極限考試題及答案

一、單項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\sinx\)與\(x\)是（）A.高階無(wú)窮小B.低階無(wú)窮小C.同階無(wú)窮小D.等價(jià)無(wú)窮小答案：D2.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x-1}=(\)\)A.0B.1C.2D.不存在答案：C3.\(\lim_{x\to\infty}\frac{\sinx}{x}=(\)\)A.1B.0C.\(\infty\)D.不存在答案：B4.\(\lim_{x\to0}(1+x)^{\frac{1}{x}}=(\)\)A.\(e\)B.1C.0D.\(\infty\)答案：A5.\(\lim_{x\to0}\frac{e^{x}-1}{x}=(\)\)A.0B.1C.\(e\)D.不存在答案：B6.若\(\lim_{x\toa}f(x)=\infty\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=\infty\)，則\(\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=(\)\)A.0B.\(\infty\)C.1D.不能確定答案：B7.\(\lim_{n\to\infty}\frac{1+2+\cdots+n}{n^{2}}=(\)\)A.\(\frac{1}{2}\)B.1C.0D.\(\infty\)答案：A8.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx-\sinx}{x^{3}}=(\)\)A.\(\frac{1}{2}\)B.0C.1D.\(\infty\)答案：A9.設(shè)\(f(x)=\frac{x^{2}-1}{x-1}\)，\(x\neq1\)，則\(\lim_{x\to1}f(x)=(\)\)A.不存在B.2C.0D.1答案：B10.\(\lim_{x\to0}\frac{\ln(1+x)}{x}=(\)\)A.0B.1C.\(e\)D.不存在答案：B二、多項(xiàng)選擇題（每題2分，共10題）1.下列極限為1的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\sinx}{x}\)B.\(\lim_{x\to0}\cosx\)C.\(\lim_{x\to0}\frac{\tanx}{x}\)D.\(\lim_{x\to\infty}(1+\frac{1}{x})^{x}\)答案：AC2.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，與\(x\)等價(jià)的無(wú)窮小量有（）A.\(\sinx\)B.\(\tanx\)C.\(\ln(1+x)\)D.\(e^{x}-1\)答案：ABCD3.若\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)，\(\lim_{x\toa}g(x)=B\)，則（）A.\(\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))=A+B\)B.\(\lim_{x\toa}(f(x)-g(x))=A-B\)C.\(\lim_{x\toa}(f(x)\cdotg(x))=A\cdotB\)D.\(\lim_{x\toa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{A}{B}(B\neq0)\)答案：ABCD4.下列函數(shù)在\(x=0\)處極限存在的有（）A.\(y=\frac{1}{x}\)B.\(y=\sin\frac{1}{x}\)C.\(y=\frac{\sinx}{x}\)D.\(y=e^{\frac{1}{x}}\)答案：C5.設(shè)\(f(x)=\frac{x^{2}-9}{x-3}\)，\(x\neq3\)，則（）A.\(f(x)\)在\(x=3\)處無(wú)定義B.\(\lim_{x\to3}f(x)=6\)C.\(f(x)\)在\(x=3\)處極限存在D.\(f(x)\)在\(x=3\)處連續(xù)答案：ABC6.關(guān)于無(wú)窮小量，以下說(shuō)法正確的是（）A.無(wú)窮小量是一個(gè)很小的數(shù)B.0是無(wú)窮小量C.無(wú)窮小量是以0為極限的變量D.無(wú)窮小量與無(wú)窮大量互為倒數(shù)答案：BC7.下列極限計(jì)算正確的是（）A.\(\lim_{x\to0}\frac{\cosx-1}{x}=0\)B.\(\lim_{x\to\infty}\frac{2x^{2}+1}{x^{2}+1}=2\)C.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{3}-1}{x-1}=3\)D.\(\lim_{x\to0}\frac{\arctanx}{x}=1\)答案：ABCD8.當(dāng)\(x\to\infty\)時(shí)，下列函數(shù)是無(wú)窮大量的有（）A.\(y=x^{3}\)B.\(y=\frac{1}{x^{2}}\)C.\(y=2^{x}\)D.\(y=\lnx\)答案：AC9.設(shè)\(y=f(x)\)在\(x=a\)處的左極限\(\lim_{x\toa^{-}}f(x)=A\)，右極限\(\lim_{x\toa^{+}}f(x)=B\)，若\(A=B\)，則（）A.\(\lim_{x\toa}f(x)=A\)B.\(f(x)\)在\(x=a\)處連續(xù)C.\(f(x)\)在\(x=a\)處極限存在D.\(f(x)\)在\(x=a\)處可導(dǎo)答案：AC10.下列關(guān)于極限的性質(zhì)，正確的有（）A.唯一性B.局部有界性C.局部保號(hào)性D.可加性答案：ABCD三、判斷題（每題2分，共10題）1.\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}=\infty\)（）答案：錯(cuò)誤2.若\(\lim_{x\toa}f(x)\)存在，\(\lim_{x\toa}g(x)\)不存在，則\(\lim_{x\toa}(f(x)+g(x))\)不存在。（）答案：正確3.當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(x^{2}\)是比\(x\)高階的無(wú)窮小。（）答案：正確4.\(\lim_{x\to\infty}(1-\frac{1}{x})^{x}=e^{-1}\)（）答案：正確5.若\(f(x)\)在\(x=a\)處無(wú)定義，則\(\lim_{x\toa}f(x)\)不存在。（）答案：錯(cuò)誤6.\(\lim_{x\to0}\frac{\sqrt{1+x}-1}{x}=\frac{1}{2}\)（）答案：正確7.無(wú)窮小量的倒數(shù)是無(wú)窮大量。（）答案：錯(cuò)誤8.\(\lim_{x\to1}\frac{x^{2}-1}{x^{2}-3x+2}=-2\)（）答案：正確9.若\(\lim_{x\toa}f(x)=\lim_{x\toa}g(x)\)，則\(f(x)=g(x)\)。（）答案：錯(cuò)誤10.\(\lim_{x\to0}\frac{\sin3x}{x}=3\)（）答案：正確四、簡(jiǎn)答題（每題5分，共4題）1.簡(jiǎn)述無(wú)窮小量的定義。答案：如果函數(shù)\(f(x)\)當(dāng)\(x\tox_{0}\)（或\(x\to\infty\)）時(shí)的極限為零，那么稱函數(shù)\(f(x)\)為當(dāng)\(x\tox_{0}\)（或\(x\to\infty\)）時(shí)的無(wú)窮小量。2.求\(\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{n}-1}{x}\)（\(n\inN\)）的極限。答案：根據(jù)二項(xiàng)式定理\((1+x)^{n}=1+nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\cdots+x^{n}\)，則\(\lim_{x\to0}\frac{(1+x)^{n}-1}{x}=\lim_{x\to0}\frac{nx+\frac{n(n-1)}{2!}x^{2}+\cdots+x^{n}}{x}=n\)。3.簡(jiǎn)述函數(shù)極限的局部有界性。答案：如果\(\lim_{x\tox_{0}}f(x)=A\)，那么存在常數(shù)\(M>0\)和\(\delta>0\)，使得當(dāng)\(0<\vertx-x_{0}\vert<\delta\)時(shí)，\(\vertf(x)\vert\leqslantM\)。4.求\(\lim_{x\to\infty}\frac{3x^{2}+2x-1}{x^{2}+1}\)的極限。答案：分子分母同時(shí)除以\(x^{2}\)，得到\(\lim_{x\to\infty}\frac{3+\frac{2}{x}-\frac{1}{x^{2}}}{1+\frac{1}{x^{2}}}=3\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.討論\(y=\frac{1}{x}\)當(dāng)\(x\to0\)時(shí)極限的情況。答案：當(dāng)\(x\to0^{+}\)時(shí)，\(y=\frac{1}{x}\to+\infty\)；當(dāng)\(x\to0^{-}\)時(shí)，\(y=\frac{1}{x}\to-\infty\)，所以\(\lim_{x\to0}\frac{1}{x}\)不存在。2.討論\(f(x)=\left\{\begin{array}{ll}x+1,&x\geqslant0\\x-1,&x<0\end{array}\right.\)在\(x=0\)處的極限情況。答案：\(\lim_{x\to0^{+}}f(x)=\lim_{x\to0^{+}}(x+1)=1\)，\(\lim_{x\to0^{-}}f(x)=\lim_{x\to0^{-}}(x-1)=-1\)，左右極限不相等，所以\(\lim_{x\to0}f(x)\)不存在。3.討論\(y=\sin\frac{1}{x}\)當(dāng)\(x\to0\)時(shí)極限的情況。答案：當(dāng)\(x\to0\)時(shí)，\(\frac{1}{x}\to\inf