第11章

曲線積分與曲面積分11.1

第一型曲線積分和

這是十九世紀為解決流體、力、電

空間中曲面片上定義的函數(shù)即格林公式、斯托克斯公式

11.1.1第一型曲線積分的概念首先考察為簡單起見,

非均勻密度的曲線狀物體質量的計算問題.

如圖所示,

求L的質量m.

這n-1個分點把曲線L分成

的質量Δmi可用μ(ξi,ηi)Δsi來近似代替,即

就應該是曲線狀物體L的質量,

或分段光滑曲線.

并將曲線L的端點A、B分別記為A0、An.

弧長為Δsi,

作和式

若當分點無限增加且‖Δs‖→0時,

由定義,二元函數(shù)f(x,y)在曲線L上的第一型曲線積分是一個和式極限,上文所述密度為μ(x,y)的曲線狀物體L的質量即為

即

于是,

第一型曲線積分也有與定積分相類似的性質.例如∫L[f(x,y)+g(x,y)]ds

(1)

其中

k為常數(shù);(2)

∫Lf(x,y)ds的幾何意義:且f(x,y)≥0.設f(x,y)為連續(xù)函數(shù),在以坐標面Oxy上的平面曲線L為準線、

由微元法,以此小弧段為準線的曲頂柱面(圖中陰影部分)的面積為

ΔA≈f(x,y)Δs,在曲頂柱面A的準線

L上點(x,y)處任取

從而上述曲頂柱面的面積微元為

于是,當f(x,y)≥0時,f(x,y)在曲線L上的第一型類似地,可以定義三元函數(shù)f(x,y,z)沿空間曲線L的第一型曲線積分∫Lf(x,y,z)ds

曲線積分∫Lf(x,y)ds設函數(shù)f(x,y)為定義在平面光滑曲線L上的連續(xù)函數(shù),第一型曲線積分可以化為定積分來計算.若L的參數(shù)方程為

11.1.2第一型曲線積分的計算

∫Lf(x,y)ds

∫Lf(x,y)ds則

對空間曲線也有類似的結果.若L的參數(shù)方程為

則有∫Lf(x,y,z)ds

注意設函數(shù)f(x,y,z)為定義在空間光滑曲線L上的連續(xù)函數(shù),因為弧長的微分ds總是正值,所以④

⑤

⑥⑦諸式的積分下限都必須小于積分上限.例11-1-1其中L為如圖所示的右半單位圓周.計算∫L|y|ds,解

L的參數(shù)方程為

因此

∫L|y|ds

=dt,例11-1-2其中L為以O(0,0)、A(1,0)、B(0,1)為頂點的三角形邊界.

計算∫L(x+y)ds,解

如圖所示,L由AB、BO、OA三條線段連接而成,∫L(x+y)ds+∫BO(x+y)ds由于線段AB、BO、OA的表示式分別為

+∫OA(x+y)ds.

=∫AB(x+y)dsy=0,∫AB(x+y)ds

∫BO(x+y)ds因此由公式⑤

⑥分別得到∫OA(x+y)ds

從而求得

例11-1-3

計算∫L(x2+y2+z2)ds,解

由于ds

∫L(x2+y2+z2)ds

因此按公式⑦得到例11-1-4被圓柱面x2+z2=a2求圓柱面x2+y2=a2解所截得的部分的面積A.由被截柱面的對稱性可知設在坐標面Oxy上的圓

x2+y2=a2則被截的柱面在第一卦限的部分

由第一型曲線積分的幾何意義知

母線平行于z軸、

A以及ds=adt,

=8a2.本節(jié)的重點是第一型曲線積分的定義和計算,在學習時應注意以下兩點:與定積分和重積分一樣,第一型曲線積分也是通過“分割、近似、求和、(1)所不同的是定積分和重積分是分別定義在閉區(qū)間它們有類似的定義,因此也有類似的性質和應用.而第