第12章常微分方程與差分方程12.1

一階微分方程

這種關(guān)系式就是“微分方程”.微分方程中出現(xiàn)的變量基本上都是連續(xù)變化的.但在生命科學(xué)、化學(xué)、物理、經(jīng)濟(jì)、管理等領(lǐng)域里有不少現(xiàn)象只能用在不同取值點(diǎn)上的各離散變量之間的關(guān)系來(lái)描述,如遞推關(guān)系等.這種描述各離散變量之間的關(guān)系式就是“差分方程”.例12-1-1

解

12.1.1微分方程的一般概念

例12-1-2

解

例12-1-3

解

稱為偏微分方程各階偏導(dǎo)數(shù)).

(這時(shí)出現(xiàn)在方程中的是未知函數(shù)的是常微分方程.在微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之最高階數(shù)稱為微分方程的階.例如,方程①和⑤是一階微分方程;

本章只討論常微分方程,也稱常微分方程為微分方程或方程.方程⑦是二階微分方程.

其中

x是自變量,y(x)是未知函數(shù).注意這里的y(n)(x)必須出現(xiàn).

若微分方程的解中含有任意常數(shù),

則稱這樣的解為該方程的通解.

其中最基本的一種稱為初始條件,

其形式為其中y0,y1,…,yn-1都是已知常數(shù).

…,

?式表示平面上的一條曲線,當(dāng)C變動(dòng)時(shí),?式就表示平面上對(duì)每一確定的C,的一族曲線.稱為微分

在這個(gè)曲線族中,每一條曲線在其上任意點(diǎn)(x,y)處

這族曲線稱為微分方程

若一階微分方程F(x,y,y')=0可以表示為

當(dāng)g(y)≠0時(shí),方程可改寫為

12.1.2可分離變量型微分方程

兩邊求微分可得

當(dāng)R>0時(shí),把方程分離變量得

即

例12-1-4

解

在幾何上

例12-1-5

解

例12-1-6

解

若一階微分方程F(x,y,y')=0可以表示為

12.1.3齊次型微分方程

這是關(guān)于u(x)的可分離變量型微分方程.用分離變量法解這個(gè)方程以后,

例12-1-7

解

例12-1-8

解

若一階微分方程關(guān)于未知函數(shù)y(x)及其導(dǎo)數(shù)y'(x)是線性的,

12.1.4一階線性微分方程

習(xí)慣上把

q(x)

也可以把寫成兩項(xiàng)之和為

例12-1-9

解

例12-1-10

解

例12-1-11

解

若一階微分方程

這里

*12.1.5全微分方程

由此可知,

例12-1-12

解

例12-1-13

解

例12-1-14

解

12.1.6一階微分方程應(yīng)用舉例

例12-1-15

解

例12-1-16

解

例12-1-17

解

例12-1-18

解

本節(jié)的主要內(nèi)容是建立微分方程的一般概念,并介紹了一些重要類型的一階微分方程及其求解方法.

則兩邊積分后可得它的通解(1)可分離變量型微分方程,其中∫f(x)dx,∫g(y)dy分別表示f(x)

和g(y)的一個(gè)原函數(shù).

可分離變量型微分方程,注意求解后還應(yīng)再代回原來(lái)的變量.

可用常數(shù)變易法求得它的通解這里積分后取積分常數(shù)為零.在求一階也可用常數(shù)變易法求得,

可