第19講雙曲線及其標(biāo)準(zhǔn)方程模塊一思維導(dǎo)圖串知識模塊二基礎(chǔ)知識全梳理（吃透教材）模塊三核心考點舉一反三模塊四小試牛刀過關(guān)測1．結(jié)合教材實例掌握雙曲線的定義；2．掌握雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程、幾何圖形，會用待定系數(shù)法求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；3．通過雙曲線概念的引人和雙曲線方程的推導(dǎo)，提高用坐標(biāo)法解決幾何問題的能力.知識點1雙曲線的定義1、定義：在平面內(nèi)與兩個定點、的距離之差的絕對值等于非零常數(shù)（小于）的點的軌跡叫做雙曲線．兩個定點、稱為焦點；兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距，表示為．2、雙曲線的集合表示：．3、要點辨析（1）若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)滿足約束條件：（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；若（），則動點軌跡僅表示雙曲線中靠焦點的一支；（2）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡是以F1、F2為端點的兩條射線（包括端點）；（3）若常數(shù)滿足約束條件：，則動點軌跡不存在；（4）若常數(shù)，則動點軌跡為線段F1F2的垂直平分線。知識點2雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程1、雙曲線的兩種標(biāo)準(zhǔn)方程焦點位置焦點在軸焦點在軸圖形標(biāo)準(zhǔn)方程焦點坐標(biāo)、、的關(guān)系2、待定系數(shù)法求雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程3、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍（1）對于方程，當(dāng)時表示雙曲線；當(dāng)時表示焦點在軸上的雙曲線；當(dāng)時表示焦點在軸上的雙曲線.（2）對于方程，當(dāng)時表示雙曲線；當(dāng)時表示焦點在軸上的雙曲線；當(dāng)時表示焦點在軸上的雙曲線.（3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍。知識點3雙曲線的焦點三角形求雙曲線中的焦點三角形面積的方法（1）=1\*GB3①根據(jù)雙曲線的定義求出；=2\*GB3②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式；=3\*GB3③通過配方，利用整體的思想求出的值；=4\*GB3④利用公式求得面積。（2）利用公式求得面積；（3）若雙曲線中焦點三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題?？键c一：雙曲線的定義及辨析例1．（23-24高二上·北京通州·期末）已知P為雙曲線右支上一點，為雙曲線的左右焦點，等于（

）A．8 B．6 C．4 D．3【答案】B【解析】因為P為雙曲線右支上一點，所以.故選：B.【變式1-1】（23-24高二上·北京·月考）化簡方程的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】設(shè)，，則由已知得，即動點P到兩個定點A?B的距離之差的絕對值等于常數(shù)，又，且，所以根據(jù)雙曲線的定義知，動點P的軌跡是以為焦點，實軸長為的雙曲線.設(shè)雙曲線方程為：，則，所以，所以，所以雙曲線方程為，即化簡方程的結(jié)果是.故選：D.【變式1-2】（23-24高二上·廣東東莞·期中）設(shè)、是兩定點，，動點P滿足，則動點P的軌跡是（

）A．雙曲線 B．雙曲線的一支 C．一條射線 D．軌跡不存在【答案】B【解析】依題意，、是兩個定點，P是一個動點，且滿足，所以動點P的軌跡是雙曲線的一支.故選：B【變式1-3】（23-24高二下·四川廣安·月考）（多選）在平面直角坐標(biāo)系中，已知點是一個動點，則下列說法正確的是（

）A．若，則點的軌跡為橢圓B．若，則點的軌跡為雙曲線C．若，則點的軌跡為一條直線D．若，則點的軌跡為圓【答案】BCD【解析】對于選項A：，則點的軌跡為線段，故A錯誤；對于選項B：，則點的軌跡是雙曲線，故B正確；對于選項：設(shè)，由，可得，化簡得，表示一條直線，故C正確；對于選項D：由，可得，則點的軌跡是以為直徑的圓，故D正確.故選：BCD.考點二：求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程例2.（23-24高二上·廣東茂名·期末）雙曲線經(jīng)過點，焦點分別為、，則雙曲線的方程為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由題意知，，所以，所以雙曲線的方程為.故選：D.【變式2-1】（23-24高二上·全國·課后作業(yè)）已知點，曲線上的動點到的距離之差為6，則曲線方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】由題意可得,由雙曲線定義可知，所求曲線方程為雙曲線一支，且,即，所以.又因為焦點在軸上，所以曲線方程為.故選:A.【變式2-2】（23-24高二上·湖北武漢·月考）以橢圓的焦點為頂點，頂點為焦點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由橢圓方程可知橢圓的焦點坐標(biāo)為，上下頂點坐標(biāo)為，所以雙曲線的頂點為，，焦點為，，，所以雙曲線方程為.故選：A【變式2-3】（23-24高二上·山東青島·月考）與橢圓：共焦點且過點的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】由題意不妨設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，即橢圓與所求雙曲線的公共焦點為，由雙曲線的定義可知所以，所以所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：C.考點三：雙曲線方程的參數(shù)問題例3.（23-24高二下·安徽蕪湖·月考）已知方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】由，得，因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，所以，解得.故選：A.【變式3-1】（23-24高二上·天津靜海·月考）若方程表示焦點在軸上的雙曲線，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】由變形得到，因為方程表示焦點在軸上的雙曲線，所以，解得，故答案為：.【變式3-2】（23-24高二上·江西新余·月考）若方程表示雙曲線，則實數(shù)的取值范圍是.【答案】【解析】由方程表示雙曲線，則滿足，解得，所以實數(shù)的取值范圍是.故答案為：.【變式3-3】（23-24高二上·江蘇常州·期中）若方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則實數(shù)m的取值范圍為（

）A． B． C． D．且【答案】A【解析】因方程表示焦點在y軸上的雙曲線，則有，解得，所以實數(shù)m的取值范圍為.故選：A考點四：利用定義解決焦三角問題例4.（23-24高二上·遼寧葫蘆島·期中）已知，分別是雙曲線的上、下焦點，過的直線交于A，B兩點，若的長等于虛軸長的3倍，則的周長為．【答案】36【解析】由題意得，則，所以的周長為．故答案為：36.【變式4-1】（23-24高二上·山東泰安·月考）設(shè)是雙曲線的兩個焦點，是該雙曲線上一點，且，則的面積等于．【答案】【解析】由雙曲線，可得，則，因為是該雙曲線上一點，且，可得，即，在中，可得，可得，所以的面積為.故答案為：.【變式4-2】（23-24高二上·福建漳州·月考）若是雙曲線的兩個焦點，P是雙曲線左支上的點，且的面積是16，則【答案】32【解析】由，得，即，所以，即，根據(jù)已知條件做出圖形如圖所示設(shè)，則由雙曲線的定義知，①，②，由余弦定理得③，聯(lián)立①②③，得，即，又，所以，，所以，即.所以為直角三角形，所以，解得.故答案為：.【變式4-3】（23-24高二上·江蘇揚州·月考）已知雙曲線，是它的兩個焦點，為坐標(biāo)原點，是雙曲線右支上一點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】設(shè)點坐標(biāo)為，由題意可知，，，則，，，.在中，由余弦定理可得：，即，解得．因為，則．因為，所以，解得．又因為點P在雙曲線，所以，則.故選：A考點五：利用定義解決最值問題例5.（22-23高二下·寧夏石嘴山·月考）已知，雙曲線C：的左焦點為F，P是雙曲線C的右支上的動點，則的最大值是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】若C為雙曲線右焦點C(3,0)，則，|AC|=5,而，僅當(dāng)共線且在之間時等號成立，所以，當(dāng)共線且在之間時等號成立.故選：D【變式5-1】（22-23高二上·福建福州·期末）已知，雙曲線的左、右焦點分別為，，點是雙曲線左支上一點，則的最小值為（

）A．5 B．7 C．9 D．11【答案】C【解析】由雙曲線，則，即，且，由題意，，當(dāng)且僅當(dāng)共線時，等號成立.故選：C.【變式5-2】（23-24高二上·江蘇蘇州·月考）已知雙曲線的下焦點為，，是雙曲線上支上的動點，則的最大值是（

）A．不存在 B．8 C．7 D．6【答案】A【解析】依題意，下焦點，設(shè)上焦點，雙曲線的漸近線方程為，直線的斜率為，所以延長時，與雙曲線沒有交點，，設(shè)延長，交雙曲線上支于，依題意，是雙曲線上支上的動點，根據(jù)雙曲線的定義可知，，當(dāng)在點時等號成立，則，所以，所以，所以，所以的最大值不存在.故選：A【變式5-3】（23-24高二上·浙江金華·月考）已知圓上有一動點，雙曲線的左焦點為，且雙曲線的右支上有一動點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】在雙曲線中，，，，，設(shè)雙曲線的右焦點為，則，在雙曲線的右支上，，即，由題知，圓心，半徑，在圓上，，則，當(dāng)，，三點共線且Q位于另兩點之間時，取得最小值為，此時，的最小值為.故選：D.考點六：與雙曲線有關(guān)的軌跡問題例6.（23-24高二上·湖南常德·月考）與圓及圓都外切的圓的圓心在（

）A．橢圓上 B．雙曲線上的一支上 C．拋物線上 D．圓上【答案】B【解析】由圓可知，圓心，半徑，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，圓心，半徑，因此圓心距，所以兩圓相離，設(shè)與兩圓都外切的圓的圓心為，半徑為，則滿足，所以，即圓心的軌跡滿足到兩定點距離之差為定值，且定值小于兩定點距離，根據(jù)雙曲線定義可知，圓心的軌跡是某一雙曲線的左支，即圓心在雙曲線的一支上.故選：B.【變式6-1】（23-24高二上·河北滄州·月考）已知，若動點滿足直線與直線的斜率之積為，則動點的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)，由題意可得，整理可得，即動點的軌跡方程為，故選：A．【變式6-2】（23-24高二上·四川綿陽·期末）如圖，定圓的半徑為定長，是圓外一個定點，是圓上任意一點.線段的垂直平分線與直線相交于點，當(dāng)點在圓上運動時，點的軌跡是（

）A．射線 B．橢圓 C．雙曲線 D．圓【答案】C【解析】連接、，如圖所示：因為為的垂直平分線，所以，所以為定值，又因為點在圓外，所以，根據(jù)雙曲線定義，點的軌跡是以、為焦點，為實軸長的雙曲線.故選：C.【變式6-3】（23-24高二上·重慶·期中）已知，圓，動圓經(jīng)過點且與圓相切，則動圓圓心的軌跡方程是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】圓，即，圓心為，半徑，設(shè)動圓的半徑為，若動圓與圓相內(nèi)切，則圓在圓內(nèi)，所以，，所以，所以動點是以、為焦點的雙曲線的右支，且、，所以，所以動圓圓心的軌跡方程是，若動圓與圓相外切，所以，，所以，所以動點是以、為焦點的雙曲線的左支，且、，所以，所以動圓圓心的軌跡方程是，綜上可得動圓圓心的軌跡方程是.故選：C一、單選題1．（23-24高二上·山東煙臺·期末）已知雙曲線的方程為，則該雙曲線的焦距為（

）A．2 B．4 C． D．6【答案】D【解析】雙曲線的方程為：，可得，，所以，所以雙曲線的焦距長為：.故選：D.2．（23-24高二上·寧夏吳忠·期末）已知雙曲線的實軸長為，焦點為，則該雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）A． B． C． D．【答案】A【解析】根據(jù)題意設(shè)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：.則，解得：.所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：A3．（23-24高二上·北京·期末）已知AB是平面內(nèi)兩點，且，判斷當(dāng)P點滿足下列哪個條件時其軌跡不存在（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】對于A選項：,軌跡為橢圓；對于B選項：,軌跡不存在．；對于C選項：的軌跡存在，比如點就在軌跡上；對于D選項：,軌跡為橢圓；故選：B.4．（23-24高二上·河北張家口·月考）若方程表示雙曲線，則的取值范圍是（

）A．或 B．C．或 D．【答案】B【解析】由題意得，解得.故選：B.5．（23-24高二下·上?！ぴ驴迹┰O(shè)是雙曲線上一點，分別是雙曲線左右兩個焦點，若，則等于（

）A．1 B．17 C．1或17 D．5或13【答案】B【解析】雙曲線的，由雙曲線的定義可得．因為，所以，得或17，若，則在右支上，應(yīng)有，不成立；若，則在左支上，應(yīng)有，成立．故選：B．6．（23-24高二上·遼寧沈陽·月考）與圓：和圓：都外切的圓的圓心的軌跡方程為（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】圓的圓心為，半徑為，圓的圓心為，半徑為，再由圓與圓、圓都外切，設(shè)圓的半徑為，則，，所以，因此，由雙曲線的定義可得圓心的軌跡為雙曲線的右支，且該雙曲線的焦距為，實軸長為，所以，故，所以所求圓的圓心的軌跡方程.故選：D.二、多選題7．（23-24高二下·浙江·開學(xué)考試）已知，則方程表示的曲線可能是（

）A．兩條直線 B．圓C．焦點在軸的橢圓 D．焦點在軸的雙曲線【答案】ABC【解析】對A，因為，所以可取，則有或，表示兩條直線，A正確；對B，因為，所以可取，則有，表示圓，B正確；對C，因為，所以可取，則有，表示焦點在軸的橢圓，C正確；對D，因為，所以該曲線方程不可能為焦點在軸的雙曲線，D錯誤；故選:ABC.8．（23-24高二上·四川雅安·月考）已知左、右焦點分別是，的雙曲線上有一點（，），且，則（

）A． B．C．的面積為31 D．的周長為【答案】AD【解析】由題知，，則．因為在第一象限，所以．在中，因為，所以，A正確；且，可得，B錯誤；所以，C錯誤；因為，所以，故的周長為，D正確．故選：AD.三、填空題9．（23-24高二上·福建廈門·月考）若點P是雙曲線上一點，，分別為C的左、右焦點，，則.【答案】5或13【解析】設(shè)雙曲線的半焦距為，則，因為，解得或，經(jīng)檢驗均符合題意；所以或13.故答案為：5或13.10．（23-24高二下·廣西·月考）以橢圓的長軸端點為焦點、以橢圓焦點為頂點的雙曲線方程為．【答案】【解析】橢圓的焦點為，長軸上的頂點為，設(shè)所求雙曲線方程為，所以，，所以，所以雙曲線方程為.故答案為：11．（23-24高二上·江蘇宿遷·期中）已知是雙曲線上的點，為雙曲