高數(shù)一期末試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\frac{1}{\ln(x-1)}\)的定義域是（）A.\(x>1\)B.\(x\neq2\)C.\(x>1\)且\(x\neq2\)D.\(x\geq1\)2.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=\)（）A.1B.3C.\(\frac{1}{3}\)D.03.函數(shù)\(y=x^3\)在點\(x=1\)處的導(dǎo)數(shù)為（）A.1B.2C.3D.04.若\(f(x)\)的一個原函數(shù)是\(x^2\)，則\(f(x)\)=（）A.\(2x\)B.\(x^2\)C.\(\frac{1}{2}x^3\)D.\(2\)5.\(\int\cosxdx=\)（）A.\(\sinx+C\)B.\(-\sinx+C\)C.\(\cosx+C\)D.\(-\cosx+C\)6.曲線\(y=x^2\)與\(x=1\)，\(x=2\)及\(x\)軸所圍成的圖形面積為（）A.\(\frac{7}{3}\)B.\(\frac{8}{3}\)C.\(\frac{1}{3}\)D.\(\frac{4}{3}\)7.二元函數(shù)\(z=\ln(x+y)\)的定義域是（）A.\(x+y>0\)B.\(x+y\geq0\)C.\(x>0\)且\(y>0\)D.\(x\neq0\)且\(y\neq0\)8.已知\(f(x,y)=x^2+y^2\)，則\(f_x(1,1)\)=（）A.1B.2C.0D.49.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是（）A.收斂的B.發(fā)散的C.條件收斂的D.絕對收斂的10.微分方程\(y'=2x\)的通解是（）A.\(y=x^2+C\)B.\(y=2x^2+C\)C.\(y=\frac{1}{2}x^2+C\)D.\(y=x^2\)二、多項選擇題（每題2分，共20分）1.下列函數(shù)中，是奇函數(shù)的有（）A.\(y=x^3\)B.\(y=\sinx\)C.\(y=\cosx\)D.\(y=e^x\)2.下列極限存在的有（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{1}{x}\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}x\)3.函數(shù)\(y=f(x)\)在點\(x_0\)處可導(dǎo)的充分條件有（）A.在點\(x_0\)處連續(xù)B.左右導(dǎo)數(shù)存在且相等C.極限\(\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}\)存在D.在點\(x_0\)處有定義4.下列積分計算正確的有（）A.\(\int_{0}^{1}x^2dx=\frac{1}{3}\)B.\(\int_{-1}^{1}xdx=0\)C.\(\int_{0}^{2\pi}\sinxdx=0\)D.\(\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx=1\)5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處可微的必要條件有（）A.在點\((x_0,y_0)\)處連續(xù)B.\(z_x(x_0,y_0)\)存在C.\(z_y(x_0,y_0)\)存在D.偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)6.下列級數(shù)中，收斂的有（）A.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}\)B.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^3}\)C.\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)D.\(\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n\frac{1}{n}\)7.下列微分方程中，是一階線性微分方程的有（）A.\(y'+y=x\)B.\(y''+y=0\)C.\(y'=y^2\)D.\(y'+xy=e^x\)8.函數(shù)\(y=x^3-3x\)的單調(diào)遞增區(qū)間有（）A.\((-\infty,-1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,+\infty)\)D.\((0,+\infty)\)9.曲線\(y=\frac{1}{x}\)的漸近線有（）A.\(x=0\)B.\(y=0\)C.\(y=x\)D.\(y=-x\)10.下列等式成立的有（）A.\((\intf(x)dx)'=f(x)\)B.\(\intf'(x)dx=f(x)+C\)C.\(\fraccykwuq4{dx}\int_{a}^{x}f(t)dt=f(x)\)D.\(\int_{a}^f(x)dx=-\int_^{a}f(x)dx\)三、判斷題（每題2分，共20分）1.函數(shù)\(y=\sqrt{x^2}\)與\(y=x\)是同一個函數(shù)。（）2.若\(\lim_{x\tox_0}f(x)\)存在，則\(f(x)\)在\(x_0\)處一定連續(xù)。（）3.函數(shù)\(y=x^2\)在\((-\infty,+\infty)\)上是單調(diào)遞增的。（）4.\(\int_{0}^{a}f(x)dx=-\int_{a}^{0}f(x)dx\)。（）5.二元函數(shù)\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處的偏導(dǎo)數(shù)\(z_x(x_0,y_0)\)，\(z_y(x_0,y_0)\)都存在，則\(z=f(x,y)\)在點\((x_0,y_0)\)處一定可微。（）6.級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}a_n\)收斂，則\(\lim_{n\to\infty}a_n=0\)。（）7.微分方程\(y'=y\)的通解是\(y=e^x+C\)。（）8.函數(shù)\(y=\sinx\)的周期是\(2\pi\)。（）9.若\(f(x)\)在\([a,b]\)上連續(xù)，則\(\int_{a}^f(x)dx\)一定存在。（）10.函數(shù)\(y=\frac{1}{x-1}\)在\(x=1\)處有定義。（）四、簡答題（每題5分，共20分）1.求函數(shù)\(y=x^3-3x^2+1\)的極值。答：對\(y\)求導(dǎo)得\(y'=3x^2-6x=3x(x-2)\)。令\(y'=0\)，得\(x=0\)或\(x=2\)。當(dāng)\(x<0\)時，\(y'>0\)；\(0<x<2\)時，\(y'<0\)；\(x>2\)時，\(y'>0\)。所以極大值\(y(0)=1\)，極小值\(y(2)=-3\)。2.計算\(\intxe^xdx\)。答：用分部積分法，設(shè)\(u=x\)，\(dv=e^xdx\)，則\(du=dx\)，\(v=e^x\)。\(\intxe^xdx=xe^x-\inte^xdx=xe^x-e^x+C=e^x(x-1)+C\)。3.求二元函數(shù)\(z=x^2+2xy-y^2\)的偏導(dǎo)數(shù)\(z_x\)，\(z_y\)。答：求\(z_x\)時，把\(y\)看成常數(shù)，\(z_x=2x+2y\)；求\(z_y\)時，把\(x\)看成常數(shù)，\(z_y=2x-2y\)。4.求微分方程\(y'+2y=0\)的通解。答：這是一階線性齊次微分方程，分離變量得\(\frac{dy}{y}=-2dx\)，兩邊積分\(\int\frac{dy}{y}=-2\intdx\)，得\(\ln|y|=-2x+C_1\)，所以通解\(y=Ce^{-2x}\)（\(C=e^{C_1}\)）。五、討論題（每題5分，共20分）1.討論函數(shù)\(y=\frac{1}{x^2-1}\)的單調(diào)性、極值、漸近線。答：定義域\(x\neq\pm1\)。求導(dǎo)\(y'=-\frac{2x}{(x^2-1)^2}\)。\(x<0\)且\(x\neq-1\)時，\(y'>0\)，函數(shù)遞增；\(x>0\)且\(x\neq1\)時，\(y'<0\)，函數(shù)遞減。\(x=0\)取極大值\(y(0)=-1\)。漸近線：\(x=\pm1\)是垂直漸近線，\(y=0\)是水平漸近線。2.討論級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)的斂散性與\(p\)的關(guān)系。答：當(dāng)\(p>1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)收斂；當(dāng)\(p=1\)時，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}\)是調(diào)和級數(shù)，發(fā)散；當(dāng)\(p<1\)時，根據(jù)比較判別法，級數(shù)\(\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^p}\)發(fā)散。3.結(jié)合實際，談?wù)剬?dǎo)數(shù)在優(yōu)化問題中的應(yīng)用。答：在實際中，導(dǎo)數(shù)可用于優(yōu)化成本、利潤等問題。例如企業(yè)生產(chǎn)中，通過建立成本或利潤函數(shù)，對其求導(dǎo)找到駐點，再結(jié)合實際情況判斷駐點是否為最值點，從而確定最優(yōu)生產(chǎn)數(shù)量等，以實現(xiàn)成本最小化或利潤最大化。4.請闡述不定積分與定積分的聯(lián)系與區(qū)別。答：聯(lián)系：定積分可通過牛頓-萊布尼茨公式用不定積分計算。區(qū)別：不定積分是原函數(shù)的集合，結(jié)果是函數(shù)；定積分是一個數(shù)值，它表示的是函數(shù)在區(qū)間上與坐標(biāo)軸圍成的面積（