.2—3.3單項式的乘法、多項式的乘法一、單項式的乘法1單項式乘單項式單項式與單項式相乘，把它們的系數(shù)、同底數(shù)冪分別相乘，其余字母連同它的指數(shù)不變，作為積的因式。2單項式乘多項式單項式與多項式相乘，就是用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加。即m(a+b+c)=ma+mb+mc。計算過程中需要注意：積的系數(shù)是所有系數(shù)的積，應(yīng)注意符號。對于只在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因式，要防止遺漏。單項式必須乘多項式的每一項，不能漏乘任何一項。計算過程中不要忽略各項的符號。二、多項式的乘法多項式的乘法是在單項式的乘法的基礎(chǔ)上進(jìn)行教學(xué)的。只要掌握了單項式的乘法，那么單項式與多項式相乘，以及多項式與多項式相乘就不難。其中，多項式乘多項式時，一定要避免“漏乘”。多項式與多項式相乘，實質(zhì)上是利用乘法分配律將其轉(zhuǎn)化為單項式乘單項式或單項式乘多項式，結(jié)果是一個多項式，其項數(shù)與兩個因式的項數(shù)之積相同。在計算過程中，同樣需要注意符號，以及運(yùn)算順序。最后有同類項的，必須合并同類項從而得到最簡結(jié)果。鞏固課內(nèi)例1:計算——單項式與單項式相乘1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了積的乘方運(yùn)算和單項式乘以單項式，直接根據(jù)積的乘方運(yùn)算和單項式乘以單項式運(yùn)算法則計算即可得出答案．【詳解】解：，故選：B．2．計算：．【答案】/【分析】本題考查單項式乘以單項式，積的乘方，根據(jù)積的乘方，單項式乘以單項式的運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．3．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）先運(yùn)算積的乘方，再運(yùn)算單項式乘單項式，即可作答．（2）先運(yùn)算積的乘方，冪的乘方，再合并同類項，即可作答．（3）先運(yùn)算單項式乘單項式，再合并同類項，即可作答．本題考查了積的乘方，單項式乘單項式，冪的乘方，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：；（2）解：；（3）解：．鞏固課內(nèi)例2:計算——單項式與多項式相乘1．計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了單項式乘多項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)單項式乘多項式的運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：，故選：D．2．計算：（1）；（2）．【答案】【分析】本題考查了整式的乘法，利用單項式乘以多項式的法則進(jìn)行計算，可得到答案．【詳解】解：；；故答案為：；3．化簡：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了單項式乘多項式，冪的乘方，正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)單項式乘多項式的法則進(jìn)行計算，即可作答．（2）根據(jù)單項式乘多項式，冪的乘方的法則進(jìn)行計算，再合并同類項，即可作答．（3）根據(jù)單項式乘多項式的法則進(jìn)行計算，再合并同類項，即可作答．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．鞏固課內(nèi)例3:計算——多項式與多項式相乘1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題主要考查了多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是熟練掌握法則．根據(jù)多項式乘多項式運(yùn)算法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解：．故選：D．2．計算：．【答案】【分析】本題考查多項式乘多項式，解題的關(guān)鍵是掌握多項式乘多項式的運(yùn)算法則：多項式與多項式相乘，先用一個多項式的每一項乘另一個多項式的每一項，再把所得的積相加．據(jù)此解答即可．【詳解】解：．故答案為：．3．計算：(1)；(2)；(3)．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，合并同類項等知識．（1）按照多項式乘以多項式法則計算，再合并同類項即可．（2）先按照多項式乘以多項式法則展開，然后合并同類項即可．（3）先按照多項式乘以多項式法則展開，然后合并同類項即可．【詳解】（1）解：．（2）解：．（3）解：．鞏固課內(nèi)例4:化簡求值1．對于任意的實數(shù)、，定義運(yùn)算，當(dāng)為實數(shù)時，的化簡結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了新定義，多項式與多項式的乘法，正確掌握新定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)新定義的運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為一般的式子，然后利用多項式與多項式相乘化簡即可．【詳解】解：∵，∴．故選B．2．化簡的結(jié)果為．．【答案】【分析】本題考查了多項式乘多項式，掌握其運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．根據(jù)冪的乘方，多項式乘以多項式，整式的加減混合運(yùn)算法則計算即可．【詳解】解：，故答案為：．3．先化簡，再求值：，其中．【答案】；【知識點(diǎn)】本題考查整式運(yùn)算中的化簡求值，熟練掌握運(yùn)算法則且正確求解是解答的關(guān)鍵．先根據(jù)單項式乘以多項式法則去括號，然后合并同類項化簡，最后把代入求值即可．【詳解】解：，當(dāng)時，原式．鞏固課內(nèi)例5:計算——結(jié)果為多次項1．計算（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了整式的乘法運(yùn)算，熟練掌握單項式與多項式相乘等于單項式與多項式的每一個項相乘是解題的關(guān)鍵．根據(jù)單項式與多項式相乘的運(yùn)算法則求解即可．【詳解】解：．故選B．2．計算：．【答案】【分析】本題考查單項式乘多項式知識點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是運(yùn)用乘法分配律將單項式與多項式的每一項相乘．根據(jù)單項式乘多項式的運(yùn)算法則，用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加，進(jìn)而得出結(jié)果．【詳解】3．計算：【答案】【分析】本題考查了單項式與多項式相乘，根據(jù)單項式與多項式相乘，先用單項式乘多項式的每一項，再把所得的積相加計算即可，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，計算時要注意符號的處理．【詳解】解：，鞏固課內(nèi)例6:代數(shù)式的值與字母的取值無關(guān)1．若將展開的結(jié)果中不含有項，則，滿足的關(guān)系式是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．原式利用多項式乘以多項式法則計算，由結(jié)果不含項，得出與的關(guān)系即可．【詳解】解：原式展開的結(jié)果中不含有項．故選：C．2．已知關(guān)于x的多項式與的乘積的展開式中不含x的二次項，且一次項系數(shù)為，則a的值為．【答案】【分析】本題考查多項式乘以多項式，解二元一次方程組，解題的關(guān)鍵是明確不含x的二次項，則二次項的系數(shù)為0．根據(jù)多項式乘以多項式法則進(jìn)行運(yùn)算，再將計算結(jié)果中，利用二次項是系數(shù)與一次項的系數(shù)的要求建立方程組，即可求解．【詳解】解：∵多項式與的乘積展開式中不含x的二次項，且一次項系數(shù)為，∴，解得．故答案為：．3．已知的算術(shù)平方根是2，的立方根是．(1)求的平方根；(2)若代數(shù)式中不含項和項，且，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題考查了算術(shù)平方根與平方根、立方根、多項式乘以多項式等知識，熟練掌握平方根與立方根的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)算術(shù)平方根和立方根可求出的值，再根據(jù)平方根的性質(zhì)求解即可得；（2）先將，代入計算多項式乘以多項式，再根據(jù)不含項和項可得含項和項的系數(shù)等于0，據(jù)此求出的值，代入計算即可得．【詳解】（1）解：∵的算術(shù)平方根是2，∴，∴，∵的立方根是，∴，即，∴，∴，∴的平方根為．（2）解：由（1）已得：，，∴，∵代數(shù)式中不含項和項，∴，，∴，∵，∴，∴．鞏固課內(nèi)例7:解方程——多項式乘多項式1．方程的解是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，解一元一次方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識進(jìn)行求解．先計算多項式乘以多項式，然后合并同類項，即可得到答案．【詳解】解：去括號得：，移項合并同類項得：，解得：，故選：B．2．方程的解為．【答案】【分析】本題主要考查了整式乘法運(yùn)算，解一元一次方程，先根據(jù)整式乘法運(yùn)算法則化簡方程，然后再解一元一次方程即可．【詳解】解：，去括號得：，移項，合并同類項得：，即．故答案為：．3．解方程：【答案】【分析】本題考查了多項式乘以多項式，解一元一次方程，先根據(jù)多項式乘以多項式化簡方程的兩邊，再解一元一次方程，即可求解．【詳解】解：∴即解得：類型一、單項式乘單項式1．計算：（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了單項式乘以單項式，根據(jù)單項式乘單項式的法則求解即可．【詳解】解：．故選B．2．計算：．【答案】【分析】本題主要考查單項式乘單項式，利用單項式乘單項式的法則進(jìn)行運(yùn)算即可．【詳解】解：．故答案為：．3．計算：（1）；（2）．【答案】；．【分析】本題考查了單項式的乘法運(yùn)算，根據(jù)單項式乘法法則即可計算，掌握單項式乘法法則是解題的關(guān)鍵．（1）先去括號，再計算；（2）先提取公因式，再計算．【詳解】解：（1）；（2）原式；；故答案為：；．類型二、單項式乘多項式1．計算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】略2．計算：．【答案】【分析】本題主要考查了單項式乘多項式．熟練掌握單項式乘多項式的法則，是解決問題的關(guān)鍵．先用單項式去乘多項式的每一項，再把所得的積相加即可．【詳解】解：，故答案為：．3．計算：．【答案】【分析】根據(jù)單項式乘以多項式法則計算，熟練掌握單項式乘以多項式法則：單項式分別乘以多項式的每一項，再將乘積相加，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：原式．類型三、多項式乘多項式1．的運(yùn)算的結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查多項式乘多項式，掌握多項式乘以多項式的法則是解題的關(guān)鍵.根據(jù)多項式乘多項式的法則計算即可.【詳解】故選：D.2．．【答案】【分析】本題主要考查了多項式乘多項式，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則．根據(jù)多項式乘多項式法則進(jìn)行計算即可．【詳解】解∶故答答為∶．3．計算：．【答案】【分析】利用多項式乘多項式的法則運(yùn)算即可．【詳解】解：原式．【點(diǎn)睛】本題主要考查多項式乘多項式，解答的關(guān)鍵是對相應(yīng)的運(yùn)算法則的掌握．類型四、根據(jù)圖形列出等式1．對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個因式分解的等式．觀察如圖的長方形，可以得到的因式分解是（）

A．B．C．D．【答案】C【分析】根據(jù)大長方形的面積等于每一個圖形的面積和列式可求解．【詳解】解：由圖可知：．故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查因式分解的應(yīng)用，掌握面積法是解題的關(guān)鍵．2．我們知道，對于一個圖形，通過不同的方法計算它的面積時，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如：圖1可以得到數(shù)學(xué)等式．請寫出圖2所表示的數(shù)學(xué)等式：．【答案】【解析】略3．?dāng)?shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的重要思想方法，借助圖形可以對很多數(shù)學(xué)問題進(jìn)行直觀推導(dǎo)和解釋．例如圖1，利用面積的不同表示方法可以用來解釋代數(shù)恒等式．(1)根據(jù)圖2，利用面積的不同表示方法寫出一個代數(shù)恒等式．(2)試畫出一個幾何圖形，使它能解釋恒等式．(3)小明制作了圖3所示的正方形和長方形硬紙片，其中A類紙片3張，B類紙片若干張，C類紙片4張，小明用這些硬紙片剛好拼成了一個長方形（紙片不重疊），請問B類紙片有多少張？并寫出利用所拼的圖形可解釋的代數(shù)恒等式．【答案】(1)(2)見解析(3)①B類紙片有7張，；②B類紙片有13張，；③B類紙片有8張，【分析】此題考查了多項式乘法與幾何圖形．（1）根據(jù)圖形，可以解答本題；（2）根據(jù)題意可以畫出相應(yīng)的圖形；（3）根據(jù)多項式乘法即可解答本題．【詳解】（1）解：由題意可得，大長方形的面積可表示或，即（2）解：如圖，即為所求，（3）由題意可得，①B類紙片有7張，；②B類紙片有13張，；③B類紙片有8張，．類型一、單項式和單項式的實際應(yīng)用1．在計算整式的值過程中，的取值比原來擴(kuò)大，的取值比原來縮小，則該整式的值（

）A．比原來擴(kuò)大 B．比原來縮小C．比原來擴(kuò)大 D．比原來縮小【答案】D【分析】本題考查了整式的加減及乘法運(yùn)算，根據(jù)題意列出代數(shù)式計算即可判斷求解，正確列出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：，∵，∴該整式的值比原來縮小．故選：．2．如圖，已知一個大長方形中被剪去兩個小長方形，則圖中陰影部分的面積為．【答案】/【分析】本題考查列代數(shù)式及整式加減運(yùn)算的應(yīng)用，用代數(shù)式表示出大長方形和兩個小長方形的面積，則陰影部分的面積等于大長方形的面積減去兩個小長方形的面積．【詳解】解：觀察圖形可知：大長方形的長，寬，上面小長方形的長，寬，下面小長方形的長，寬，因此大長方形的面積為：，上面小長方形的面積為，下面小長方形的面積為，故陰影部分的面積為．故答案為：．3．小李家住房結(jié)構(gòu)如圖所示，他打算把臥室和客廳鋪上木制地板．(1)列式計算說明小李需要買多少平方米的木制地板．（x、y單位：米）(2)若米，米時，并且每平方米木地板的價格是190元，則他需要花費(fèi)多少元錢？【答案】(1)小明至少需要買平方米的木制地板(2)他至少需要準(zhǔn)備11400元錢【分析】本題考查的是代數(shù)式的知識，根據(jù)長方形的面積公式正確的寫出代數(shù)式是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形的面積公式用字母列式即可得到答案；（2）由（1）可得需要木地板的代數(shù)式，將代入之后再乘以190計算即可．【詳解】（1）解：由圖中可知，臥室的寬為，長為，客廳的長為，寬為，所以小李至少需要買木地板：平方米，答：小明至少需要買平方米的木制地板．（2）解：由（1）可知小李需要買平方米的地板，當(dāng)時，平方米，元，答：他至少需要準(zhǔn)備11400元錢．類型二、單項式和多項式的實際應(yīng)用1．如圖，從邊長為的正方形紙片中剪去一個邊長為4的正方形，剩余部分沿虛線又剪拼成一個如圖所示的長方形（不重疊，無縫隙），則拼成的長方形的面積是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查單項式乘以多項式與幾何圖形的面積，由題意，可知，拼成的長方形的長為，寬為，利用面積公式進(jìn)行計算即可．【詳解】解：由圖可知：拼成的長方形的面積是；故選D．2．已知一個長方形的周長為100，一邊的長為x，則這個長方形的面積為．【答案】【分析】本題考查了列代數(shù)式，解題的關(guān)鍵是先根據(jù)周長公式求出長方形另一邊的長，再根據(jù)面積公式計算面積．先利用長方形周長公式求出另一邊的長度表達(dá)式，再根據(jù)長方形面積公式得到面積關(guān)于的表達(dá)式．【詳解】已知長方形周長公式為長+寬）（表示周長），該長方形周長，一邊長為，設(shè)另一邊長為，則可列出，移項化簡得到，根據(jù)長方形面積公式長寬（表示面積），長，寬代入面積公式，可得長方形面積．3．如圖，正方形的邊長為a，點(diǎn)E在邊上，四邊形也是正方形，它的邊長為b（），連結(jié)、、．(1)用含a，b的代數(shù)式表示的面積；(2)的面積為，的面積為，當(dāng)，時，求的值．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查列代數(shù)式，單項式乘多項式與幾何圖形的面積，化簡求值．（1）利用即可求解；（2）根據(jù)三角形面積公式分別表示出，，代入中，化簡后，由，求出，即，再求出，代入計算即可．【詳解】（1）解：∵正方形的邊長為a，正方形的邊長為b（），∴；（2）解：根據(jù)題意：，，由（1）知，∴；∵，∴，即，∴，∴．類型三、多項式和多項式的實際應(yīng)用1．如圖，在長，寬的長方形空地上規(guī)劃一塊長方形花園（圖中陰影部分），花園的北面和東、西兩面都留有寬度為的小路（圖中空白部分），則花園的面積為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意，得到花園的長為，寬為，根據(jù)公式計算即可．本題考查了多項式乘多項式與圖形的面積，正確列式是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：根據(jù)題意，得花園的長為，寬為，故面積為．故選：D．2．如圖，若要拼一個長為、寬為的長方形，則需要C類紙片的張數(shù)為．【答案】8【分析】本題考查多項式乘多項式表示面積，計算長方形的面積并寫成多項的形式，其中項的系數(shù)即為答案．【詳解】解：，，，即，故需要C類紙片的張數(shù)為：8，故答案為：8．3．圖、圖是兩個長和寬分別相等的長方形，其中長為，寬為．(1)根據(jù)圖、圖的特征用不同的方法表示長方形的面積：圖的面積______，圖的面積____________．由此可以發(fā)現(xiàn)關(guān)于字母的兩個一次多項式（一次項系數(shù)為）相乘的計算規(guī)律，用數(shù)學(xué)式子表示是_________；(2)利用你所得的規(guī)律進(jìn)行多項式乘法計算：；；．【答案】(1)；；；；(2)；；．【分析】（）圖的利用長寬即可求解，圖的面積等于四個小長方形面積相加即可，兩個面積相等即可得出等式；（）利用題（）的等式即可求解；本題考查了多項式乘以多項式的應(yīng)用，掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：解：圖的面積，圖的面積，數(shù)學(xué)式子表示是，故答案為：，，，；（2）解：原式；原式；原式．類型四、等式恒成立1．已知，若a，b都是整數(shù)，則的值不可能是（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】此題考查了多項式乘多項式，根據(jù)多項式乘多項式的乘法法則，得到，，再根據(jù)和為整數(shù)，進(jìn)行分類討論是解題的關(guān)鍵．【詳解】∵，∴，則，，∵和均為整數(shù)，∴當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；當(dāng)時，，此時；綜上：或，故選：D．2．若，則的值是．【答案】9【分析】本題主要考查了多項式乘以多項式，代數(shù)式求值，根據(jù)多項式乘以多項式的計算法則得到，則，據(jù)此求出a、b的值即可得到答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∴，∴，故答案為：．3．計算下列各式，然后回答問題．；；；．（1）從上面的計算中總結(jié)規(guī)律，寫出下式結(jié)果．．（2）運(yùn)用上述結(jié)果，寫出下列各題結(jié)果．①；②．【答案】；；；；（1）；（2）①；②【分析】本題考查了多項式乘多項式，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵，對計算結(jié)果分析找出規(guī)律，再利用規(guī)律簡便計算．利用單項式與多項式相乘計算各個式子后，發(fā)現(xiàn)展開式的一次項系數(shù)是原來每個因式的第二項的和，常數(shù)項是它們的積．即．然后再計算所給的式子的結(jié)果．【詳解】解：；；；．（1）．（2）①；②．類型五、不含某項、與某項無關(guān)1．如果計算的結(jié)果不含項，那么的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據(jù)多項式乘以多項式進(jìn)行計算，根據(jù)結(jié)果不含項，得出，即可求解．【詳解】解：；∵計算的結(jié)果不含項，∴，解得：，故選：D．2．要使的展開式中不含項，則的值為．【答案】【分析】本題考查了合并同類項法則及對多項式“項”的概念的理解，要知道多項式中的每個單項式叫做多項式的項，題目設(shè)計精巧，有利于培養(yǎng)學(xué)生靈活運(yùn)用知識的能力．先把多項式展開后合并，然后令x項系數(shù)等于0，再解方程即可．【詳解】解：∵多項式不含項，∴，解得．故答案為：．3．若的積中不含項與項，求：(1)的值；(2)代數(shù)式的值．【答案】(1)(2)36【分析】本題主要考查多項式乘以多項式的法則，注意不要漏項、漏字母、有同類項的合并同類項，解題的關(guān)鍵是正確求出的值．（1）將原式根據(jù)多項式乘以多項式法則展開后合并同類項，由積中不含項與項，可知項與項的系數(shù)均等于0，可得關(guān)于的方程，解方程即可；（2）由（1）中的值得，代入原式計算即可．【詳解】（1）解：，∵的積中不含x項與項，∴，解得．（2）解：∵，∴，∴．類型一、楊輝三角1．我國宋朝數(shù)學(xué)家楊輝在他的著作《詳解九章算法》中提出“楊輝三角”（如圖），此圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．例如：，系數(shù)為1；，系數(shù)分別為1，1；，系數(shù)分別為1，2，1；，系數(shù)分別為1，3，3，1；…請依據(jù)上述規(guī)律判斷：若今天是星期四，則經(jīng)過天后是（

）A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五【答案】D【分析】本題考查多項式乘法中的規(guī)律性問題，將變形為，利用“楊輝三角”展開，得出的余數(shù)，即可求解．【詳解】解：，可有，的余數(shù)為1，即的余數(shù)為1，若今天是星期四，則經(jīng)過天后是星期五．故選D．2．我國南宋時期杰出的數(shù)學(xué)家楊輝是錢塘人，如圖是他在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”．此圖揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．的展開式中所有項的系數(shù)和為；【答案】/512【分析】本題考查了多項式乘法中的規(guī)律性問題．由楊輝三角歸納的項數(shù)與所有項的系數(shù)和的規(guī)律，即可求解．【詳解】解：由題意得，共2項，所有項系數(shù)的和為；共3項，所有項系數(shù)的和為；共4項，所有項系數(shù)的和為；……；共項，所有項系數(shù)的和為，∴共10項，所有項系數(shù)的和為；故答案為：512．3．我國南宋杰出的數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”揭示了（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項數(shù)及各項系數(shù)的有關(guān)規(guī)律，如；.(1)請你寫出和的展開式：(2)此規(guī)律還可以解決實際問題：若今天是星期二,再過7天還是星期二，則再過天是星期．(3)設(shè)．小明發(fā)現(xiàn)通過賦值法可求解系數(shù)間的關(guān)系，例如令則，聰明的你能不能求出的值，若能，請寫出過程；(4)你能在（3）的基礎(chǔ)上求出的值嗎？若能，請寫出過程．【答案】(1)；(2)三(3)能，++++………++++－，過程見解析(4)能，的值為－1，過程見解析【分析】本題考查本題考查了規(guī)律探究，已知字母的值求代數(shù)式的值，冪的乘方運(yùn)算；（1）根據(jù)題干和圖形規(guī)律求解即可；（2），再根據(jù)題干規(guī)律得到除以余數(shù)為，即可求解；（3）分別把，代入計算即可；（4）把代入，再結(jié)合（3）中式子計算即可．【詳解】（1）解：由已知可得，由規(guī)律可得的系數(shù)分別為，，，，，，∴；（2）解∵，而，∴除以余數(shù)為，∴今天是星期二，再過7天還是星期二，則再過天是星期三，故答案為：三；（3）解：∵，∴當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，∴，∴；（4）解：當(dāng)時，，∴，∴，∴．類型二、規(guī)律問題1．觀察下列等式：，，，，…根據(jù)以上規(guī)律得出的結(jié)果是（）A．20181 B．20191 C．20201 D．20211【答案】B【分析】根據(jù)題目提供的算式找到規(guī)律：第n個數(shù)為：9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1，進(jìn)而即可求解．【詳解】解：由上述等式可得，當(dāng)其為第n個數(shù)時，即9×（n﹣1）+n＝10×（n﹣1）+1，∴9×2019+2020＝10×2019+1＝20191．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了規(guī)律性問題的一般知識，能夠從中找出其內(nèi)在之間的聯(lián)系，進(jìn)而熟練求解．2．觀察下列等式：，，，，利用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律回答：若，則的值是．【答案】【分析】本題考查了多項式乘法中的規(guī)律性問題，觀察題目給出的一系列等式得到一般性規(guī)律，化簡已知等式左邊求出的值，代入原式計算即可得到結(jié)果，讀懂題意，找出規(guī)律是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，，，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．3．【發(fā)現(xiàn)問題】，，……小明在學(xué)習(xí)第十四章數(shù)學(xué)活動時，經(jīng)歷了以上計算過程，他發(fā)現(xiàn)其中有一定的運(yùn)算規(guī)律．【提出問題】上面的運(yùn)算規(guī)律是否可以推廣到類似的三位數(shù)相乘呢？如果個位數(shù)字不是5，但仍滿足兩個數(shù)的個位數(shù)字之和為10，上面的運(yùn)算規(guī)律是否成立？【分析問題】請你通過計算與思考，完成下面的探究并填空：（1）①_____；②_______________；（2）____________________；……【解決問題】（3）兩個兩位數(shù)相乘，它們十位上的數(shù)相同都為，個位上的數(shù)的和為，設(shè)其中一個數(shù)的個位上的數(shù)字為，請你用含有，的等式表示兩數(shù)的積的規(guī)律，并證明．【答案】①；②，，；（2），，，；（3），見解析【分析】本題考查了數(shù)字的變化，根據(jù)數(shù)字的變化找出規(guī)律并計算求值，熟練掌握整式的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.（1）①直接計算即可；②根據(jù)規(guī)律直接計算求值即可；（2）根據(jù)規(guī)律直接計算求值即可；（3）根據(jù)規(guī)律寫出式子，證明即可.【詳解】解：（1）①，故答案為：；②，故答案為：；（2），故答案為：；（3），證明如下：左邊，右邊，左邊右邊，.類型三、新定義問題1．定義：表示，表示，則的結(jié)果為（）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了單項式乘多項式，讀懂題意，列式，即可作答．【詳解】解：依題意，表示，表示，則，故選：B．2．由等式，定義一種對應(yīng)，如：表示，對應(yīng)的是，記作，那么.【答案】【分析】本題考查了多項式乘以多項式，根據(jù)已知條件，分別比較等式兩邊、、的系數(shù)以及常數(shù)項，求得、、、的值即可．【詳解】解：∵，∴比較等式兩邊的系數(shù)得，則，比較等式兩邊的系數(shù)得，則，比較等式兩邊的系數(shù)得，則，比較等式兩邊的常數(shù)項得，則，∴，故答案為：．3．觀察下列兩個等式：，給出定義如下：若對于數(shù)對，使等式成立，則稱數(shù)對是“4相關(guān)數(shù)對”，如：，所以數(shù)對是“4相關(guān)數(shù)對”．(1)數(shù)對中是“4相關(guān)數(shù)對”的是______；(2)一名同學(xué)，在數(shù)對和都是“4相關(guān)數(shù)對”的條件下，得到下面兩條結(jié)論：結(jié)論一：和互為相反數(shù)；結(jié)論二：和互為倒數(shù)．請你判斷，兩條結(jié)論是否正確，并說明理由．【答案】(1)(2)結(jié)論一正確，結(jié)論二錯誤；理由見解析【分析】本題主要考查了有理數(shù)混合運(yùn)算，倒數(shù)定義，相反數(shù)定義；（1）根據(jù)“4相關(guān)數(shù)對”的定義進(jìn)行判斷即可；（2）根據(jù)數(shù)對和都是“4相關(guān)數(shù)對”，得出，，求出，得出，即可得出結(jié)論．解題的關(guān)鍵是理解題意，熟練掌握運(yùn)算法則，準(zhǔn)確計算．【詳解】（1）解：∵，，∴中是“4相關(guān)數(shù)對”；∵，，又∵，∴中不是“4相關(guān)數(shù)對”；故答案為：．（2）解：結(jié)論一正確，結(jié)論二錯誤；理由如下：∵數(shù)對和都是“4相關(guān)數(shù)對”，∴，，即，，∴，∴，∴和互為相反數(shù)，∴結(jié)論一正確，結(jié)論二錯誤．類型四、圖形問題1．我們知道，對于一個圖形，通過兩種不同的方法計算它的面積，可以得到一個數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到．若已知，，由圖2所表示的數(shù)學(xué)等式，則的值為（

）A．1 B．12 C．13 D．14【答案】C【分析】本題考查了多項式乘以單項式與圖形的等面積，根據(jù)多項式乘以多項式與圖形的面積得出等式，即可求解．【詳解】解：由圖2可得，∵，∴，又∵，∴，故選：C．2．在長方形內(nèi)，將兩張邊長分別為a和b（）的正方形紙片按圖1，圖2兩種方式放置（圖1，圖2中兩張正方形紙片均有部分重疊），長方形中未被這兩張正方形紙片覆蓋的部分用陰影表示，設(shè)圖1中陰影部分的面積為，圖2中陰影部分的面積為．當(dāng)時，的值為．（用a、b的代數(shù)式表示）【答案】【分析】本題考查了列代數(shù)式和整式的混合運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是：能靈活運(yùn)用整式的運(yùn)算法則進(jìn)行計算．設(shè)，則，根據(jù)圖形得出，再根據(jù)整式的運(yùn)算法則即可求出答案．【詳解】解：設(shè)，則，故答案為：．3．【知識回顧】我們在學(xué)習(xí)代數(shù)式求值時，遇到這樣一類題：代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，求a的值．通常的解題思路是：把x、y看作字母，a看作系數(shù)，合并同類項．因為代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，所以含x項的系數(shù)為0．具體解題過程是：原式，代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，，解．【理解應(yīng)用】（1）若關(guān)于x的代數(shù)式的值與x的取值無關(guān)，則m值為_________．（2）已知，且的值與x的取值無關(guān)，求m的值．【能力提升】（3）7張如圖1的小長方形，長為a，寬為b，按照圖2方式不重疊地放在大長方形內(nèi)，大長方形中未被覆蓋的兩個部分都是長方形．設(shè)右上角的面積為，左下角的面積為，當(dāng)?shù)拈L變化時，的值始終保持不變，求a與b的等量關(guān)系．【答案】（1）4；（2）；（3）【分析】本題主要考查了多項式乘多項式和合并同類項，解題關(guān)鍵是熟練掌握多項式乘多項式法則和合并同類項法則．（1）把含有的項提取公因式，然后根據(jù)關(guān)于的代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，列出關(guān)于的方程，解方程即可；（2）把已知條件中的和代入，根據(jù)去括號法則和合并同類項法則進(jìn)行化簡，然后根據(jù)的值與無關(guān)，列出關(guān)于的方程，解方程即可；（3）設(shè)，由圖可知，，然后再求出，最后根據(jù)的值始終保持不變，得到關(guān)于，的等式即可．【詳解】解：（1），關(guān)于的代數(shù)式的值與的取值無關(guān)，，解得：，故答案為：4；（2），，的值與x無關(guān)，，即；（3）設(shè)，由圖可知，，當(dāng)?shù)拈L變化時，的值始終保持不變．取值與x無關(guān)，，1．計算結(jié)果是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查單項式乘以單項式．根據(jù)單項式乘以單項式法則，即可得到答案．【詳解】解：．故選：B．2．下列計算正確的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查的知識點(diǎn)是合并同類項、單項式乘多項式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算，解題關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)運(yùn)算法則．根據(jù)合并同類項、單項式乘多項式、含乘方的有理數(shù)混合運(yùn)算對選項進(jìn)行逐一判斷即可．【詳解】解：選項，和不是同類項，無法合并，計算錯誤，不符合題意，選項錯誤；選項，，計算正確，符合題意，選項正確；選項，，計算錯誤，不符合題意，選項錯誤；選項，，計算錯誤，不符合題意，選項錯誤．故選：．3．我國南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著《詳解九章算術(shù)》中記載了用如圖所示的三角形解釋了二項和的乘方展開式中的系數(shù)規(guī)律，我們把這種數(shù)字三角形叫做“楊輝三角”，請你利用楊輝三角，計算的展開式中，含項的系數(shù)是（

）A．15 B．10 C．9 D．6【答案】D【分析】本題考查了二項式展開式系數(shù)．運(yùn)用“楊輝三角”來確定展開式中各項系數(shù)是解題的關(guān)鍵．根據(jù)“楊輝三角”得規(guī)律，找到展開式中各項的系數(shù)，從而確定項的系數(shù)即可．【詳解】解：“楊輝三角”中，對于，其系數(shù)是第行的數(shù)．例如系數(shù)為第1行的1；系數(shù)為第2行的1