試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁試卷第=page11頁，共=sectionpages33頁用空間向量解決立體幾何問題【2023上?浙匯臺(tái)州?高二?？茧A段練習(xí)】如圖，正方形和正方形的邊長都是1，且它們所在的平面所成的二面角的大小是，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，且，則的最小值是______．角度一、以為基底，利用空間向量的數(shù)量積、模長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；角度二、以為基底，利用空間向量的數(shù)量積、模長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；角度三、作于，于，以為基底，利用空間向量的數(shù)量積、模長公式及二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可；角度一、

基底Ⅰ，設(shè)．，，，在時(shí)取得最小值，故．角度二、基底Ⅱ：設(shè)，，，在時(shí)取得最小值，故．感悟反思：法二與法一幾乎一樣，都是選擇基底對(duì)目標(biāo)向量進(jìn)行拆分，法二選擇的基底的三個(gè)向量兩兩夾角已知，更加簡潔.角度三、作垂線：在平面內(nèi)過作于，在平面內(nèi)過作于，設(shè)，，，在時(shí)取得最小值，故．感悟反思：二面角條件非常適合在面內(nèi)作兩面交線的垂線．（2024上·上海松江·高二上海市松江二中?？计谀┱叫蔚倪呴L為12，其內(nèi)有兩點(diǎn)、，點(diǎn)到邊、的距離分別為3，2，點(diǎn)到邊、的距離也是3和2．現(xiàn)將正方形卷成一個(gè)圓柱，使得和重合（如圖）．則此時(shí)、兩點(diǎn)間的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點(diǎn)分別作底面的平行圓，利用空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求解即得.【詳解】過點(diǎn)作平行于底面的截面圓，過點(diǎn)作平行于底面的截面圓，，設(shè)圓柱的底面圓半徑為，則，解得，于是，由，得，所以、兩點(diǎn)間的距離為.故選：C

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：求出空間兩點(diǎn)的距離，借助空間向量表示及空間向量數(shù)量積是解決問題的關(guān)鍵.（2024下·江西新余·高二新余市第一中學(xué)?？奸_學(xué)考試）正四面體棱長為6，，且，以為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)，，，則的最小值為（

）A．24 B．25 C．48 D．50【答案】D【分析】先由,再由，推出，，,再由向量的數(shù)量積的計(jì)算公式得到，結(jié)合基本不等式，即可求解結(jié)果.【詳解】因?yàn)檎拿骟w的棱長為，所以，同理可得,,又因?yàn)橐訟為球心且半徑為1的球面上有兩點(diǎn)M，N，,所以，由，則因?yàn)?，所以?dāng)且僅當(dāng)取等號(hào)，此時(shí)，所以故的最小值為.故選：D如圖所示建空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)表示結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)計(jì)算即可.建系如圖，設(shè)，，，在時(shí)取得最小值，故．（2024·江蘇南京·高三金陵中學(xué)假期作業(yè)）正三棱柱中，，，O為的中點(diǎn)，M為棱上的動(dòng)點(diǎn)，N為棱上的動(dòng)點(diǎn)，且，則線段長度的取值范圍為（

） B． D．【答案】B【分析】根據(jù)正三棱柱建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)動(dòng)點(diǎn)坐標(biāo)，結(jié)合線線關(guān)系求線段的表達(dá)式，利用函數(shù)求最值即可.【詳解】因?yàn)檎庵?，為的中點(diǎn)，取中點(diǎn)，連接，如圖，以為原點(diǎn)，，，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，因?yàn)槭抢馍弦粍?dòng)點(diǎn)，設(shè)，且，因?yàn)椋?，于是令?所以，.又因?yàn)楹瘮?shù)在上為增函數(shù)，所以當(dāng)時(shí)，即線段長度的最小值為當(dāng)時(shí)，，即線段長度的最大值為，所以線段長度的取值范圍為.故選：B.（2023上·全國·高二專題練習(xí)）在平行四邊形中，，，，分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，將沿折疊，直到三棱錐的體積最大時(shí)，不再繼續(xù)折疊.在折疊過程中，的最小值為.【答案】【分析】根據(jù)平行四邊形的邊長即角度可得，再由兩點(diǎn)的位置關(guān)系以及的幾何意義，確定出沿折疊過程中三棱錐的體積最大時(shí)平面，建立空間直角坐標(biāo)系利用兩異面直線間的距離公式即可計(jì)算出結(jié)果.【詳解】根據(jù)題意可知，如下圖所示；

由，，利用余弦定理可得，解得，所以滿足，即，則又分別為直線上的動(dòng)點(diǎn)，記兩點(diǎn)之間的最小距離為，則表示兩直線之間的距離，在沿折疊過程中，直線由兩平行線變成兩異面直線，且兩直線間的距離越來越近；當(dāng)三棱錐的體積最大時(shí)，此時(shí)平面；即此時(shí)兩點(diǎn)之間的距離最小，即為兩異面直線之間的距離；以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸，軸，以過點(diǎn)且與平行的直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：

則，即，設(shè)與垂直的一個(gè)向量為，則，令，則，可得不妨取，由兩異面直線間的距離公式可得的最小值為故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于把“兩點(diǎn)之間的最小距離為”理解成異面直線之間的距離，再利用折疊過程中的位置關(guān)系，代入兩異面直線距離公式求解即可.已知平面，，求二面角的大?。敬鸢浮俊痉治觥扛鶕?jù)點(diǎn)線面的位置關(guān)系利用空間向量與二面角定義，借助各線段長度利用向量在幾何中的應(yīng)用即可求得二面角的大小．【詳解】如下圖所示：

根據(jù)題意可得，由二面角定義可得的夾角即為二面角的大小，易知，又；所以，可得，所以；又，可得，所以的夾角，也即二面角的大小為.在正四面體中，，，則異面直線和所成角的余弦值為．【答案】【詳解】在正四面中，設(shè)向量，，，則三個(gè)向量兩兩夾角為，設(shè)正四面體的棱長等于1，且，，，則∵中，，，∴，，，，∵，∴，即直線和所成角的余弦值為，故答案為.（2024上·江西·高三統(tǒng)考期末）已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假定的坐標(biāo)，結(jié)合已知解出的坐標(biāo)，利用線線角的向量求法求解即可.【詳解】如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，規(guī)定，，設(shè)，，易知底面圓方程為，則，，故，，故，設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，故得，解得(負(fù)根舍去)，易得，故，，，，設(shè)直線與所成角為，故有.故選：D（2024·全國·高一專題練習(xí)）柏拉圖多面體是因柏拉圖及其追陮者對(duì)正多面體的研究而得名.如圖是棱長均為的柏拉圖多面體，點(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】方法一：取的中點(diǎn)，連接，，求得，，則可求得，進(jìn)一步求得,按向量夾角公式求解即可；法二;接，，交于點(diǎn)，連接.分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，,用向量夾角公式坐標(biāo)運(yùn)算求解即可【詳解】方法一

由柏拉圖多面體的性質(zhì)可知，四邊形，均是邊長為的正方形，柏拉圖多面體的側(cè)面均為等邊三角形.如圖（1），取的中點(diǎn)，連接，，則.同理可得.所以取的中點(diǎn)，連接，，則，且又點(diǎn)為的中點(diǎn)，且，所以且，則四邊形為平行四邊形，所以.同理可得.設(shè)，的夾角為，則，即異面直線與所成角的余弦值為.故選:方法二

連接，，交于點(diǎn)，連接.易知平面.因?yàn)?，，所以如圖（2），以點(diǎn)為原點(diǎn)，分別以，，所在直線為軸、軸、軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，因?yàn)辄c(diǎn)，，，分別為，，，的中點(diǎn)，所以，，，，則，,設(shè)，的夾角為，則即異面直線與所成角的余弦值為.故選：【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：若不易將兩條異面直線轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的兩條直線時(shí)，則可利用向量法來求兩異面直線所成的角.第一種方法是利用已知向量表示所求向量，第二種方法是建立合適的空間直角坐標(biāo)系，兩種方法最終都轉(zhuǎn)化為求兩向量的夾角的余弦值.（2024·全國·高二假期作業(yè)）《九章算術(shù)》中，將四個(gè)面都為直角三角形的四面體稱為鱉臑．在如圖所示的鱉臑中，平面，，，E是BC的中點(diǎn)，H是內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（含邊界），且平面，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】依題意作出圖形，利用面面平行的判定定理可得平面平面，再由線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而有，，結(jié)合空間向量的數(shù)量積運(yùn)算即可求解.【詳解】設(shè)F，G分別為AB，BD的中點(diǎn)，連接FG，EF，EG，如圖，易得，，，因?yàn)槠矫?，平面，所以平面，同理平面，又因?yàn)槠矫?，，所以平面平?因?yàn)槠矫?，所以H為線段FG上的點(diǎn).由平面，平面，得，又，則，由平面，得平面，因?yàn)?，所以平面，?因?yàn)椋?，?所以.因?yàn)椋?故選：B.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題解決的關(guān)鍵是推得H為線段FG上的點(diǎn)，從而利用空間向量數(shù)量積的定義得到，從而得解.（2024·全國·高二專題練習(xí)）在四面體中（如圖），平面平面，是等邊三角形，，，M為的中點(diǎn)，N在側(cè)面上（包含邊界），若，則下列正確的是（

）

若，則∥平面 B．若，則當(dāng)最小時(shí)， D．當(dāng)最大時(shí)，【答案】C【分析】根據(jù)可證平面，設(shè)，且，進(jìn)而可得，對(duì)于A：若，則點(diǎn)即為點(diǎn)，進(jìn)而可得結(jié)果；對(duì)于B：若，可得點(diǎn)在線段上（包括短點(diǎn)），結(jié)合垂直關(guān)系分析判斷；對(duì)于C、D：過作，垂足為，可證平面，則，結(jié)合圖形分析判斷.【詳解】因?yàn)?，平面平面，平面平面，平面，所以平面，且平面，可得，又因?yàn)镹在側(cè)面上（包含邊界），設(shè)，且，可得，又因?yàn)椋傻茫?對(duì)于選項(xiàng)A：若，則，可得點(diǎn)即為點(diǎn)，顯然平面，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則，可得點(diǎn)在線段上（包括端點(diǎn)），由平面，可知當(dāng)且僅當(dāng)點(diǎn)為點(diǎn)，，故B錯(cuò)誤；過作，垂足為，可得，，

因?yàn)槠矫?，平面，則，且，平面，所以平面，可得，對(duì)于選項(xiàng)C：顯然當(dāng)點(diǎn)即為點(diǎn)時(shí)，最小，此時(shí)，可得，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：顯然當(dāng)點(diǎn)即為點(diǎn)時(shí)，最大，則最大，此時(shí)，可得，故D錯(cuò)誤；故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：1.設(shè)，且，根據(jù)空間向量基本定理分析可得，方便建立關(guān)系；2.分析可得平面，則，將的大小轉(zhuǎn)化為的大小.（2024·廣東深圳·深圳中學(xué)?？家荒＃┮阎钦拿骟w的外接球的一條直徑，點(diǎn)在正四面體表面上運(yùn)動(dòng)，正四面體的棱長是2，則的取值范圍為．【答案】【分析】根據(jù)題意可求得外接球半徑為，利用可得，由幾何關(guān)系求出的最值即可求出的取值范圍.【詳解】如下圖所示：

設(shè)點(diǎn)在平面內(nèi)的攝影為，為的中點(diǎn)，易知在上，且平面；又正四面體的棱長是2，所以可得，在正中，由勾股定理可得；設(shè)外接球半徑為，則可知，即，解得；易知，又因?yàn)槭峭饨忧虻囊粭l直徑，所以，且；因此，易知，所以，；因此可知的取值范圍為.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題關(guān)鍵在于利用極化恒等式將化為，再利用正四面體性質(zhì)求出的最值即可求出的取值范圍.（2024上·江西吉安·高二江西省峽江中學(xué)?？计谀┱睦馀_(tái)是的中點(diǎn)，在直線上各取一個(gè)點(diǎn)P、Q，使得M、P、Q三點(diǎn)共線，則線段的長度為．【答案】【分析】根據(jù)正四棱臺(tái)的特征，建立空間直角坐標(biāo)系，利用M、P、Q三點(diǎn)共線，得到等量關(guān)系，從而確定的位置，進(jìn)而得到線段的長度.【詳解】結(jié)合題意：連接交于點(diǎn),交于點(diǎn),連接由正四棱臺(tái)的結(jié)構(gòu)特征,易知兩兩垂直，故以分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：因?yàn)樵谡睦馀_(tái)，所以易計(jì)算得到：，，所以，,因?yàn)槭堑闹悬c(diǎn),所以，所以.要使M、P、Q三點(diǎn)共線，則，共線，則，解得：，所以，,所以，所以.故答案為:

（2024·全國·高二假期作業(yè)）如圖，某正方體的頂點(diǎn)在平面內(nèi)，三條棱，，都在平面的同側(cè).若頂點(diǎn)，，到平面的距離分別為，，，則該正方體的表面積為.

【答案】【分析】取空間的一個(gè)基底，設(shè)正方體的棱長為，是平面的一個(gè)方向向上的單位法向量.由題得在方向上的投影