專題07經(jīng)典（超越）不等式一、結(jié)論(1)對數(shù)形式:,當且僅當時,等號成立.(2)指數(shù)形式:,當且僅當時,等號成立.進一步可得到一組不等式鏈：（且）上述兩個經(jīng)典不等式的原型是來自于泰勒級數(shù)：；；截取片段：，當且僅當時,等號成立；進而：當且僅當時,等號成立二、典型例題例題1．（2023·陜西咸陽·校考模擬預測）已知，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】，則，故函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，則則，即由，∴，故同理可證又，∴，則故選：C.【反思】對于指數(shù)形式:,當且僅當時,等號成立，該不等式是可以變形使用的：注意使用時的取值范圍；同樣的還可以如下處理：兩邊同時取對數(shù)：，同樣可以變形使用：；注意使用時的取值范圍.另外，選擇填空題中，涉及到超越不等式可以直接使用，但是注意，解答題中一定要先證后用.例題2．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)(1)證明：；(2)證明：．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【詳解】（1），令，得；令，得，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所的最小值為，所以.（2）由（1）知，當時，，即，即，即，令，得，所以，故．【反思】注意在解答題中，等超越不等式，及其變形式，不能直接使用，需要證明后才可以使用，才可以進一步變形得到有利于解題的不等式.三、針對訓練舉一反三一、單選題1．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考開學考試）設(shè)，，，則（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】設(shè)，則，在時，，在時，，所以，即，所以對任意均成立.取，有，所以.再取，可得，兩邊取倒數(shù)，即，所以，又當時，設(shè)，，則，，即和在均遞增，所以，，即時，，所以，由在單調(diào)遞增，可得，即.故選：B2．（2023秋·江蘇蘇州·高三常熟中學校考期末），，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】令則，顯然即單調(diào)遞減，所以，即，.令則，即在上單調(diào)遞增所以，即，所以令則當時，，即在上單調(diào)遞增又，所以當時，所以，即即，又，所以，即.綜上：.故選：C.3．（2023·云南曲靖·統(tǒng)考一模）已知，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】令，則，，∵，∴當時，，單調(diào)遞增，∴，即，令，則，∴當時，，單調(diào)遞增，∴，即，所以，即．綜上，．故選：D．4．（2023·全國·高三專題練習）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】解：當，又，所以，故記，所以，令，得，令，得，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.所以，即，當時取等號.所以，所以.故選：C.5．（2023·全國·高三專題練習）已知則下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】取，則，故A選項錯誤；取，，，則B選項錯誤；取，，則，，即，故D選項錯誤；關(guān)于C選項，先證明一個不等式：，令，，于是時，遞增；時，遞減；所以時，有極小值，也是最小值，于是，當且僅當取得等號，由，當時，同時取對數(shù)可得，，再用替換，得到，當且僅當取得等號，由于，得到，，，即，C選項正確.故選：C.6．（2023·全國·高三專題練習）已知實數(shù)a，b，c滿足，且，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】設(shè)，則，當時，，單調(diào)遞增，當時，，單調(diào)遞減，，即，所以，所以，即，又，所以，由，所以，所以，即，所以，所以.故選：A.7．（2023·全國·高三專題練習）若正實數(shù)，滿足，則（

）A． B．C． D．【答案】B到各不等式取等號的條件，解得的值，然后逐一檢驗即可做出正確判斷.【詳解】先證明熟知的結(jié)論：恒成立，且當且僅當時取等號.設(shè),則,在(0,1)上，,單調(diào)遞減;在(1,+∞)上，,單調(diào)遞增.故,∴恒成立，且當且僅當時取等號.由,由已知，∴，且，解得,經(jīng)檢驗只有B正確，故選：B.8．（2023·四川南充·四川省南充高級中學?？寄M預測）已知成等比數(shù)列，且．若，則A． B． C． D．【答案】B【詳解】令則，令得，所以當時，，當時，，因此，若公比，則，不合題意；若公比，則但，即，不合題意；因此，，選B.二、填空題9．（2022春·廣東佛山·高二佛山市順德區(qū)容山中學?？计谥校┮阎獙θ我鈞，都有，則實數(shù)a的取值范圍是______.【答案】【詳解】根據(jù)題意可知，，由，可得恒成立，令，則，現(xiàn)證明恒成立，設(shè)，，當時，解得：，當時，，單調(diào)遞減，當時，，單調(diào)遞增，故時，函數(shù)取得最小值，，所以，即恒成立，，，所以，即.所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：三、解答題10．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù).(1)若函數(shù)f(x)的圖象與直線y＝x－1相切，求a的值；(2)若a≤2，證明f(x)>lnx.【答案】(1)a＝2(2)證明見解析（1）解：f(x)＝ex－a，∴f′(x)＝ex，令f′(x)＝1，得x＝0，而當x＝0時，y＝－1，即f(0)＝－1，所以，解得a＝2.（2）證明∵a≤2，∴f(x)＝ex－a≥ex－2，令φ(x)＝ex－x－1，則φ′(x)＝ex－1，令φ′(x)＝0?x＝0，∴當x∈(0，＋∞)時，φ′(x)>0；當x∈(－∞，0)時，φ′(x)<0，∴φ(x)在(－∞，0)上單調(diào)遞減，在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴φ(x)min＝φ(0)＝0，即φ(x)≥0，即ex≥x＋1，∴ex－2≥x－1，當且僅當x＝0時等號成立，令h(x)＝lnx－x+1，則，令h′(x)＝0?x＝1，∴當x∈(0，1)時，h′(x)>0；當x∈(1，+∞)時，h′(