重難點(diǎn)02數(shù)列求和的五種解題方法【目錄】題型一：公式法題型二：裂項(xiàng)相消法題型三：錯(cuò)位相減法題型四：分組（并項(xiàng)）求和法題型五：倒序相加法技巧方法技巧方法數(shù)列的求和（1）公式法：①等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式：Sn＝na1+n（n﹣1）d或Sn＝②等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式：③幾個(gè)常用數(shù)列的求和公式：（2）錯(cuò)位相減法：適用于求數(shù)列{an×bn}的前n項(xiàng)和，其中{an}{bn}分別是等差數(shù)列和等比數(shù)列．（3）裂項(xiàng)相消法：適用于求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和，其中{an}為各項(xiàng)不為0的等差數(shù)列，即＝（）．（4）倒序相加法：推導(dǎo)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，就是將一個(gè)數(shù)列倒過來排列（反序），再把它與原數(shù)列相加，就可以得到n個(gè)（a1+an）．（5）分組求和法：有一類數(shù)列，既不是等差數(shù)列，也不是等比數(shù)列，若將這類數(shù)列適當(dāng)拆開，可分為幾個(gè)等差、等比或常見的數(shù)列，然后分別求和，再將其合并即可．【典型例題分析】典例1：已知等差數(shù)列{an}滿足：a3＝7，a5+a7＝26，{an}的前n項(xiàng)和為Sn．（Ⅰ）求an及Sn；（Ⅱ）令bn＝（n∈N*），求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn．分析：形如的求和，可使用裂項(xiàng)相消法如：＝＝．解：（Ⅰ）設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，∵a3＝7，a5+a7＝26，∴，解得a1＝3，d＝2，∴an＝3+2（n﹣1）＝2n+1；Sn＝＝n2+2n．（Ⅱ）由（Ⅰ）知an＝2n+1，∴bn＝＝＝＝，∴Tn＝＝＝，即數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝．點(diǎn)評(píng)：該題的第二問用的關(guān)鍵方法就是裂項(xiàng)求和法，這也是數(shù)列求和當(dāng)中常用的方法，就像友情提示那樣，兩個(gè)等差數(shù)列相乘并作為分母的一般就可以用裂項(xiàng)求和．【解題方法點(diǎn)撥】數(shù)列求和基本上是必考點(diǎn)，大家要學(xué)會(huì)上面所列的幾種最基本的方法，即便是放縮也要往這里面考．能力拓展能力拓展題型一：公式法一、單選題A．若①有實(shí)根，②有實(shí)根，則③有實(shí)根B．若①有實(shí)根，②無實(shí)根，則③有實(shí)根C．若①無實(shí)根，②有實(shí)根，則③無實(shí)根D．若①無實(shí)根，②無實(shí)根，則③無實(shí)根【答案】B故選：B【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是排除法的靈活運(yùn)用，要證明一個(gè)命題是假命題，證明比較困難，只需舉一個(gè)反例即可.二、填空題【分析】根據(jù)等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式列出方程，求得首項(xiàng)和公差，即可求得答案.3．（2023·上海松江·統(tǒng)考二模）參考《九章算術(shù)》中“竹九節(jié)”問題，提出：一根9節(jié)的竹子，自上而下各節(jié)的容積成等差數(shù)列，上面4節(jié)的容積共2升，下面3節(jié)的容積共3升，則第5節(jié)的容積為______升．【答案】【詳解】設(shè)自上而下的竹子容量依次為，可得為等差數(shù)列，故答案為：.三、解答題(1)求的通項(xiàng)公式；(2)640【分析】（1）設(shè)出公差，利用題干條件列出方程，求出公差，進(jìn)而寫成通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列{}的前n項(xiàng)和.【答案】(1)證明見解析(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；8．（2023·上海浦東新·統(tǒng)考二模）已知數(shù)列是首項(xiàng)為9，公比為的等比數(shù)列．【答案】(1)(2)當(dāng)2或3時(shí)，取得最大值3【分析】（1）求出等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，由等比數(shù)列的前項(xiàng)和求解即可；當(dāng)2或3時(shí)，取得最大值3．題型二：裂項(xiàng)相消法一、填空題【答案】所以整數(shù)k的最小值為.故答案為：.【答案】10【分析】利用等差數(shù)列的求和公式和裂項(xiàng)相消即可求出答案.故答案為：10.二、解答題(2)9994．（2021春·上海楊浦·高一復(fù)旦附中校考期末）已知數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，數(shù)列的前項(xiàng)的和為，數(shù)列是公比為的等比數(shù)列.(2)1.【分析】（1）根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列通項(xiàng)及前n項(xiàng)和，再求出的第2項(xiàng)得通項(xiàng)公式作答.（2）利用裂項(xiàng)相消法求出，再求出數(shù)列極限作答.題型三：錯(cuò)位相減法一、填空題【答案】6正整數(shù)的最小值為.故答案為：二、解答題(1)求的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前項(xiàng)和．(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式;（2）利用錯(cuò)位相減法求得.(1)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)所有的值為1，3，4；(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；【答案】(1)證明見解析（2）根據(jù)小問一證明結(jié)果得出，即可得出，即可根據(jù)錯(cuò)位相減法得出答案.所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.題型四：分組（并項(xiàng)）求和法一、單選題A．4720 B．4719 C．4718 D．4716【答案】B故選：B【答案】B故選：B二、填空題【答案】/【分析】先求得，然后求得正確答案.故答案為：【分析】根據(jù)題意分別求出千位、百位、十位和個(gè)位上數(shù)字之和，從而可得出答案.方法二：考慮每一位上的數(shù)字出現(xiàn)次數(shù)，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解答本題的關(guān)鍵是明確題意，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化特點(diǎn)，從各位數(shù)入手，從而可得出結(jié)果.三、解答題【答案】(1)是；(2)證明見解析；【分析】（1）根據(jù)給定的數(shù)列，利用“類數(shù)列”的定義直接判斷作答.（2）利用“類數(shù)列”的定義推理作答.（3）根據(jù)給定的遞推關(guān)系，利用并項(xiàng)求和法及等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求解作答.故數(shù)列是“類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為1，2．故數(shù)列是“類數(shù)列”，對(duì)應(yīng)的實(shí)常數(shù)分別為2，0．（2）若數(shù)列是“類數(shù)列”，則存在實(shí)常數(shù)、，【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：涉及數(shù)列新定義問題，關(guān)鍵是正確理解給出的定義，由給定的數(shù)列結(jié)合新定義探求數(shù)列的相關(guān)性質(zhì)，并進(jìn)行合理的計(jì)算、分析、推理等方法綜合解決.(2)2021；題型五：倒序相加法一、解答題(1)判斷數(shù)列單調(diào)性，并說明理由；(2)求數(shù)列的通項(xiàng)公式；【答案】(1)是嚴(yán)格減數(shù)列；理由見解析【詳解】（1）是嚴(yán)格減數(shù)列，理由如下：所以是嚴(yán)格減數(shù)列.依次下去，上下兩行對(duì)應(yīng)項(xiàng)之和都是19，把上述的兩行對(duì)應(yīng)項(xiàng)相加，【分析】(1)根據(jù)常數(shù)列代入其值得解；(2)根據(jù)等比數(shù)列和用賦值法解決二項(xiàng)式展開式的相關(guān)問題求解；(3)對(duì)于開放性的問題先假設(shè)存在等差數(shù)列，再推出是否有恒成立