復(fù)變函數(shù)考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(f(z)=z^2\)在復(fù)平面上（）A.處處不可導(dǎo)B.僅在原點(diǎn)可導(dǎo)C.處處可導(dǎo)D.僅在實(shí)軸上可導(dǎo)2.復(fù)數(shù)\(z=3+4i\)的模\(\vertz\vert\)為（）A.3B.4C.5D.73.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，且\(f^\prime(z)=0\)，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)（）A.為常數(shù)B.為線性函數(shù)C.為二次函數(shù)D.不確定4.積分\(\oint_{|z|=1}\frac{1}{z}dz\)的值為（）A.\(0\)B.\(2\pii\)C.\(\pii\)D.\(-2\pii\)5.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z-1}\)在\(z=2\)處的泰勒展開(kāi)式的收斂半徑為（）A.1B.2C.3D.\(\infty\)6.下列函數(shù)中，在整個(gè)復(fù)平面解析的是（）A.\(\frac{1}{z}\)B.\(\overline{z}\)C.\(e^z\)D.\(\lnz\)7.復(fù)數(shù)\(z=-1+i\)的輻角主值\(\argz\)為（）A.\(\frac{\pi}{4}\)B.\(\frac{3\pi}{4}\)C.\(\frac{5\pi}{4}\)D.\(\frac{7\pi}{4}\)8.設(shè)\(f(z)\)在單連通區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，則\(\oint_{C}f^\prime(z)dz\)等于（）A.\(f(z)\)B.\(0\)C.\(f^\prime(z)\)D.\(2\piif(z)\)9.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z^2+1}\)的奇點(diǎn)為（）A.\(z=i\)B.\(z=-i\)C.\(z=\pmi\)D.\(z=1\)10.冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}z^n\)的收斂域是（）A.\(\vertz\vert\lt1\)B.\(\vertz\vert\leq1\)C.\(\vertz\vert\gt1\)D.整個(gè)復(fù)平面答案：1.C2.C3.A4.B5.A6.C7.B8.B9.C10.A二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共20分）1.以下哪些是解析函數(shù)的等價(jià)條件（）A.滿足柯西-黎曼方程B.可微C.可導(dǎo)D.具有任意階導(dǎo)數(shù)2.下列關(guān)于復(fù)數(shù)運(yùn)算正確的有（）A.\((a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i\)B.\((a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\)C.\(\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{c^2+d^2}\)D.\(\vertz_1z_2\vert=\vertz_1\vert\vertz_2\vert\)3.函數(shù)\(f(z)\)在點(diǎn)\(z_0\)解析的充分條件有（）A.\(f(z)\)在\(z_0\)的某鄰域內(nèi)可展成冪級(jí)數(shù)B.\(f(z)\)在\(z_0\)連續(xù)C.\(f(z)\)在\(z_0\)的某鄰域內(nèi)滿足柯西-黎曼方程D.\(f(z)\)在\(z_0\)可導(dǎo)4.下列哪些是復(fù)變函數(shù)的積分性質(zhì)（）A.\(\oint_{C}kf(z)dz=k\oint_{C}f(z)dz\)（\(k\)為常數(shù)）B.\(\oint_{C}(f(z)+g(z))dz=\oint_{C}f(z)dz+\oint_{C}g(z)dz\)C.\(\oint_{C}f(z)dz=-\oint_{-C}f(z)dz\)D.\(\vert\oint_{C}f(z)dz\vert\leqML\)（\(M\)為\(\vertf(z)\vert\)在\(C\)上的最大值，\(L\)為\(C\)的長(zhǎng)度）5.關(guān)于冪級(jí)數(shù)\(\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n\)，下列說(shuō)法正確的是（）A.存在收斂半徑\(R\)B.在收斂圓內(nèi)絕對(duì)收斂C.在收斂圓外發(fā)散D.在收斂圓周上一定發(fā)散6.函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{(z-1)(z-2)}\)的奇點(diǎn)有（）A.\(z=1\)B.\(z=2\)C.\(z=0\)D.\(z=3\)7.下列函數(shù)中，哪些是周期函數(shù)（）A.\(e^z\)B.\(\sinz\)C.\(\cosz\)D.\(\tanz\)8.解析函數(shù)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)的實(shí)部\(u(x,y)\)和虛部\(v(x,y)\)滿足（）A.柯西-黎曼方程B.拉普拉斯方程C.泊松方程D.熱傳導(dǎo)方程9.關(guān)于復(fù)變函數(shù)的留數(shù)，下列說(shuō)法正確的是（）A.留數(shù)是解析函數(shù)在孤立奇點(diǎn)處的一個(gè)重要概念B.留數(shù)定理可用于計(jì)算復(fù)積分C.有限孤立奇點(diǎn)處留數(shù)之和為\(0\)D.可通過(guò)洛朗展開(kāi)式求留數(shù)10.下列哪些是復(fù)變函數(shù)的常見(jiàn)初等函數(shù)（）A.指數(shù)函數(shù)B.三角函數(shù)C.對(duì)數(shù)函數(shù)D.冪函數(shù)答案：1.ACD2.ABCD3.AC4.ABCD5.ABC6.AB7.BCD8.AB9.ABD10.ABCD三、判斷題（每題2分，共20分）1.復(fù)數(shù)\(z_1\)與\(z_2\)，若\(\vertz_1\vert=\vertz_2\vert\)，則\(z_1=z_2\)。（）2.函數(shù)\(f(z)=\overline{z}\)在復(fù)平面上處處不可導(dǎo)。（）3.若\(f(z)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，\(C\)為\(D\)內(nèi)的一條簡(jiǎn)單閉曲線，則\(\oint_{C}f(z)dz=0\)。（）4.冪級(jí)數(shù)在其收斂圓周上一定收斂。（）5.函數(shù)\(f(z)\)的奇點(diǎn)一定是使\(f(z)\)無(wú)定義的點(diǎn)。（）6.解析函數(shù)的實(shí)部和虛部都是調(diào)和函數(shù)。（）7.復(fù)變函數(shù)的積分與路徑無(wú)關(guān)的充要條件是函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)解析。（）8.若\(f(z)\)在\(z_0\)處的洛朗展開(kāi)式中不含負(fù)冪項(xiàng)，則\(z_0\)是\(f(z)\)的可去奇點(diǎn)。（）9.三角函數(shù)\(\sinz\)和\(\cosz\)在復(fù)平面上是有界的。（）10.留數(shù)定理是計(jì)算復(fù)積分的重要工具。（）答案：1.×2.√3.×4.×5.×6.√7.×8.√9.×10.√四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共20分）1.簡(jiǎn)述柯西-黎曼方程。答案：設(shè)\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)有定義，若\(u(x,y)\)與\(v(x,y)\)在\(D\)內(nèi)可微，且滿足\(\frac{\partialu}{\partialx}=\frac{\partialv}{\partialy}\)，\(\frac{\partialu}{\partialy}=-\frac{\partialv}{\partialx}\)，則稱\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)滿足柯西-黎曼方程，它是\(f(z)\)解析的必要條件。2.求函數(shù)\(f(z)=\frac{1}{z-3}\)在\(z=0\)處的泰勒展開(kāi)式。答案：已知\(\frac{1}{1-w}=\sum_{n=0}^{\infty}w^n\)，\(\vertw\vert\lt1\)。將\(f(z)=\frac{1}{z-3}=-\frac{1}{3}\frac{1}{1-\frac{z}{3}}\)，令\(w=\frac{z}{3}\)，則\(f(z)=-\frac{1}{3}\sum_{n=0}^{\infty}(\frac{z}{3})^n\)，\(\vertz\vert\lt3\)。3.簡(jiǎn)述解析函數(shù)與調(diào)和函數(shù)的關(guān)系。答案：若\(f(z)=u(x,y)+iv(x,y)\)在區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(u(x,y)\)和\(v(x,y)\)都是\(D\)內(nèi)的調(diào)和函數(shù)，且滿足柯西-黎曼方程。反之，已知一個(gè)調(diào)和函數(shù)\(u(x,y)\)，可通過(guò)柯西-黎曼方程構(gòu)造出其共軛調(diào)和函數(shù)\(v(x,y)\)，從而得到解析函數(shù)\(f(z)\)。4.說(shuō)明復(fù)變函數(shù)積分與路徑無(wú)關(guān)的條件。答案：若\(f(z)\)在單連通區(qū)域\(D\)內(nèi)解析，則\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)沿任意兩條有相同起點(diǎn)和終點(diǎn)的曲線的積分值相等，即積分與路徑無(wú)關(guān)。若\(D\)是多連通區(qū)域，\(f(z)\)在\(D\)內(nèi)除有限個(gè)奇點(diǎn)外解析，在包含這些奇點(diǎn)的閉曲線積分和為\(0\)時(shí)，也有積分與路徑無(wú)關(guān)。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論復(fù)變函數(shù)中奇點(diǎn)的分類及判斷方法。答案：奇點(diǎn)分為可去奇點(diǎn)、極點(diǎn)和本性奇點(diǎn)。判斷方法：若\(f(z)\)在\(z_0\)的洛朗展開(kāi)式不含負(fù)冪項(xiàng)，\(z_0\)是可去奇點(diǎn)；若負(fù)冪項(xiàng)最高次為\(m\)次，\(z_0\)是\(m\)階極點(diǎn)；若負(fù)冪項(xiàng)有無(wú)窮多項(xiàng)，\(z_0\)是本性奇點(diǎn)。2.舉例說(shuō)明復(fù)變函數(shù)積分在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用。答案：在流體力學(xué)中，可通過(guò)復(fù)變函數(shù)積分計(jì)算平面無(wú)旋流動(dòng)的復(fù)勢(shì)，分析流體的流動(dòng)情況，如計(jì)算流速、流量等。在靜電場(chǎng)中，可利用復(fù)變函數(shù)積分求解電場(chǎng)分布等問(wèn)題，例如通過(guò)解析函數(shù)描述靜電場(chǎng)中的等勢(shì)線和電場(chǎng)線。3.討論冪級(jí)數(shù)收斂半徑的求法及意義。答案：求法有比值法和根值法。比值法：\(R=\lim\limits_{n\to\infty}\vert\frac{a_n}{a_{n+1}}\vert\)；根值法：\(R=\frac{1}{\lim\limits_{n\to\infty}\sqrt[n]{