試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁第四章數(shù)列單元測試-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊學校:___________姓名：___________班級：___________考號：___________一、單選題1．下列說法中，正確的是（

）A．數(shù)列可表示為集合B．數(shù)列，，，與數(shù)列是相同的數(shù)列C．數(shù)列的第項為D．數(shù)列，可記為2．在數(shù)列中，，，，則（

）A．2 B． C． D．13．在數(shù)列中，，若，，則n的值為（

）A．9 B．10 C．11 D．124．《九章算術》是我國秦漢時期一部杰出的數(shù)學著作，書中有如下問題：“今有大夫、不更、簪裊、上造、公士，凡五人，共出百錢，欲令高爵出少，以次漸多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪裊、上造、公士（爵位依次降低）5個人共出100錢，按照爵位從高到低每人所出錢數(shù)成遞增的等差數(shù)列，這5個人各出多少錢？”在這個問題中，若上造與公士共出52錢，則簪裊出的錢數(shù)比大夫多（

）A．4錢 B．8錢 C．10錢 D．12錢5．已知數(shù)列滿足則數(shù)列的最大項為（

）A． B． C． D．6．在等比數(shù)列中，，則能使不等式成立的最大正整數(shù)是（

）A．5 B．6 C．7 D．87．意大利數(shù)學家列昂那多斐波那契以兔子繁殖為例，引入“兔子數(shù)列”：1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，，即，，此數(shù)列在現(xiàn)代物理“準晶體結構”、化學等領域都有著廣泛的應用.若此數(shù)列被2除后的余數(shù)構成一個新數(shù)列，則數(shù)列的前2024項的和為（

）A．1348 B．675 C．1349 D．13508．已知數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，設是其前項和，對任意的，點（

）A．在直線上 B．在直線上C．在直線上 D．在直線上二、多選題9．已知數(shù)列是公比為的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列，則（

）A． B． C． D．110．是數(shù)列的前項的和，且滿足，，則下列說法正確的是（

）A．是等比數(shù)列B．C．中能找到三項，，使得D．的前項的和11．已知數(shù)列的前項和，則（

）A． B．是等比數(shù)列C．是遞增數(shù)列 D．，，成等比三、填空題12．已知數(shù)列滿足，且，則.13．在等比數(shù)列中，若，則．14．在數(shù)列中，，，則通項公式．四、解答題15．若是等差數(shù)列，且，求.16．已知數(shù)列滿足，，.(1)求證：數(shù)列是等比數(shù)列；(2)若，求數(shù)列中的最小項.17．已知數(shù)列，，，求.18．已知公比大于1的等比數(shù)列的前項和為，且，．(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若數(shù)列滿足，求使得成立的所有的值；(3)在與之間插入個數(shù)，使這個數(shù)組成一個公差為的等差數(shù)列，求數(shù)列的前項和．19．已知數(shù)列滿足，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項和.答案第=page11頁，共=sectionpages22頁答案第=page11頁，共=sectionpages22頁《第四章數(shù)列單元測試-2024-2025學年高二上學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第二冊》參考答案題號12345678910答案CABBBCDBADBD題號11答案AD1．C【分析】利用數(shù)列定義即可逐個選項判斷.【詳解】由數(shù)列定義知A錯；B中排列次序不同，錯誤；C中第項為，正確；D中，錯誤.故選：C2．A【分析】根據(jù)題中條件，逐項計算，即可得出結果.【詳解】因為，，，所以，因此.故選：A.3．B【分析】根據(jù)題意可得，利用累加法可得，結合即可求出n的值.【詳解】由，得，所以，所以，又，所以，又滿足，所以由，解得.故選：B4．B【分析】設大夫所出的錢數(shù)為，公差為，依題列出方程組，求出，即得所求.【詳解】不妨設大夫所出的錢數(shù)為，公差為，依題可得：，即，解得，因此，即簪裊出的錢數(shù)比大夫多8錢．故選：B.5．B【解析】本題先根據(jù)遞推公式進行轉(zhuǎn)化得到．然后令，可得出數(shù)列是等比數(shù)列．即．然后用累乘法可求出數(shù)列的通項公式，根據(jù)通項公式及二次函數(shù)的知識可得數(shù)列的最大項．【詳解】解：由題意，可知：．令，則．，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列．．．，，．各項相乘，可得：．．令，則，根據(jù)二次函數(shù)的知識，可知：當或時，取得最小值．，，的最小值為．．數(shù)列的最大項為．故選：．【點睛】本題主要考查根據(jù)遞推公式得出通項公式，構造新數(shù)列的方法，累乘法通項公式的應用，以及利用二次函數(shù)思想求最值；6．C【分析】在等比數(shù)列中，根據(jù)，時，；時，，再結合求解.【詳解】∵在等比數(shù)列中，，∴公比，∴時，；時，.∵，∴，，，∴，又當時，，∴使不等式成立的的最大值為.故選：C【點睛】本題主要考查等比數(shù)列的性質(zhì)以及數(shù)列與不等式，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.7．D【分析】由已知條件寫出數(shù)列的前若干項，觀察發(fā)現(xiàn)此數(shù)列周期為3，再利用數(shù)學歸納法證明猜想，從而可求得答案.【詳解】依題意，若，等價于為偶數(shù)，若，等價于為奇數(shù)，顯然，猜想：，當時，成立；假設當時，成立，則為奇數(shù)，為偶數(shù)；當時，則為奇數(shù)，為奇數(shù)，為偶數(shù)，故符合猜想，因此，，所以數(shù)列的前2024項的和為.故選：D【點睛】方法點睛：本題主要考查數(shù)列的周期性以及應用，考查了遞推關系求數(shù)列各項的和，利用遞推關系求數(shù)列中的項或求數(shù)列的和：（1）項的序號較小時，逐步遞推求出即可；（2）項的序數(shù)較大時，考慮證明數(shù)列是等差、等比數(shù)列，或者是周期數(shù)列.8．B【分析】分和兩種情況討論，得出與的表達式，則可得出點所在的直線的方程.【詳解】當時，，，此時，點在直線上；當時，，，此時，點在直線上.綜上所述，點在直線上.故選B.【點睛】本題考查等比數(shù)列求和公式的應用，解題時要對公比是否為進行分類討論，考查計算能力，屬于中等題.9．AD【分析】根據(jù)等比數(shù)列的通項公式結合等差中項列方程求解.【詳解】由題意，，由等比數(shù)列通項公式可得，由于等比數(shù)列每一項都不是，故，即，解得或.故選：AD10．BD【分析】根據(jù)與之間的關系求出可判斷A、B；利用等比中項以及等比數(shù)列的通項公式可判斷C；根據(jù)等比數(shù)列的前項和公式可判斷D.【詳解】當時，；當時，由可得，兩式相減得，所以，且，則數(shù)列從第二項開始成以3為公比的等比數(shù)列，則，所以則，所以A選項錯誤，B選項正確．由題意可知，數(shù)列為單調(diào)遞增數(shù)列，設，若在數(shù)列中能找到三項，，，使得，則且，，，若，則，這與數(shù)列單調(diào)遞增矛盾，若，則，，由，可得，由于能被2整除，不能被2整除，故C選項錯誤；因為所以；當時，，故選項D正確．故選：BD11．AD【分析】代入，可得，可判斷A；項和轉(zhuǎn)換，求得，可判斷B；比較，可判斷C；計算，，，可判斷D【詳解】當時，，A正確．當，時，．所以，故，不是等比數(shù)列，B錯誤．因為，所以不是遞增數(shù)列，C錯誤．因為，，，，所以，,，則，所以，，成等比數(shù)列，D正確．故選：AD12．【分析】根據(jù)遞推式倒推即可解出．【詳解】因為，且，所以，解得，，解得，，解得．故答案為：．13．32【分析】根據(jù)等比數(shù)列的性質(zhì)結合已知條件求出公比，從而可求出.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，因為，所以，所以，因為，所以，所以.故答案為：3214．【分析】由遞推關系式可證得數(shù)列為等比數(shù)列，由等比數(shù)列通項公式可求得，由此可得.【詳解】由得：，又，數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列，，則.故答案為：.15．【分析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)或基本量之間的關系求解即可.【詳解】方法1：根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)，知.由，得，解得，所以.方法2：設等差數(shù)列的首項為，公差為，根據(jù)等差數(shù)列的通項公式，得.由，得，解得，由題意，知，即，所以.16．(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)等比數(shù)列的定義證明；（2）由（1）求得后可得，利用作商的方法得出，從第2項開始遞增，從而易得最小項．【詳解】（1）因為，,所以是首項為1，公比為的等比數(shù)列；（2）由（1）得，所以，則當時，，；②當時，，，又，所以，所以，即.17．.【分析】利用累加法求通項公式.【詳解】由，，得，所以，，，，，將以上個等式累加，得，所以.當時，顯然符合上式，故.18．(1)；(2)所有的值為1，3，4；(3).【分析】（1）利用等比數(shù)列公式計算得到，解得答案；（2）確定，，驗證得到答案；（3）計算，，利用錯位相減法求和即可.【詳解】（1）設等比數(shù)列的公比為，則，整理得，解得，或（舍去），所以，所以；（2）由題可得，易得，當時，令，得，，所以，使得成立的所有的值為1，3，4；（3）由題可得，所以，所以，，兩式相減得，所以．19．（1）證明見解析；（2）.【分析】（1）將兩邊同時除以，即可證數(shù)列為等差數(shù)列；（2）利用（1）的結論可以求出數(shù)列的通項公式，再利用乘公比錯位相減求和.【詳解】（1）依題，在兩邊同時除以，得：，，故數(shù)列是