規(guī)范答題增分專項一

高考中的函數(shù)與導(dǎo)數(shù)【知識篩查】

從近五年的高考試題來看,高考對函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的考查,已經(jīng)從直接利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,或利用函數(shù)的單調(diào)性求函數(shù)的極值、最值問題,轉(zhuǎn)變成利用求導(dǎo)的方法證明不等式,探求參數(shù)的取值范圍,解決函數(shù)的零點、方程根的問題,以及在某不等式成立的條件下,求某一參數(shù)或某兩個參數(shù)構(gòu)成的代數(shù)式的最值.典例突破題型一利用求導(dǎo)的方法證明函數(shù)不等式突破策略一

差函數(shù)法證明函數(shù)不等式f(x)>g(x),可證f(x)-g(x)>0,令h(x)=f(x)-g(x),或令h(x)為f(x)-g(x)表達(dá)式的某一部分,利用導(dǎo)數(shù)證明h(x)min>0;如果h(x)沒有最小值,那么可利用導(dǎo)數(shù)確定出h(x)的單調(diào)性,即若在區(qū)間(a,b)內(nèi),h'(x)>0,則h(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)遞增,同時若h(a)≥0,則當(dāng)x∈(a,b)時,有h(x)>0,即f(x)>g(x).對點訓(xùn)練1已知函數(shù)f(x)=lnx-2ax(a∈R).(1)若函數(shù)y=f(x)的圖象存在與直線2x-y=0垂直的切線,求實數(shù)a的取值范圍;突破策略二

求最值法利用求最值法證明不等式,一般依據(jù)不等式的組成及結(jié)構(gòu)有兩種不同的證明方法.(1)要證明f(x)≥h(x),可令φ(x)=f(x)-h(x),只需證明φ(x)min≥0.(2)要證明f(x)≥h(x),可證明f(x)min≥h(x)max;要證明f(x)>m,可先將該不等式轉(zhuǎn)化為g(x)>p(x)的形式,再證明g(x)min>p(x)max.選用哪種方法,要看哪種方法構(gòu)造出的函數(shù)的最值易求.當(dāng)k>2時,由ln

x+2-k>0,解得x>ek-2,由ln

x+2-k<0,解得1<x<ek-2.∴g(x)在區(qū)間(1,ek-2)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(ek-2,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.∴g(x)在區(qū)間(1,+∞)內(nèi)有最小值g(ek-2)=3k-ek-2,于是g(x)>0轉(zhuǎn)化為3k-ek-2>0(k>2)恒成立,求k的最大值.令h(x)=3x-ex-2,于是h'(x)=3-ex-2.∴當(dāng)x>2+ln

3時,h'(x)<0,h(x)單調(diào)遞減;當(dāng)2<x<2+ln

3時,h'(x)>0,h(x)單調(diào)遞增,∴h(x)在x=2+ln

3處取得最大值.∵1<ln

3<2,∴3<2+ln

3<4.∵h(yuǎn)(2)=6-1>0,h(2+ln

3)=3+3ln

3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0,∴k≤4.即k的最大值為4.綜上所述,k的最大值為4.對點訓(xùn)練2已知函數(shù)

(a∈R),g(x)為f(x)的導(dǎo)函數(shù).(1)求函數(shù)g(x)的單調(diào)區(qū)間;(2)若函數(shù)g(x)在R上存在最大值0,求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,+∞)內(nèi)的最大值;(3)求證:當(dāng)x≥0時,x2+2x+3≤e2x(3-2sinx).(1)解

由題意可知,g(x)=f'(x)=x+a-aex,則g'(x)=1-aex,當(dāng)a≤0時,g'(x)>0,即g(x)在區(qū)間(-∞,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;當(dāng)a>0時,若x<-ln

a,則g'(x)>0,若x>-ln

a,則g'(x)<0,即g(x)在區(qū)間(-∞,-ln

a)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(-ln

a,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減.綜上,當(dāng)a≤0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,+∞),無單調(diào)遞減區(qū)間;當(dāng)a>0時,g(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(-∞,-ln

a),單調(diào)遞減區(qū)間為(-ln

a,+∞).突破策略三

尋求導(dǎo)函數(shù)零點法在使用策略一或策略二解答,遇到由f'(x)=0無法直接求出導(dǎo)函數(shù)f'(x)的零點時,可利用函數(shù)零點存在性定理,設(shè)出導(dǎo)函數(shù)f'(x)在區(qū)間(a,b)內(nèi)的零點x0,再判斷導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間(a,x0),(x0,b)的正負(fù)情況,從而判斷f(x)在x0處取得最值,求出最值并通過對最值的處理消去x0使問題得到解決.例3

設(shè)函數(shù)f(x)=e2x-alnx(a∈R).(1)討論f(x)的導(dǎo)函數(shù)f'(x)零點的個數(shù);(2)證明:當(dāng)a>0時,(2)證明:由(1),可設(shè)f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的唯一零點為x0,當(dāng)x∈(0,x0)時,f'(x)<0;當(dāng)x∈(x0,+∞)時,f'(x)>0.故f(x)在區(qū)間(0,x0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(x0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,所以當(dāng)x=x0時,f(x)取得最小值,最小值為f(x0).對點訓(xùn)練3設(shè)函數(shù)f(x)=ax-2-lnx(a∈R).(1)若f(x)的圖象在點(e,f(e))處的切線方程為x-ey+b=0,求a,b的值;(2)求f(x)的單調(diào)區(qū)間;(3)若g(x)=ax-ex,求證:當(dāng)x>0時,f(x)>g(x).題型二有限制條件的求參數(shù)范圍問題突破策略一

分離參數(shù)法已知不等式在某一區(qū)間上恒成立,求參數(shù)的取值范圍,一般先分離參數(shù),再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題求解,即f(x)≥g(k)?f(x)min≥g(k),f(x)≤g(k)?f(x)max≤g(k).例4

已知a為實數(shù),函數(shù)f(x)=alnx+x2-4x.(1)是否存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值?證明你的結(jié)論;(2)設(shè)g(x)=(a-2)x,若

,使得f(x0)≤g(x0)成立,求實數(shù)a的取值范圍.且f'(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)的任意子區(qū)間不恒等于零,因此f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,即x=1不是f(x)的極值點.故不存在實數(shù)a,使得f(x)在x=1處取得極值.

突破策略二

分類討論法當(dāng)不等式中的參數(shù)無法分離,或含參數(shù)不等式中左、右兩邊的函數(shù)具有某些不確定因素時,應(yīng)用分類討論的方法來處理,分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.因此,求參數(shù)的取值范圍轉(zhuǎn)換成了討論參數(shù)在哪些范圍能使不等式成立.例5

設(shè)函數(shù)f(x)=emx+x2-mx(m∈R).(1)證明:f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增;(2)若對于任意x1,x2∈[-1,1],都有|f(x1)-f(x2)|≤e-1,求m的取值范圍.(1)證明:f'(x)=m(emx-1)+2x.若m≥0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時,emx-1≤0,f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,emx-1≥0,f'(x)>0.若m<0,則當(dāng)x∈(-∞,0)時,emx-1>0,f'(x)<0;當(dāng)x∈(0,+∞)時,emx-1<0,f'(x)>0.綜上,f(x)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.(2)解:由(1)知,對任意的m∈R,f(x)在區(qū)間[-1,0]上單調(diào)遞減,在區(qū)間[0,1]上單調(diào)遞增,故f(x)在x=0處取得最小值.故對于任意x1,x2∈[-1,1],設(shè)函數(shù)g(t)=et-t-e+1,則g'(t)=et-1.當(dāng)t<0時,g'(t)<0;當(dāng)t>0時,g'(t)>0.故g(t)在區(qū)間(-∞,0)內(nèi)單調(diào)遞減,在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增.又g(1)=0,g(-1)=e-1+2-e<0,故當(dāng)t∈[-1,1]時,g(t)≤0.當(dāng)m∈[-1,1]時,g(m)≤0,g(-m)≤0,即①式成立;當(dāng)m>1時,由g(t)的單調(diào)性,g(m)>0,即em-m>e-1;當(dāng)m<-1時,g(-m)>0,即e-m+m>e-1.綜上,m的取值范圍是[-1,1].對點訓(xùn)練5已知函數(shù)定義新函數(shù)d(f,g)=|f(x)-g(x)|min.(1)當(dāng)a≤-2時,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性;(2)若新函數(shù)d(f,g)的值域為[0,+∞),求實數(shù)a的取值范圍.突破策略三

分別求函數(shù)最值法若兩邊變量不同的函數(shù)不等式恒成立,求不等式中的參數(shù)取值范圍,常用分別求函數(shù)最值求解.即若對?x1∈I1,?x2∈I2,f(x1)>g(x2)恒成立,則f(x)min>g(x)max.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)>g(x2),則f(x)min>g(x)min.若對?x1∈I1,?x2∈I2,使得f(x1)<g(x2),則f(x)max<g(x)max.當(dāng)m≤0時,f'(x)<0,此時函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,+∞)內(nèi)單調(diào)遞減,即f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,+∞),無單調(diào)遞增區(qū)間;當(dāng)m>0時,由f'(x)=0,解得x=2m.令f'(x)>0,解得0<x<2m,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞增;令f'(x)<0,解得2m<x,此時函數(shù)f(x)單調(diào)遞減.故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,2m),單調(diào)遞減區(qū)間為(2m,+∞).題型三判斷、證明或討論函數(shù)零點個數(shù)突破策略一

求導(dǎo)與數(shù)形結(jié)合法研究函數(shù)零點或方程根的情況,可以通過導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最大值、最小值、變化趨勢等,并借助函數(shù)的大致圖象判斷函數(shù)零點或方程根的情況.其基本的思路為:(1)構(gòu)造函數(shù),并求其定義域;(2)求導(dǎo)數(shù),得單調(diào)區(qū)間和極值點;(3)通過數(shù)形結(jié)合,挖掘隱含條件,確定函數(shù)圖象與x軸的交點情況進(jìn)而求解.例7

已知函數(shù)f(x)=(x2-3x+3)ex的定義域為[-2,t](t>-2).(1)試確定t的取值范圍,使得函數(shù)f(x)在區(qū)間[-2,t]上為單調(diào)函數(shù);(2)當(dāng)1<t<4時,求滿足

的x0的個數(shù).解:(1)f'(x)=(x2-3x+3)ex+(2x-3)ex=x(x-1)ex,由f'(x)>0,得x>1或x<0;由f'(x)<0,得0<x<1.故f(x)在區(qū)間(-∞,0],[1,+∞)內(nèi)單調(diào)遞增,在區(qū)間(0,1)內(nèi)單調(diào)遞減,若使f(x)在區(qū)間[-2,t]上為單調(diào)函數(shù),則需-2<t≤0,即t的取值范圍為(-2,0].對點訓(xùn)練7設(shè)函數(shù)(1)當(dāng)m=2時,求曲線f(x)在點(0,f(0))處的切線方程;(2)若f(x)在區(qū)間(-1,1)上有且只有一個零點,求實數(shù)m的取值范圍.由圖可知,要使函數(shù)g(x),h(x)的圖象在區(qū)間(-1,1)上只有一個交點,則函數(shù)g(x)的圖象在點(0,1)處的切線斜率不大于h(x)的圖象在點(0,1)處的切線斜率,即g'(0)≤h'(0).所以0<m≤2.綜上可得,m≤2.突破策略二

分類討論法1.如果函數(shù)中沒有參數(shù),那么可以直接求導(dǎo)得出函數(shù)的極值點,判斷極值點大于0和小于0的情況,進(jìn)而判斷函數(shù)零點的個數(shù).2.如果函數(shù)中含有參數(shù),那么導(dǎo)數(shù)的正負(fù)往往不好判斷,這時要對參數(shù)進(jìn)行分類,在參數(shù)的小取值范圍內(nèi)判斷導(dǎo)數(shù)的符號.如果分類也不好判斷,那么需要對導(dǎo)函數(shù)進(jìn)行再次求導(dǎo).3.分類討論可使原問題中的不確定因素變成確定因素,為問題的解決提供新的條件.例8

已知函數(shù)(1)當(dāng)a=-1時,求函數(shù)f(x)的最小值;(2)當(dāng)a≤1時,討論函數(shù)f(x)的零點個數(shù).②若0<a<1,當(dāng)x∈(0,a)時,f'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增;當(dāng)x∈(a,1)時,f'(x)<0,f(x)單調(diào)遞減;當(dāng)x∈(1,+∞)時,f'