專題拓展：與直線有關(guān)的距離最值一、常用距離公式1、點(diǎn)到點(diǎn)的距離公式：平面內(nèi)兩點(diǎn)，間的距離公式為：．2、點(diǎn)到直線的距離公式：點(diǎn)到直線的距離．3、直線到直線的距離公式：兩條平行直線，，它們之間的距離為：．二、點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱1、實(shí)質(zhì)：軸（直線）是對(duì)稱點(diǎn)連線段的中垂線．2、（1）當(dāng)直線斜率存在時(shí)：方法：利用”垂直“和”平分“這兩個(gè)條件建立方程組，就可求出對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)，一般地：設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，則（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)：點(diǎn)關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)為三、線段和與差的最值問題解題思路1、定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離和的最小值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱，使兩點(diǎn)在直線異側(cè)，三點(diǎn)共線最短；2、定直線的動(dòng)點(diǎn)到兩定點(diǎn)距離差的最大值，直線將其中一點(diǎn)對(duì)稱，使兩點(diǎn)在直線同側(cè)，三點(diǎn)共線最短．考點(diǎn)一：兩點(diǎn)間的距離最值例1．（2023高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）若動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為，，則動(dòng)點(diǎn)P到原點(diǎn)的最小值是.【變式1-1】（23-24高二上·山東德州·月考）若三條直線相交于同一點(diǎn)，則點(diǎn)到原點(diǎn)的距離d的最小值是（

）A． B． C． D．【變式1-2】（23-24高二上·全國(guó)·專題練習(xí)）已知，，則S的最小值是.【變式1-3】（22-23高二上·浙江紹興·期末）已知，則的最小值為（

）A．2 B． C． D．3考點(diǎn)二：點(diǎn)到直線的距離最值例2.（23-24高二上·河北張家口·月考）已知定點(diǎn)和直線，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．【變式2-1】（23-24高二上·山西呂梁·月考）點(diǎn)到直線的距離的最大值（

）A． B． C． D．【變式2-2】（23-24高二上·四川內(nèi)江·月考）點(diǎn)到直線l：的距離最大時(shí)，其最大值以及此時(shí)的直線方程分別為（

）A．； B．；C．； D．；【變式2-3】（23-24高二上·江蘇·單元測(cè)試）在平面直角坐標(biāo)系中，直線與直線相交于點(diǎn)P，則當(dāng)實(shí)數(shù)變化時(shí)，點(diǎn)P到直線的距離的最大值為()A． B． C．3 D．考點(diǎn)三：平行線間的距離最值例3.（23-24高二上·河南洛陽(yáng)·月考）已知點(diǎn)A，B分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為（

）A．0 B． C． D．【變式3-1】（23-24高二上·云南楚雄·月考）已知點(diǎn)分別是直線與直線上的點(diǎn)，則的最小值為．【變式3-2】（22-23高二上·四川成都·期中）已知，兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為，，若兩平行直線，分別過點(diǎn)A，B，則，間的距離的最大值為（

）A．1 B． C．2 D．【變式3-3】（22-23高二上·福建龍巖·月考）已知直線，，則直線與之間的距離最大值為.考點(diǎn)四：距離之和的最值例4.（23-24高二上·福建福州·期末）已知點(diǎn)，，H是直線：上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為（

）A．6 B． C． D．【變式4-1】（23-24高二上·重慶·期末）的最小值為（

）A． B． C． D．【變式4-2】（23-24高二上·河南信陽(yáng)·期中）已知，則的最小值是（

）A． B． C． D．6【變式4-3】（23-24高二上·江蘇南通·月考）直線與直線相交于點(diǎn)P，對(duì)任意實(shí)數(shù)m，直線,分別恒過定點(diǎn)A，B，則的最大值為(

)A．4 B．8 C． D．考點(diǎn)五：距離之差的最值例5.（23-24高二上·重慶黔江·月考）已知點(diǎn)，點(diǎn)是直線上的動(dòng)點(diǎn)，則的最大值為.【變式5-1】（23-24高二上·重慶九龍坡·月考）直線分別交軸和于點(diǎn)，，為直線上一點(diǎn)，則的最大值是．【變式5-2】（23-24高二上·廣東廣州·期中）已知實(shí)數(shù)滿足，則的最大值是．【變式5-3】（23-24高二上·山東棗莊·月考）已知點(diǎn)，直線，點(diǎn)在直線上，則的最大值為（

）A． B． C． D．2考點(diǎn)六：將軍飲馬綜合應(yīng)用例6.（23-24高二上·寧夏銀川·期中）“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩(shī)人李頎《古從軍行》這首詩(shī)的開頭兩句.詩(shī)中隱含著一個(gè)數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”：將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在區(qū)域?yàn)椋魧④姀狞c(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，并假定將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即認(rèn)為回到軍營(yíng)，那么“將軍飲馬”的最短總路程為（

）A．13 B．11 C．9 D．7【變式6-1】（23-24高二上·江蘇鹽城·期末）在平面直角坐標(biāo)系中，軍營(yíng)所在區(qū)域的邊界為，河岸所在直線方程為，將軍從點(diǎn)處出發(fā)，先到河邊飲馬，然后再返回軍營(yíng)，如果將軍只要到達(dá)軍營(yíng)所在區(qū)域即回到軍營(yíng)，則這個(gè)將軍所經(jīng)過的最短路程為（）A． B． C． D．【變式6-2】（23-24高二上·上海奉賢·月考）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（）A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為5【變式6-3】（23-24高二上·山西·開學(xué)考試）（多選）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”隱藏著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即某將軍觀望完烽火臺(tái)之后從山腳的某處出發(fā)，先去河邊飲馬，再返回軍營(yíng)，怎樣走能使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中有兩條河流，，其方程分別為，，點(diǎn)，，則下列說法正確的是（

）A．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7B．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再返回的最短路程是7C．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是D．將軍從出發(fā)，先去河流飲馬，再去河流飲馬，最后返回的最短路程是一、單選題1．（23-24高二上·全國(guó)·期中）已知，點(diǎn)為軸上一動(dòng)點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B． C． D．2．（23-24高二上·貴州貴陽(yáng)·期末）點(diǎn)，點(diǎn)在軸上，則的最小值為（

）A． B．5 C．4 D．3．（23-24高二上·北京豐臺(tái)·期末）已知點(diǎn)在由直線，和所圍成的區(qū)域內(nèi)（含邊界）運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)在軸上運(yùn)動(dòng).設(shè)點(diǎn)，則的最小值為（

）A． B． C． D．4．（23-24高二上·浙江紹興·期末）原點(diǎn)到直線的距離的最大值為（

）A． B． C． D．5．（23-24高二上·浙江·期中）設(shè)，若過定點(diǎn)A的動(dòng)直線和過定點(diǎn)B的動(dòng)直線交于點(diǎn)，則的最大值是（

）A． B．2 C．3 D．56．（23-24高二上·四川成都·月考）的最小值所屬區(qū)間為（

）A． B． C． D．前三個(gè)答案都不對(duì)二、多選題7．（23-24高二上·江蘇·開學(xué)考試）已知點(diǎn)，，且點(diǎn)在直線：上，則（

）A．存在點(diǎn)，使得 B．存在點(diǎn)，使得C．的最小值為 D．最大值為38．（23-24高二上·江西·月考）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分，唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”.詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則（

）A．將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊的路線所在直線的方程是B．將軍在河邊飲馬的地點(diǎn)的坐標(biāo)為C．將軍從河邊回軍營(yíng)的路線所在直線的方程是D．“將軍飲馬”走過的總路程為三、填空題9．（23-24高二上·江蘇泰州·月考）已知點(diǎn)，，點(diǎn)在直線上，則的最小值為.10．（23-24高二上·安徽·期末）已知直線，，則直線，之間距離的最大值為．11．（23-24高二上·福建三明·月考）2023年暑期檔動(dòng)畫電影《長(zhǎng)安三萬(wàn)里》重新點(diǎn)燃了人們對(duì)唐詩(shī)的熱情，唐詩(shī)中邊塞詩(shī)又稱出塞詩(shī)，是唐代漢族詩(shī)歌的主要題材，是唐詩(shī)當(dāng)中思想性最深刻，想象力最豐富，藝術(shù)性最強(qiáng)的一部分．唐代詩(shī)人李頎的邊塞詩(shī)《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”．詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問題一“將軍飲馬”，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)將軍的出發(fā)點(diǎn)是，軍營(yíng)所在位置為，河岸線所在直線的方程為，若將軍從出發(fā)點(diǎn)到河邊飲馬，再回到軍營(yíng)（“將軍飲馬”）的總路程最短，則將軍在河邊飲馬地