，動(dòng)點(diǎn)N從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸正方向運(yùn)動(dòng)．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，當(dāng)點(diǎn)O，M，N中，其中一點(diǎn)正好位于另外兩點(diǎn)所確定線段的中點(diǎn)時(shí)，t的值為．【答案】或33【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用以及數(shù)軸，由點(diǎn)，之間的關(guān)系，可得出點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，分點(diǎn)是線段的中點(diǎn)及點(diǎn)是線段的中點(diǎn)兩種情況考慮（由點(diǎn)在點(diǎn)，的右邊，可得出只有這兩種情況），根據(jù)中點(diǎn)到另外兩點(diǎn)的距離相等，可列出關(guān)于的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元一次方程是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為3，點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，∴點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒時(shí)，動(dòng)點(diǎn)對(duì)應(yīng)的數(shù)為，動(dòng)點(diǎn)N對(duì)應(yīng)的數(shù)為．當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即時(shí)，，解得：；當(dāng)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，即時(shí)，，解得：．綜上所述，的值為或33．故答案為：或33．三、解答題9．（22-23七年級(jí)上·吉林·期末）如圖，在直線上順次取，，三點(diǎn)，已知，，點(diǎn)，分別從，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)向點(diǎn)運(yùn)動(dòng)．當(dāng)其中一動(dòng)點(diǎn)到達(dá)點(diǎn)時(shí)，，同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)．已知點(diǎn)的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，點(diǎn)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)用含的式子表示線段的長(zhǎng)度為______；(2)當(dāng)為何值時(shí)，，兩點(diǎn)重合？(3)若點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．問：是否存在時(shí)間，使長(zhǎng)度為5？若存在，請(qǐng)說明理由．【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合(3)當(dāng)或時(shí)，【知識(shí)點(diǎn)】線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算、列代數(shù)式、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題考查一元一次方程的應(yīng)用、列代數(shù)式、線段的和與差，理解題意，正確得出表示線段的代數(shù)式，利用數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想求解是解答的關(guān)鍵．（1）直接根據(jù)路程時(shí)間速度求解即可；（2）先用t表示出、，再根據(jù)題意列出方程求解即可；（3）先用t表示出，，再分點(diǎn)P在Q的左邊和點(diǎn)P在Q的右邊，利用列方程求解即可．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)M的速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒，∴，故答案為：；（2）解：由題意，，，當(dāng)，兩點(diǎn)重合時(shí)，，∴，解得，∴當(dāng)時(shí)，M、N兩點(diǎn)重合；（3）解：存在時(shí)間t，使．由題意得，，∵點(diǎn)為中點(diǎn)，點(diǎn)為中點(diǎn)．∴，，∴，當(dāng)點(diǎn)P在Q的左邊時(shí)，，解得；當(dāng)點(diǎn)P在Q的右邊時(shí)，，解得，∴當(dāng)或時(shí)，．10．（23-24七年級(jí)上·安徽安慶·期末）如圖①，O是直線上的一點(diǎn)，是直角，平分．(1)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖②的位置，其它條件不變，探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由；(2)將圖①中的繞頂點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖③的位置，其他條件不變，探究和的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．(3)如圖①，平分，補(bǔ)齊圖形，探究與的度數(shù)之間的關(guān)系，寫出你的結(jié)論，并說明理由．【答案】(1)，理由見解析(2)，理由見解析(3)，圖形及理由見解析【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】此題考查的知識(shí)點(diǎn)是角平分線的性質(zhì)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)及角的計(jì)算，關(guān)鍵是正確運(yùn)用好有關(guān)性質(zhì)準(zhǔn)確計(jì)算角的和差倍分；（1）設(shè)，根據(jù)平分，得出，，再根據(jù)，得出，即可得出；（2）設(shè)，則，表示出①，②，即可得出；（3）設(shè)，，根據(jù)平分，平分得出，，，再得出，即可求解；【詳解】（1）設(shè)，平分，，，是直角，，，；（2）結(jié)論：；理由：設(shè)，則，①，②，得：；（3）結(jié)論：；理由：設(shè)，，平分，平分．，，，，，即，．11．（23-24七年級(jí)上·吉林長(zhǎng)春·期末）如圖，點(diǎn)C在射線上，且在點(diǎn)A、B之間，，．動(dòng)點(diǎn)P從C出發(fā)．以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線向右勻速運(yùn)動(dòng)；同時(shí)動(dòng)點(diǎn)Q從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線運(yùn)動(dòng)，遇到點(diǎn)P時(shí)按原速返回點(diǎn)C停止運(yùn)動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)Q停止運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）．

(1)．(2)當(dāng)點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)時(shí)，求的長(zhǎng)．(3)求的長(zhǎng)（用含t的代數(shù)式表示）．(4)當(dāng)時(shí)，直接寫出t的值．【答案】(1)12(2)6(3)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，(4)或或【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段的和與差、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題在動(dòng)點(diǎn)問題的背景下考查線段的和差運(yùn)算，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，一元一次方程的應(yīng)用等知識(shí)，關(guān)鍵是理清點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，找到臨界點(diǎn)．（1）根據(jù)，以及即可求解；（2）先求出運(yùn)動(dòng)時(shí)間t的值，然后根據(jù)線段的和差關(guān)系求解即可；（3）分相遇前和相遇后兩種情況討論即可；（4）分相Q到達(dá)C點(diǎn)前，P、Q遇前和相遇后三種情況討論即可．【詳解】（1）解：∵，，∴，，故答案為：12；（2）解：∵點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，∴，∴，∴，∴；（3）解：當(dāng)P、Q相遇時(shí)，根據(jù)題意，得，解得，此時(shí)，∴Q返回到點(diǎn)C的時(shí)間為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，；（4）解：當(dāng)Q、C重合時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，，∵，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，解得；當(dāng)時(shí)，，∵，∴，解得；綜上，當(dāng)t的值為或或時(shí)，．12．（23-24七年級(jí)上·山東臨沂·期末）如圖，數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為和9，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以每秒6個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)．

(1)當(dāng)點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離相等時(shí)，點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為__________；(2)另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)R從點(diǎn)B出發(fā)，以每秒4個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右勻速運(yùn)動(dòng)，若點(diǎn)P，R同時(shí)出發(fā)，求點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)多長(zhǎng)時(shí)間追上點(diǎn)R？(3)若M為的中點(diǎn)，N為的中點(diǎn)，點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度是否發(fā)生變化？若發(fā)生變化，請(qǐng)說明理由；若不發(fā)生變化，請(qǐng)你畫出圖形，并求出線段的長(zhǎng)度．【答案】(1)3(2)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒追上點(diǎn)R(3)不變，圖見解析，【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上的動(dòng)點(diǎn)問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離，線段中點(diǎn)等，（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離得出的長(zhǎng)度，再根據(jù)線段中點(diǎn)的意義得出，即可求解；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒追上點(diǎn)R，根據(jù)題意列出一元一次方程，求解即可；（3）分兩種情況進(jìn)行計(jì)算：點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，即可求解；熟練掌握知識(shí)點(diǎn)并運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）∵數(shù)軸上A，B兩點(diǎn)所表示的數(shù)分別為和9，∴，∵點(diǎn)P到點(diǎn)A的距離與點(diǎn)P到點(diǎn)B的距離相等，∴，∴點(diǎn)P在數(shù)軸上表示的數(shù)為，故答案為：3；（2）設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)x秒追上點(diǎn)R，由題意得，解得，所以，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)6秒追上點(diǎn)R；（3）不變，理由如下：當(dāng)點(diǎn)P在A、B之間時(shí)，如圖，

；當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，如圖，

；∴點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，線段的長(zhǎng)度不發(fā)生變化，的長(zhǎng)度為6．13．（23-24七年級(jí)下·廣西南寧·開學(xué)考試）閱讀理解線段類多解問題：已知，點(diǎn)A、B、C在同一直線上，且，，求的長(zhǎng)．解：①如圖1當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的右側(cè)時(shí)②如圖2當(dāng)點(diǎn)C在點(diǎn)B的左側(cè)時(shí)綜上所述或4．

(1)類比上述過程解決類多解問題：同一平面內(nèi)，，，求的度數(shù)．(2)在（1）的條件下，若是角平分線，是角平分線，求的度數(shù)．(3)若同一平面內(nèi)，，是角平分線，是角平分線，直接用含x的式子表示出．【答案】(1)(2)或(3)【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、角平分線的有關(guān)計(jì)算【分析】（1）分兩種情況討論：當(dāng)在的外部時(shí)，；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，，進(jìn)行計(jì)算即可；（2）分兩種情況討論：當(dāng)在的外部時(shí)，；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，，進(jìn)行計(jì)算即可；（3）同第（2）問，分兩種情況討論，分別進(jìn)行計(jì)算即可．本題考查了角的計(jì)算、角的大小比較、角平分線的定義等有關(guān)內(nèi)容，關(guān)鍵在于要分兩種情況討論，不要遺漏．【詳解】（1）解：當(dāng)在的外部時(shí)，如圖1，

；當(dāng)在的內(nèi)部時(shí)，如圖2，，綜上所述，的度數(shù)為或；（2）解：如圖1，是角平分線，是角平分線，，，；如圖2，是角平分線，是角平分線，，，；綜上所述，的度數(shù)為；（3）解：如圖1，

是角平分線，是角平分線，，，；如圖2，是角平分線，是角平分線，，，；綜上所述，的度數(shù)為．14．（23-24七年級(jí)上·貴州遵義·期末）請(qǐng)閱讀以下信息：從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，在角的內(nèi)部引兩條射線，如果這兩條射線所組成的角等于這個(gè)角的一半，那么這兩條射線所成的角叫做這個(gè)角的“內(nèi)半角”．如圖①，若射線，在的內(nèi)部，且，則稱是的“內(nèi)半角”．請(qǐng)根據(jù)以上信息，解決下面的問題：(1)如圖①，，．若是的“內(nèi)半角”，則_______．(2)如圖②，已知，將繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度至，即，其中．若是的“內(nèi)半角”，求的度數(shù)．(3)把一塊含的三角板按如圖③方式放置，使邊與邊重合，邊與邊重合．如圖④，將三角板繞頂點(diǎn)O以每秒的速度按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)一周，旋轉(zhuǎn)時(shí)間為t秒．當(dāng)射線，，，構(gòu)成“內(nèi)半角”時(shí)，請(qǐng)直接寫出t的值．【答案】(1)(2)(3)t的值為或30【知識(shí)點(diǎn)】幾何圖形中角度計(jì)算問題、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)【分析】本題主要考查了幾何圖形中角度的計(jì)算：（1）根據(jù)題意算出的度數(shù)，利用即可算出的度數(shù)；（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可推出和，然后可用含有α的式子表示和的度數(shù)，根據(jù)是的內(nèi)半角，即可求出α的值；（3）根據(jù)旋轉(zhuǎn)一周構(gòu)成內(nèi)半角的情況總共有兩種，分別畫出圖形，求出對(duì)應(yīng)t值即可．【詳解】（1）解：∵是的內(nèi)半角，，∴，∴，故答案為：；（2）解：∵，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：，∴α的值為；（3）解：①如圖所示，此時(shí)是的內(nèi)半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；②如圖所示，此時(shí)是的半角，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可得：，∴，∵是的內(nèi)半角，∴，即，解得：；綜上所述：當(dāng)射線構(gòu)成內(nèi)半角時(shí)，t的值為或30．15．（23-24七年級(jí)上·廣東揭陽(yáng)·階段練習(xí)）如圖，圖一已知數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)B表示的數(shù)為8，動(dòng)點(diǎn)P從A出發(fā)，以每秒3個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿射線方向向右運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．(1)線段___________，當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到線段的延長(zhǎng)線上時(shí)___________．（用含t的代數(shù)式表示）(2)如圖二，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N是的中點(diǎn)，求此時(shí)的長(zhǎng)．(3)當(dāng)點(diǎn)P從A出發(fā)時(shí)，另一個(gè)動(dòng)點(diǎn)Q同時(shí)從B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿?cái)?shù)軸向右運(yùn)動(dòng)，存在這樣的t值，使三點(diǎn)有一點(diǎn)恰好是以另外兩點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的中點(diǎn)，請(qǐng)求出滿足條件的t值．【答案】(1)；(2)7(3)或或14【知識(shí)點(diǎn)】數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離、幾何問題(一元一次方程的應(yīng)用)、線段中點(diǎn)的有關(guān)計(jì)算【分析】本題主要考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離計(jì)算，與線段中點(diǎn)有關(guān)的線段和差計(jì)算，利用分類討論的思想求解是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離可直接求出的長(zhǎng)；先求出，則；（2）先求出，再由線段中點(diǎn)的定義求出，再求出的長(zhǎng)即可；（3）根據(jù)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可直接得出點(diǎn)和點(diǎn)所表示的數(shù)，再根據(jù)中點(diǎn)的定義分情況討論可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：根據(jù)題意可知，；由點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)可知，，，當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到的延長(zhǎng)線時(shí)；故答案為：；；（2）解：∵，，∴點(diǎn)是的中點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，∴，．（3）解：由題意得，點(diǎn)表示的數(shù)為，點(diǎn)表示的數(shù)為，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，，；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，，；當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時(shí)，，，；綜上所述