拓?fù)鋵W(xué)期末考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，以下哪個(gè)集合一定是開集？（）A.空集B.X的所有子集C.只含一個(gè)點(diǎn)的子集D.以上都不對(duì)答案：A2.拓?fù)淇臻g中，若A是閉集，則（）A.A的補(bǔ)集是開集B.A的補(bǔ)集是閉集C.A包含于它的閉包D.A的內(nèi)部為空集答案：A3.同胚映射是（）A.連續(xù)映射B.雙射C.既連續(xù)又是雙射且逆映射也連續(xù)D.開映射答案：C4.在實(shí)數(shù)集R上，通常拓?fù)湎?，區(qū)間（0，1）的閉包是（）A.（0，1）B.[0，1]C.（0，1]D.[0，1）答案：B5.設(shè)X={a，b，c}，拓?fù)銽={?，{a}，X}，則的導(dǎo)集是（）A.?B.{a}C.D.{a，b}答案：A6.拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的連續(xù)映射f，若X是連通的，則（）A.f(X)是連通的B.Y是連通的C.f(X)是離散的D.f(X)是閉集答案：A7.緊致空間的閉子集（）A.一定是緊致的B.一定是開集C.一定是離散的D.一定是可數(shù)的答案：A8.拓?fù)淇臻gX中，子集A的內(nèi)部是（）A.包含于A的最大開集B.包含A的最小閉集C.A的閉包D.A的補(bǔ)集的閉包答案：A9.設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，f：X→Y是連續(xù)映射，若A是X的開集，則（）A.f(A)是Y的開集B.f(A)是Y的閉集C.f(A)的閉包包含f(A的閉包)D.f(A)的內(nèi)部包含f(A的內(nèi)部)答案：A10.兩個(gè)拓?fù)淇臻gX和Y同胚，則（）A.X和Y的基數(shù)相同B.X和Y的開集個(gè)數(shù)相同C.X和Y有相同的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)D.X和Y的閉集完全相同答案：C二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.以下哪些是拓?fù)淇臻g的性質(zhì)（）A.連通性B.緊致性C.可數(shù)性D.可分性答案：ABCD2.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A，B是X的子集，下列關(guān)系正確的有（）A.(A∪B)°=A°∪B°B.(A∩B)°=A°∩B°C.A的閉包∪B的閉包=(A∪B)的閉包D.A的閉包∩B的閉包=(A∩B)的閉包答案：ABC3.拓?fù)淇臻gX到Y(jié)的映射f是連續(xù)的當(dāng)且僅當(dāng)（）A.對(duì)于Y的任意開集U，f?1(U)是X的開集B.對(duì)于Y的任意閉集F，f?1(F)是X的閉集C.對(duì)于X的任意子集A，f(cl(A))?cl(f(A))D.對(duì)于Y的任意子集B，cl(f?1(B))?f?1(cl(B))答案：ABCD4.緊致拓?fù)淇臻g的特點(diǎn)包括（）A.任意開覆蓋有有限子覆蓋B.閉子集都是緊致的C.連續(xù)像也是緊致的D.它的積空間也是緊致的（在合適的拓?fù)湎拢┐鸢福篈BCD5.在實(shí)數(shù)集R上的通常拓?fù)湎?，下列集合是連通的有（）A.（0，1）B.[0，1]C.RD.{0}∪（1，2）答案：ABC6.設(shè)X是拓?fù)淇臻g，A?X，則A是開集當(dāng)且僅當(dāng)（）A.A=A°B.A的補(bǔ)集是閉集C.對(duì)于任意x∈A，存在開集U，x∈U?AD.A的邊界為空集答案：ABC7.拓?fù)淇臻gX的可數(shù)性公理包括（）A.第一可數(shù)性公理B.第二可數(shù)性公理C.林德勒夫性質(zhì)D.可分性答案：AB8.設(shè)X={a，b，c}，以下哪些可以是X上的拓?fù)洌ǎ〢.{?，{a}，{a，b}，X}B.{?，，X}C.{?，{a，b}，{a，c}，X}D.{?，{a}，，{a，b}，X}答案：ABD9.設(shè)f：X→Y是拓?fù)淇臻g之間的映射，下列哪些條件能推出f是同胚映射（）A.f是雙射且連續(xù)B.f是雙射且f?1是連續(xù)的C.f是連續(xù)的開映射且是雙射D.f是連續(xù)的閉映射且是雙射答案：BCD10.對(duì)于拓?fù)淇臻gX中的子集A，下列關(guān)于邊界的說法正確的有（）A.?A=A的閉包-A的內(nèi)部B.?A是閉集C.A是閉集當(dāng)且僅當(dāng)A包含?AD.A是開集當(dāng)且僅當(dāng)A與?A不相交答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.拓?fù)淇臻g中，有限個(gè)開集的交一定是開集。（）答案：對(duì)2.離散拓?fù)淇臻g中任何子集都是既開又閉的。（）答案：對(duì)3.若拓?fù)淇臻gX是連通的，則X中只有一個(gè)非空的既開又閉的子集。（）答案：對(duì)4.連續(xù)映射一定把閉集映射為閉集。（）答案：錯(cuò)5.在任何拓?fù)淇臻g中，空集和全集都是既開又閉的。（）答案：錯(cuò)6.若A是拓?fù)淇臻gX的子集，A的內(nèi)部的閉包一定等于A的閉包。（）答案：錯(cuò)7.兩個(gè)緊致拓?fù)淇臻g的積空間一定是緊致的。（）答案：對(duì)8.若拓?fù)淇臻gX滿足第二可數(shù)性公理，則X一定是可分的。（）答案：對(duì)9.設(shè)X，Y是拓?fù)淇臻g，f：X→Y是連續(xù)映射，若X是緊致的，Y是豪斯多夫空間，則f是閉映射。（）答案：對(duì)10.拓?fù)淇臻gX的子集A的導(dǎo)集一定是閉集。（）答案：對(duì)四、簡答題（每題5分，共4題）1.簡述拓?fù)淇臻g的定義。答案：設(shè)X是一個(gè)集合，T是X的一個(gè)子集族，如果T滿足以下三個(gè)條件：（1）空集和X屬于T；（2）T中任意多個(gè)元素（即X的子集）的并集屬于T；（3）T中有限個(gè)元素的交集屬于T，則稱T是X的一個(gè)拓?fù)洌?X，T)稱為拓?fù)淇臻g。2.什么是同胚映射？答案：設(shè)X和Y是拓?fù)淇臻g，f：X→Y是一個(gè)映射，如果f是雙射，f是連續(xù)的且f?1：Y→X也是連續(xù)的，則f稱為同胚映射。3.解釋拓?fù)淇臻g中連通性的概念。答案：拓?fù)淇臻gX稱為連通的，如果X不能表示為兩個(gè)非空的不相交的開集的并集。等價(jià)地說，X中既開又閉的子集只有空集和X本身。4.簡述緊致空間的定義。答案：拓?fù)淇臻gX稱為緊致的，如果X的每一個(gè)開覆蓋都有有限子覆蓋。即對(duì)于X的任何開集族{Uα}α∈A，若X=?α∈AUα，則存在A的有限子集A0，使得X=?α∈A0Uα。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論拓?fù)淇臻g中開集和閉集的關(guān)系。答案：開集的補(bǔ)集是閉集，閉集的補(bǔ)集是開集。有些集合可能既是開集又是閉集，如在離散拓?fù)淇臻g中所有子集都是既開又閉。在連通空間中除了空集和全集外，沒有既開又閉的子集。2.闡述連續(xù)映射在拓?fù)鋵W(xué)中的重要性。答案：連續(xù)映射保持拓?fù)湫再|(zhì)，如連通性、緊致性等。它是研究拓?fù)淇臻g之間關(guān)系的重要工具，同胚映射（特殊的連續(xù)映射）可用于判斷兩個(gè)拓?fù)淇臻g是否在拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)上等價(jià)。3.比較第一可數(shù)性公理和第二可數(shù)性公理。答案：第一可數(shù)性公理針對(duì)空間中每一點(diǎn)，要求有可數(shù)的局部基；第二可數(shù)性公理要求空間整體有可數(shù)基。