期中考前滿分沖刺之解答題覆蓋訓(xùn)練思維導(dǎo)圖思維導(dǎo)圖 覆蓋訓(xùn)練01:平移作圖1．如圖，由小正方形組成的網(wǎng)格中點(diǎn)，，，均在網(wǎng)格線的交點(diǎn)處．(1)將三角形向下平移2格后得到三角形，請?jiān)诰W(wǎng)格中畫出三角形．(2)將三角形平移后得到三角形，點(diǎn)移動到處，請補(bǔ)全三角形．(3)在（2）的基礎(chǔ)上，連接和，則與的位置關(guān)系為______，數(shù)量關(guān)系為______．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)平行，相等【分析】本題考查圖形的平移，熟練掌握平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)題中平移規(guī)律，平移后即可得到答案；（2）點(diǎn)移動到處，平移規(guī)律為：從右平移4個(gè)單位，再向下平多1個(gè)單位，再將點(diǎn)，點(diǎn)，都按照此平移規(guī)律平移，得到，依次連接，即可得到三角形；（3）連接和，根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案．【詳解】（1）解：將三角形向下平移2格后得到三角形，如圖所示：（2）解：∵點(diǎn)移動到，平移規(guī)律為：向右平移4個(gè)單位，再向下平多1個(gè)單位，∴將點(diǎn)，點(diǎn)，都按照此平移規(guī)律平移，得到，依次連接，得到三角形，如圖所示：（3）解：∵一個(gè)圖形和它經(jīng)過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點(diǎn)的連線平行且相等，∴，，故答案為：平行，相等．2．在正方形網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長均為1個(gè)單位長度，三角形的三個(gè)頂點(diǎn)均為格點(diǎn)，位置如圖所示，將三角形先向右平移4個(gè)單位長度得到三角形，再向上平移3個(gè)單位長度得到三角形．(1)畫出平移后的三角形及三角形；(2)平移過程中，線段掃過的面積是___________．【答案】(1)見解析(2)28【分析】本題考查作圖-平移變換，平行四邊形的面積等知識．（1）利用平移變換的性質(zhì)，先分別作出A，B，C的對應(yīng)點(diǎn)，，，順次連接，再作出對應(yīng)點(diǎn)，，并順次連接即可．（2）平移中線段掃過部分的面積是兩個(gè)平行四邊形的面積之和．【詳解】（1）解：如圖，三角形和三角形即為所求；（2）解：平移中線段掃過部分的面積是．故答案為：28．3．如圖，在的方格紙中，每個(gè)小正方形的邊長都為1，將按照某方向經(jīng)過一次平移后得到，圖中標(biāo)出了點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)C．(1)畫出平移以后的；(2)連接，，則這兩條線段的關(guān)系是；(3)求線段在平移過程中掃過區(qū)域的面積？【答案】(1)見解析(2)平行且相等(3)32【分析】本題考查作圖平移變換，平移的性質(zhì)，圖形的面積，熟練掌握平移的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)平移的性質(zhì)作圖即可；（2）根據(jù)平移的性質(zhì)可得答案；（3）利用割補(bǔ)法求解即可．【詳解】（1）解：如圖，即為所求．（2）解：由平移的性質(zhì)得，，∴這兩條線段的關(guān)系是平行且相等．故答案為：平行且相等．（3）解：如圖所示，連接∴線段在平移過程中掃過區(qū)域的面積為．覆蓋訓(xùn)練02:平行的性質(zhì)與判定4．如圖，點(diǎn)O在直線上，平分，平分，F(xiàn)是上一點(diǎn)，連結(jié)．(1)求證：；(2)若與互余，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查與角平分線有關(guān)的計(jì)算，互余，平行線的判定：（1）根據(jù)角平分線的定義和平角的定義，即可得證；（2）根據(jù)同角的余角相等，得到，即可得證．【詳解】（1）證明：∵平分，平分，∴，∵，∴，即：，∴；（2）證明：∵，∴，又∵，∴，∴．5．（1）如圖，直線與相交于點(diǎn)，平分，若，求的度數(shù)．

（2）如圖，已知，，求證：．

【答案】（1）；（2）見解析．【分析】本題主要考查了對頂角的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)及判定定理，解題的關(guān)鍵是數(shù)量掌握并運(yùn)用各個(gè)性質(zhì)進(jìn)行求解．（1）利用對頂角的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)即可求解；（2）利用平行線的性質(zhì)定理和判定定理即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴．∵平分．∴．（2）證明：∵．∴．∵，∴，∴．6．如圖，在中，過點(diǎn)作直線為上一點(diǎn)，連接交于點(diǎn)，且，．(1)求證：；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是熟練掌握平行線的判定和性質(zhì)定理．（1）根據(jù)得到，結(jié)合，得到即可．（2）先求得，結(jié)合，可得，根據(jù)即得．【詳解】（1）證明：，，，，．（2）解：，，，，，，，．覆蓋訓(xùn)練03:尺規(guī)作圖7．如圖，在一條直線上：(1)尺規(guī)作圖，以為頂點(diǎn)，以射線為一邊，作（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)若，判斷與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)見解析(2)或，理由見解析【分析】此題主要考查了基本作圖，關(guān)鍵是注意理解題意，分類討論畫出圖形．（1）根據(jù)作一個(gè)角等于已知角的方法作圖即可；（2）如圖1，根據(jù)同位角相等兩直線平行可得；如圖2，根據(jù)三角形內(nèi)角和為可推出．【詳解】（1）如1圖所示：（2）如圖1，，，；如圖2，，反向延長交于點(diǎn)，，，．8．如圖，點(diǎn)，在直線外，于點(diǎn)，于點(diǎn)，連接，平分．(1)依據(jù)題意，補(bǔ)充完整圖形．（注：畫出正確圖形即可，不需要尺規(guī)作圖）(2)若，求證：．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握平行線的性質(zhì)．（1）作到的垂線，垂足為，作到的垂線，垂足為，連接，過作射線平分；（2）因?yàn)?，，可得，因?yàn)橥唤窍嗟葍芍本€平行，所以，因?yàn)閮芍本€平行同旁內(nèi)角互補(bǔ)，所以，已知，可得，因?yàn)樯渚€平分，所以，等量代換，得，因?yàn)閮?nèi)錯(cuò)角相等兩直線平行，即證．【詳解】（1）補(bǔ)充完整圖形，如圖所示．（2）證明：∵，，∴，∴，∴，∵BP平分∠DBF，∴，∵，∴，∴，∴9．如圖，、分別平分、，，．(1)尺規(guī)作圖：在射線上作，并連接；（不寫作法，保留作圖痕跡）(2)在（1）的條件下，已知，求證：．證明：平分（已知）①（角平分線的定義）（已知）②（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又平分（已知）③（角平分線的定義）又（已知）④（等量代換）（⑤）【答案】(1)見解析(2)①；②；③；④；⑤內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行【分析】本題考查平行線的判定與性質(zhì)；（1）以為圓心，為半徑畫圓，與交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）先由角平分線得到，再由得到，繼續(xù)由角平分線得到，進(jìn)而由得到，最后得到．【詳解】（1）如圖，即為所求；（2）平分（已知）（角平分線的定義）（已知）（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）又平分（已知）（角平分線的定義）又（已知）（等量代換）（內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行）故答案為：①；②；③；④；⑤內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行．覆蓋訓(xùn)練04:折疊問題10．如圖，已知四邊形紙片的邊，是邊上任意一點(diǎn)，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置．

(1)觀察發(fā)現(xiàn)：如圖①所示：，，則______．(2)拓展探究：如圖②，點(diǎn)落在四邊形的內(nèi)部，探究，，之間的數(shù)量關(guān)系，并證明；(3)遷移應(yīng)用：如圖③，點(diǎn)落在邊的上方，則（2）中的結(jié)論是否成立？若成立，請證明：若不成立，請寫出它們的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析(3)不成立，數(shù)量關(guān)系應(yīng)為：，證明見解析【分析】（1）根據(jù)已知條件，結(jié)合平行線的性質(zhì)，算出，再結(jié)合折疊、四邊形內(nèi)角和，算出，最后根據(jù)計(jì)算即可；（2）過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系；（3）過點(diǎn)作，由平行線的性質(zhì)可得，根據(jù)平行公理的推論可得，繼而得到得，再結(jié)合折疊的性質(zhì)可得數(shù)量關(guān)系．【詳解】（1）解：，沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)的位置，，，，（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，，（四邊形內(nèi)角和為），故答案為：（2）解：如下圖，過點(diǎn)作，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)

則，，，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應(yīng)角相等）（3）解：如下圖，過點(diǎn)作，則，

，，，由折疊的性質(zhì)得，，（全等三角形對應(yīng)角相等），即【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、平行公理的推論．掌握折疊的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．如圖，延時(shí)課上，梅梅將一張長方形紙條（上、下兩邊平行）沿直線折疊，為折痕．(1)請依據(jù)所學(xué)知識判斷和的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)，理由見解析(2)【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握折疊的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．（1）先根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，由此即可得；（2）先根據(jù)（1）的結(jié)論可得，再根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，由此即可得．【詳解】（1）解：，理由如下：如圖，∵，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴，∴．（2）解：∵，，∴，由折疊的性質(zhì)得：，∴．12．【問題情境】同學(xué)們熱愛數(shù)學(xué)，對數(shù)學(xué)知識有著自己的理解與表達(dá)．學(xué)習(xí)了平行線后，張明想出了過已知直線外一點(diǎn)畫這條直線的平行線的新方法，張明是通過折一張半透明的紙得到的（如圖中的1—3，虛線部分表示折痕）．(1)張明同學(xué)在探究“過直線外一點(diǎn)作已知直線的平行線”的活動中，通過如下的折紙方式找到了符合要求的直線．①如圖1，在紙上畫出一條直線，在外取一點(diǎn)P．過點(diǎn)P折疊紙片，使得點(diǎn)C的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上（如圖2），記折痕與的交點(diǎn)為A，將紙片展開鋪平．則＝_______°；②再過點(diǎn)P將紙片進(jìn)行折疊，使得點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)落在直線上（如圖3），再將紙片展開鋪平（如圖4）．此時(shí)張明說，就是的平行線．張明的說法正確嗎？請寫出過程予以證明；(2)李強(qiáng)同學(xué)在張明同學(xué)折紙的基礎(chǔ)上，補(bǔ)充了條件：如圖4，連接交于點(diǎn)G，連，并在上找一點(diǎn)H，使得，試判斷線段與的位置關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)①②張明的說法正確，理由見解析(2)，理由見解析【分析】本題主要考查折疊的性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)，牢記折疊的性質(zhì)和平行線的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，可求得的度數(shù)，進(jìn)而求得的度數(shù)，同理可求得的度數(shù)，根據(jù)角之間的等量關(guān)系，可判斷與的位置關(guān)系．（2）根據(jù)已知條件可知，進(jìn)而可得，即可判斷與的位置關(guān)系．【詳解】（1）解：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，又，∴．∴．故答案為：．張明的說法正確．理由如下：根據(jù)折疊的性質(zhì)可知，又，∴．∴．∴．（2）．理由如下：∵，∴．又，∴．∴．覆蓋訓(xùn)練05:新定義運(yùn)算13．對于實(shí)數(shù)a、b，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算：，例如．(1)求的值；(2)若，，求的平方根．【答案】(1)(2)【分析】本題借助新定義題型考查了二元一次方程組的解法，求一個(gè)數(shù)的平方根．新定義題型就按照題目的意思來進(jìn)行計(jì)算即可，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二元一次方程的解法．（1）利用題目中的新定義進(jìn)行計(jì)算即可；（2）根據(jù)新定義，對式子進(jìn)行化簡后得到二元一次方程，求解該方程組即可得到x，y的值，進(jìn)而根據(jù)平方根的定義求解．【詳解】（1）解：根據(jù)題中的新定義得：；（2）解：根據(jù)題中的新定義得：，解得，∴，∴的平方根為．14．對有理數(shù)a、b、c、d定義新運(yùn)算“”，規(guī)定，請你根據(jù)新定義規(guī)定解答下列問題：(1)計(jì)算；(2)當(dāng)時(shí)，求上式的值．【答案】(1)(2)0【分析】本題考查新定義，整式化簡求值，理解新定義和掌握整式混合運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.（1）根據(jù)新定義，得到原式，再根據(jù)整式混合運(yùn)算法則計(jì)算即可；（2）把代入（1）所得的化簡式，計(jì)算即可.【詳解】（1）解：原式．（2）解：當(dāng)時(shí)，15．我們定義：一個(gè)整數(shù)能表示（a，b是整數(shù)）的形式，則這個(gè)數(shù)為“和諧數(shù)”，例如：8是“和諧數(shù)”，理由：因?yàn)?，所?是“和諧數(shù)”．(1)請判斷18________“和諧數(shù)”（填“是”或“不是”）；(2)當(dāng)整數(shù)m，n滿足時(shí)，求“和諧數(shù)”的值；(3)若實(shí)數(shù)x，y滿足，求的最小值．【答案】(1)是(2)12或14(3)12【分析】（1）根據(jù)“和諧數(shù)”的定義，即可求解；（2）根據(jù)，可得，從而得到，再代入，即可求解；（3）根據(jù)，可得，再代入把原式變形為，即可求解．本題主要考查了完全平方公式的應(yīng)用，熟練掌握完全平方公式，理解“和諧數(shù)”的定義是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：，是“和諧數(shù)”；故答案為：是；（2）解：，，，解得：，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，綜上所述，“和諧數(shù)”的值為12或14；（3）解：，，，，，即，的最小值為12．覆蓋訓(xùn)練06:二元一次方程組的應(yīng)用16．某中學(xué)準(zhǔn)備去采購A、B兩種實(shí)驗(yàn)器材，下面是銷售人員呈現(xiàn)的兩次銷售記錄（每次銷售這兩種實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)都不變），如表：A（件）B（件）金額（元）第一次20101100第二次25201750(1)求A型實(shí)驗(yàn)器材與B型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)分別為多少元？(2)此中學(xué)打算同時(shí)采購A、B兩種實(shí)驗(yàn)器材，預(yù)算為600元，請問共有幾種采購方案？【答案】(1)型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為30元，型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為50元(2)共有3種采購方案【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出二元一次方程．（1）設(shè)型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為元，型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為元，根據(jù)兩次采購A、B兩種實(shí)驗(yàn)器材的金額列出方程組求解即可；（2）設(shè)購買種器材臺，種器材臺，根據(jù)預(yù)算為600元，列出方程，再結(jié)合為正整數(shù)求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為元，型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為元，依題意，得，解得，答：型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為30元，型實(shí)驗(yàn)器材的單價(jià)為50元；（2）解：設(shè)購買種器材臺，種器材臺．由題意，得，為正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，答：共有3種采購方案．17．某商場用6600元購進(jìn)A品牌取暖器和B品牌取暖器共100臺，已知A品牌取暖器每臺進(jìn)價(jià)為60元，售價(jià)為80元；B品牌取暖器每臺進(jìn)價(jià)為70元，售價(jià)為100元．(1)兩種取暖器各購進(jìn)多少臺？(2)在將兩種取暖器從廠家運(yùn)往商場的過程中，A品牌取暖器損壞了5臺（損壞后的產(chǎn)品只能為廢品，不能再進(jìn)行銷售），而B品牌取暖器完好無損，商場決定對這兩種取暖器的售價(jià)進(jìn)行調(diào)整，使這次購進(jìn)的取暖器全部售完后，商場可獲利，已知B品牌取暖器在原售價(jià)基礎(chǔ)上提高，問A品牌取暖器調(diào)整后的每臺售價(jià)比原售價(jià)多多少元？【答案】(1)A品牌取暖器購進(jìn)40臺，B品牌取暖器購進(jìn)60臺(2)A品牌取暖器調(diào)整后的每臺售價(jià)比原售價(jià)多4元【分析】本題考查了一元一次方程和二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)A品牌取暖器購進(jìn)x臺，則B品牌取暖器購進(jìn)y臺，根據(jù)“用6600元購進(jìn)A品牌取暖器和B品牌取暖器共100臺”，列出方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）設(shè)A品牌取暖器調(diào)整后的每臺售價(jià)比原售價(jià)多m元，根據(jù)＂這次購進(jìn)的取暖器全部售完后，商場可獲利＂，即可得出關(guān)于m的一元一次方程，解之即可得出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)A品牌取暖器購進(jìn)x臺，則B品牌取暖器購進(jìn)y臺．由題意得：，解得：答：A品牌取暖器購進(jìn)40臺，B品牌取暖器購進(jìn)60臺．（2）解：設(shè)A品牌取暖器調(diào)整后的每臺售價(jià)比原售價(jià)多m元，由題意得：解得：答：A品牌取暖器調(diào)整后的每臺售價(jià)比原售價(jià)多4元．18．聞喜花饃是山西省運(yùn)城市聞喜縣的傳統(tǒng)名點(diǎn)，是第二批國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)．春節(jié)到來之際，某電商平臺推出，兩種型號的聞喜花饃禮盒，第一天售出禮盒10個(gè)、禮盒5個(gè)，總計(jì)收入1600元，第二天售出禮盒5個(gè)、禮盒10個(gè)，總計(jì)收入2700元；(1)，兩種型號的聞喜花饃禮盒每盒的售價(jià)分別是多少元？(2)李叔叔計(jì)劃同時(shí)購買這兩種禮盒，預(yù)算為1300元．請你幫助他設(shè)計(jì)預(yù)算資金恰好用完時(shí)的購買方案．（直接回答即可）【答案】(1)型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元(2)型號禮盒購買7個(gè)，型號禮盒購買5個(gè)或型號禮盒購買1個(gè)，型號禮盒購買10個(gè)【分析】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，理解題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解此題的關(guān)鍵．（1）設(shè)型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，根據(jù)題意列出二元一次方程組，解方程組即可得解；（2）設(shè)購買型號禮盒購買個(gè)，型號禮盒購買個(gè)，根據(jù)題意列出二元一次方程，解方程即可得解．【詳解】（1）解：設(shè)型號禮盒每盒元，型號禮盒每盒元，根據(jù)題意，得，解得，答：型號禮盒每盒100元，型號禮盒每盒120元；（2）解：設(shè)購買型號禮盒購買個(gè)，型號禮盒購買個(gè)，由題意可得：，∵、為非負(fù)整數(shù)，∴，或，，∴有兩種方案：型號禮盒購買7個(gè)，型號禮盒購買5個(gè)或型號禮盒購買1個(gè)，型號禮盒購買10個(gè)．覆蓋訓(xùn)練07:陰影面積問題19．兩個(gè)邊長分別為a和b的正方形如圖放置（圖1），其未疊合部分（陰影）面積為；若再在圖1中大正方形的右下角擺放一個(gè)邊長為b的小正方形（如圖2），兩個(gè)邊長為b的小正方形疊合部分（陰影）面積為．(1)用含a，b的代數(shù)式分別表示、．(2)若，，求的值．(3)當(dāng)時(shí)，求出圖3中陰影部分的面積S3．【答案】(1)，(2)34(3)20【分析】本題主要考查了完全平方公式的幾何背景的應(yīng)用，解決問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖形之間的面積關(guān)系進(jìn)行推導(dǎo)計(jì)算．（1）根據(jù)正方形的面積之間的關(guān)系，即可用含、的代數(shù)式分別表示、；（2）根據(jù)，將，代入進(jìn)行計(jì)算即可；（3）根據(jù)，，即可得到陰影部分的面積．【詳解】（1）解：由圖可得，，；（2）解：，，，；（3）解：由圖可得，，，．20．請認(rèn)真觀察圖形，解答下列問題：

(1)根據(jù)圖中條件，用兩種方法表示兩個(gè)陰影圖形的面積和：(只需表示，不必化簡)(2)由（1）你能得到怎樣的等量關(guān)系？請用等式表示；(3)如果圖中的滿足求的值．【答案】(1)方法一：；方法二：(2)(3)9【分析】（1）根據(jù)陰影部分的面積與空白部分的面積關(guān)系即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)陰影部分的面積相等即可求出結(jié)果；（3）根據(jù)與已知條件即可求出對應(yīng)值．【詳解】（1）解：方法一：∵圖中陰影部分的面積由兩部分組成，第一部分的面積為，第二部分的面積為：；∴陰影部分的面積的第一種表示方法為．方法二：∵大正方形的面積為；空白部分的面積為，∴陰影部分的面積為：；（2）解：由（1）可知陰影部分的面積相等，∴；（3）解：∵，∴，∵，∴，∴，∵，，∴21．如圖，分別以a，b，m，n為邊長作正方形，且．若圖①中陰影部分的面積為3，圖②中四邊形的面積為5，求圖②中陰影部分的面積．【答案】【分析】本題考查了整式的混合運(yùn)算與圖形的面積、正方形的性質(zhì)等知識點(diǎn)，掌握數(shù)形結(jié)合思想是解題的關(guān)鍵．由題意可得、兩式相加得．再根據(jù)圖①可得，進(jìn)而得到，最后根據(jù)圖②中四邊形的面積為5列式計(jì)算即可．【詳解】解：∵，∴，∴，，兩式相加得．∵圖①中陰影部分的面積為3，∴．∵，∴．∵圖②中四邊形的面積為5，∴圖②中陰影部分的面積為．覆蓋訓(xùn)練08:規(guī)律問題22．我國南宋杰出的數(shù)學(xué)家楊輝在《詳解九章算術(shù)》中記載的“楊輝三角”揭示（n為非負(fù)整數(shù)）的展開式的項(xiàng)數(shù)及各項(xiàng)系數(shù)的有關(guān)規(guī)律．如；．…………(1)請你寫出和的展開式；(2)此規(guī)律還可以解決實(shí)際問題：若今天是星期二，再過7天還是星期二，則再過天是星期________．(3)設(shè)．小明發(fā)現(xiàn)通過賦值法可求解系數(shù)間的關(guān)系，例如令則，聰明的你能不能求出的值，若能，請寫出過程；(4)你能在（3）的基礎(chǔ)上求出的值嗎？若能，請寫出過程．【答案】(1)；(2)三(3)(4)【分析】本題考查了數(shù)字類變化規(guī)律，讀懂題意并根據(jù)所給的式子找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)規(guī)律即可求解；（2）通過變形得到，根據(jù)規(guī)律即可得解；（3）由題意可得，即可解答；（4）令則，與（3）中所給的式子相加可得，即可解答．【詳解】（1）解：；；（2）解：，故除以余1，則今天是星期二，再過7天還是星期二，則再過天是星期三，故答案為：三；（3）解：令則，令則，；（4）解：令則，，23．“字母表示數(shù)”被后人稱為從“算術(shù)”到“代數(shù)”的一次飛躍，用字母表示數(shù)可以從特殊到一般的表達(dá)數(shù)學(xué)規(guī)律．請觀察下列關(guān)于正整數(shù)的平方拆分的等式：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；(1)請用此方法拆分．(2)請你用上面的方法歸納一般結(jié)論，列出第n個(gè)等式（n為正整數(shù)），并借助運(yùn)算證明這個(gè)結(jié)論是正確的．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】本題主要考查了數(shù)字規(guī)律型問題，還考查了整式的混合運(yùn)算和乘法公式．熟練掌握等式所反映的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．（1）依據(jù)材料中等式的規(guī)律解答即可；（2）根據(jù)依據(jù)材料中發(fā)現(xiàn)等式的規(guī)律寫出含n的等式證明成立即可．【詳解】（1）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；∴第2024個(gè)等式：（2）解：第1個(gè)等式：；第2個(gè)等式：；第3個(gè)等式：；第4個(gè)等式：；則含n的等式是．理由：∵右邊，左邊，∴左邊右邊，∴成立．24．觀察下列各式：；；……根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解答下列問題：(1)直接寫出結(jié)果：(2)若n是正整數(shù)，且，則(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算的值．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查整式乘除綜合，熟練掌握整式乘除相關(guān)規(guī)律是解題的關(guān)鍵，（1）根據(jù)題意找整式運(yùn)算的規(guī)律，即可得到答案；（2）根據(jù)題意找整式運(yùn)算的規(guī)律，即可得到答案；（3）根據(jù)（2）中整式運(yùn)算規(guī)律的逆運(yùn)算計(jì)算，即可得到答案；【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：故答案為：；（3）解：．覆蓋訓(xùn)練09:配方法求最值25．請閱讀下列材料：我們可以通過以下方法，求代數(shù)式的最小值．，∵，∴當(dāng)時(shí)，有最小值．請根據(jù)上述方法，解答下列問題：(1)，則________，________；(2)求證：無論x取何值，代數(shù)式的值都是負(fù)數(shù)；(3)若代數(shù)式的最小值為3，求k的值．【答案】(1)3，1(2)見解析(3)2或【分析】本題考查了完全平方公式、利用平方根解方程等知識，熟練掌握完全平方公式是解題關(guān)鍵．（1）利用完全平方公式進(jìn)行配方即可得；（2）先利用完全平方公式進(jìn)行配方可得，再根據(jù)偶次方的非負(fù)性即可得證；（3）先利用完全平方公式進(jìn)行配方可得，再根據(jù)最小值可得，利用平方根解方程即可得．【詳解】（1）解：，所以，故答案為：3，1．（2）證明：，∵，∴，∴，即無論取何值，代數(shù)式的值都是負(fù)數(shù)．（3）解：，∵，∴，∴代數(shù)式的最小值為，又∵代數(shù)式的最小值為3，∴，解得或．26．閱讀理解：我們一起來探究代數(shù)式的值，探究一：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為______，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的值為______，可見，代數(shù)式的值隨x的改變而改變．探究二：把代數(shù)式進(jìn)行變形，如：，可得：當(dāng)______時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為______．請回答下列問題：(1)請補(bǔ)充完成探究一、探究二，直接在橫線處填空；(2)當(dāng)x取何值時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為多少？(3)如圖，某中學(xué)準(zhǔn)備在校園里利用圍墻的一段，再砌三面墻，圍成一個(gè)長方形花園（圍墻最長可利用），現(xiàn)在已備足可以砌長的墻的材料，問：當(dāng)為多少米，長方形花園的面積取得最大值，最大值是多少？【答案】(1)探究一：6，11；探究二：，2；(2)當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；(3)當(dāng)米時(shí)，長方形花園的面積取得最大值，最大值是200平方米．【分析】本題考查完全平方公式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確題意，列出關(guān)系式．（1）將、的值分別代入計(jì)算即可，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得探究二中代數(shù)式的最值情況；（2）將代數(shù)式配方成，再根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)可得答案；（3）設(shè)米，根據(jù)題意可以得到面積與矩形一邊長的關(guān)系式，然后配方即可求得結(jié)果，注意求出的邊長要符合題意．【詳解】（1）探究一：當(dāng)時(shí)，代數(shù)式，當(dāng)時(shí)，代數(shù)式，探究二：∵，∴當(dāng)時(shí)，代數(shù)式取得最小值，最小值為2，故答案為：6、11、、2；（2）當(dāng)時(shí)，取得最小值，最小值為；（3）設(shè)米，則米長方形花園的面積為∴當(dāng)米時(shí)，長方形花園的面積取得最大值，最大值是200平方米．覆蓋訓(xùn)練10:探索完成任務(wù)27．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù)．探究平行線在一副三角尺中的運(yùn)用素材背景親愛的同學(xué)們，學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)要求我們“用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界”．一副三角尺為我們觀察世界提供一個(gè)小小的窗口，學(xué)完平行線性質(zhì)，可探究三角尺擺放位置不同涉及的數(shù)學(xué)問題．素材如圖1是一副三角尺，．問題解決任務(wù)圖任務(wù)1如圖2，將兩個(gè)三角尺如圖擺放，使點(diǎn)A與點(diǎn)重合，點(diǎn)在上，與相交于點(diǎn)，則______度．（提示：過點(diǎn)作）任務(wù)2如圖3，將三角尺的直角頂點(diǎn)放在直線上，使，三角尺的頂點(diǎn)在直線上，與相交于，則與有怎樣的數(shù)量關(guān)系？說明理由．任務(wù)3將三角尺固定不動，改變?nèi)浅叩臄[放位置，但始終保持兩個(gè)三角尺的頂點(diǎn)重合，當(dāng)點(diǎn)A在直線的下方時(shí)，探究這兩塊三角尺一組邊互相平行的情況，請直接寫出角度所有可能的值（如圖4提供了其中一種情況）．【答案】任務(wù)一：；任務(wù)二：，理由見解析；任務(wù)三：的度數(shù)分別為，，，或【分析】任務(wù)1：過點(diǎn)G作，根據(jù)平行線的性的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；任務(wù)2：過點(diǎn)D作，根據(jù)，得出，根據(jù)平行線的性質(zhì)進(jìn)行求解即可；任務(wù)3：分五種情況進(jìn)行討論：當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)，當(dāng)當(dāng)，分別畫出圖形求出結(jié)果即可．【詳解】任務(wù)1：解：過點(diǎn)G作，∵，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，∴；任務(wù)2：，理由如下：過點(diǎn)D作，如圖3所示，則，∵，∴，∴，∵，且，∴．任務(wù)3：的度數(shù)分別為，，，或．詳解：如圖4，∵，，∴，∴；如圖5，∵，，∴，∴；如圖6，∵，，∴如圖7，∵，，∴，∴，∴如圖8，設(shè)與交于點(diǎn)T，∵，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，平行公理的應(yīng)用，三角板中角度的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是數(shù)形結(jié)合，注意分類討論．28．根據(jù)以下素材，探索完成任務(wù).校園實(shí)踐基地土地分割方案素材1學(xué)校有一塊總面積為的長方形空地，現(xiàn)將這塊空地用于建造實(shí)踐基地．

素材2將長方形空地分割為以下三種類型土地：型土地是的正方形，型土地是的正方形，型土地是的長方形．（，都是正整數(shù)）

問題解決任務(wù)一學(xué)校原計(jì)劃將長方形空地分割成1塊型土地、2塊型土地、3塊型土地（如圖），請你用兩種不同的方式表示出長方形空地的面積（用含，的式子表示）．①______；②______．

任務(wù)二學(xué)?，F(xiàn)決定將長方形空地分割成1塊型土地、6塊型土地、5塊型土地，請你在虛線框中畫出長方形空地的分割示意圖，并寫出一個(gè)關(guān)于，的等式．等式：______．

任務(wù)三根據(jù)任務(wù)二的分割方案，求出，的值．【答案】任務(wù)一：①；②任務(wù)二：見詳解，任務(wù)三：【分析】本題主要考查了列代數(shù)式、整式運(yùn)算的應(yīng)用、解二元一次方程組等知識，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)長方形的面積公式以及分割后各塊土地面積和，分別列式即可；（2）根據(jù)題意對長方形空地進(jìn)行分割，然后列出等式即可；（3）根據(jù)，都是正整數(shù)，易知該長方形的長和寬也為正整數(shù)，可設(shè)長方形的長和寬分別為和，然后列出二元一次方程組并求解即可．【詳解】解：任務(wù)一：根據(jù)題意，可得列代數(shù)式，．故答案為：①；②；任務(wù)二：長方形空地的分割示意圖如下圖所示，

根據(jù)示意圖，可得等式：．故答案為：；任務(wù)三：根據(jù)題意，長方形空地的面積為，且，都是正整數(shù)，∴該長方形的長和寬也為正整數(shù)，則長方形的寬和長只能分別為和，根據(jù)任務(wù)二中的分割方案，可得，解得．覆蓋訓(xùn)練11:二元一次方程的新定義應(yīng)用29．規(guī)定；形如與的兩個(gè)關(guān)于x，y的方程互為“共軛二元一次方程”，其中．由這兩個(gè)方程組成的方程組叫作“共軛方程組”，k，b稱為“共軛系數(shù)”.(1)方程的“共軛二元一次方程”為________，它們組成的“共軛一方程組”的解為_____．(2)若關(guān)于x，y的二元一次方程組為“共軛方程組”，求此“共軛方程組”的共軛系數(shù)．【答案】(1)，(2)【分析】（1）根據(jù)題中共軛二元一次方程的定義判斷即可，解方程組即可；（2）根據(jù)題中共軛二元一次方程的定義判斷即可求出“共軛系數(shù)”．本題主要考查了解二元一次方程組，以及二元一次方程的定義，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．【詳解】（1）解：根據(jù)定義，得方程的“共軛二元一次方程”為，由題意，得，解得，故答案為：，．（2）解：由二元一次方程組為“共軛方程組”，得，解得，故，故此“共軛方程組”的共軛系數(shù)為．30．我們把關(guān)于x，y的二元一次方程，叫作數(shù)對的“伴隨方程”；若是關(guān)于x，y的二元一次方程的一個(gè)解，則稱數(shù)對是數(shù)對的“伴隨數(shù)對”．(1)已知數(shù)對，在數(shù)對中，是數(shù)對的“伴隨數(shù)對”的是；(2)若數(shù)對是數(shù)對和數(shù)對的“伴隨數(shù)對”，求數(shù)對的“伴隨方程”；(3)若是n個(gè)不同的數(shù)對，滿足前一個(gè)數(shù)對是后面所有數(shù)對的“伴隨數(shù)對”，且n的最大值是t，如果關(guān)于x的不等式組恰好有2024個(gè)整數(shù)解，直接寫出m的取值范圍．【答案】(1)(2)(3)【分析】本題考查了新定義，方程的解，解二元一次方程組，解一元一次不等式組，正確理解新定義是解題的關(guān)鍵．（1）由題意得“伴隨方程”為：，將分別代入驗(yàn)證即可；（2）由題意得，，解得：，故數(shù)對的“伴隨方程”為：；（3）解不等式組得：，由n的最大值是t，得到，則，則，確定這2024個(gè)整數(shù)解為，故，解得：．【詳解】（1）解：由題意得：“伴隨方程”為：將點(diǎn)代入得，將點(diǎn)代入得，將點(diǎn)代入得，將點(diǎn)代入得，∴點(diǎn)，是數(shù)對的“伴隨數(shù)對”，故答案為：；（2）解：由題意得，，解得：，∴數(shù)對的“伴隨方程”為：；（3）解：解不等式組，由①得，，由②得，，∴不等式組的解集為：∵n的最大值是t，∴，則，∴，∵關(guān)于x的不等式組恰好有2024個(gè)整數(shù)解，∴這2024個(gè)整數(shù)解為，∴，解得：．覆蓋訓(xùn)練12:光線問題31．【習(xí)題再現(xiàn)】（1）蘇科版初中數(shù)學(xué)教材七上第194第10題：如圖1，，點(diǎn)在，之間．寫出，，之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；【遷移思考】（2）小明在完成第10題的探究后，對該頁的第5題又作了探究與變式思考：①如圖2，在長方體盒底部有一面平面鏡，點(diǎn)處有一個(gè)光源，光線的入射角等于反射角，法線與平面鏡垂直，即，垂足為，入射光線經(jīng)過鏡面發(fā)射后，恰好經(jīng)過點(diǎn)．小明認(rèn)為，圖中，請幫小明說明理由；②如圖3，在長方體盒子里放置4塊平面鏡，其中，若光線從上的處射出，在平面鏡上經(jīng)點(diǎn)反射后，到達(dá)上的點(diǎn)，其傳播路徑為請判斷與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1），理由見解析（2）①理由見解析；②，理由見解析【分析】此題主要考查了平行的性質(zhì)，垂線的概念．（1）過點(diǎn)E作，則，由平分線的性質(zhì)得，，則，據(jù)此即可得出，，之間的數(shù)量關(guān)系；（2）①根據(jù)得，則，再根據(jù)光線的入射角等于反射角得，據(jù)此即可得出結(jié)論；②由①的結(jié)論得，，則，再由（1）的結(jié)論得，，由此即可得出與的數(shù)量關(guān)系．【詳解】解：（1），，之間的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：過點(diǎn)E作，如圖所示：∵，∴，∴，，∴，∵，∴；（2）①理由如下：∵，∴，∴，∵光線的入射角等于反射角，∴，∴；②與的數(shù)量關(guān)系是：，理由如下：由①的結(jié)論得：，，∴，∵，由（1）的結(jié)論得：，，∴．32．【原理探究】如圖①，根據(jù)光的反射原理，反射角等于入射角，即反射光線與法線的夾角等于入射光線與法線的夾角（法線為經(jīng)過入射點(diǎn)A且與平面鏡l垂直的直線），由此可得，理由為__________．【實(shí)際應(yīng)用】請用【原理探究】獲得的結(jié)論解決以下問題：如圖②，平面鏡相對放置，光線經(jīng)過兩次反射，為反射光線．（1）若平面鏡互相平行，那么入射光線與反射光線平行嗎？為什么？（2）若，調(diào)整平面鏡的位置，使得，請?jiān)趥溆脠D中畫出相應(yīng)的平面鏡和反射光線，并求此時(shí)的度數(shù)．【答案】原理探究：等角的余角相等；實(shí)際應(yīng)用：（1）入射光線與反射光線平行，理由見解答；（2）平面鏡和反射光線見解答；或或或【分析】本題考查了作圖的應(yīng)用和設(shè)計(jì)，平行線的性質(zhì)，掌握平面鏡原理和平行線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．原理探究：根據(jù)互余的性質(zhì)求解；實(shí)際應(yīng)用：（1）根據(jù)平面鏡原理和平行線的判定定理求解；（2）根據(jù)平面鏡原理和平行線的性質(zhì)定理求解．【詳解】解：原理探究：∵反射角等于入射角，，（等角的余角相等），故答案為：等角的余角相等；實(shí)際應(yīng)用：（1）入射光線與反射光線平行，理由：由平面鏡原理得：，，，，，；（2）平面鏡和反射光線如下圖③和圖④所示：當(dāng)反射光線向右時(shí)：延長到F，，由平面鏡原理得：，，，，當(dāng)M和N互換位置時(shí)，；當(dāng)反射光線向左時(shí)：如下圖④所示：，，由平面鏡原理得：，平分，，，，當(dāng)M和N互換位置時(shí)，．覆蓋訓(xùn)練13:拼圖問題33．有足夠多的如圖所示的正方形和長方形的卡片．(1)選取1號、2號、3號卡片若干張，拼成一個(gè)正方形（不重疊無縫隙），并能運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系，說明，，之間的數(shù)量關(guān)系成立，請畫出這個(gè)正方形．小涵說簡單，他很快的畫出這個(gè)正方形．解：如圖1所示，正方形即為所求．設(shè)大正方形的面積為S，則面積S有兩種不同的表示法：______，______．利用這一圖形，我們可以發(fā)現(xiàn)，，之間的數(shù)量關(guān)系式是______．(2)小明想用類似（1）的方法解釋多項(xiàng)式乘法，那么用2號卡片______張，3號卡片______張．(3)如果選取1號、2號、3號卡片分別為1張、2張、3張，可拼成一個(gè)長方形（不重疊無縫隙）．①請畫出這個(gè)長方形的草圖．②并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系說明這個(gè)長方形的代數(shù)意義，這個(gè)長方形的代數(shù)意義是______（寫出一個(gè)你認(rèn)為正確的等式）．(4)根據(jù)（1）中的數(shù)量關(guān)系，解決如下問題：已知，，求的值．【答案】(1)，，(2)3，5(3)①見解析，②(4)【分析】本題考查了代數(shù)式，完全平方公式的應(yīng)用，掌握矩形的面積公式和整式乘法法則是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)矩形的面積公式求解；（2）根據(jù)矩形的面積公式求解；（3）①根據(jù)整式的乘法法則求解；②由①中圖形即可解答；（4）根據(jù)完全平方公式變形求解即可．【詳解】（1）解：∵，．∴；（2）解∵，∴用2號卡片3張，3號卡片5張；（3）解：①這個(gè)長方形為：②該大長方形的長為，寬為，面積為：，這個(gè)長方形的代數(shù)意義是：；（4）解：∵，∴，∴，∴．34．?dāng)?shù)學(xué)課上，張老師準(zhǔn)備了圖①中、、三種型號的卡片做拼圖游戲，其中型卡片是邊長為的正方形，型卡片是長為、寬為的長方形，型卡片是邊長為的正方形．(1)選取1張A型卡片，4張C型卡片，則應(yīng)選取_____張B型卡片，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，新的正方形邊長為_____（用含a，b的代數(shù)式表示）；(2)選取4張B型卡片，按圖②的方式拼圖，則中間正方形作為第四種D型卡片，由此可驗(yàn)證的等量關(guān)系為_____．(3)現(xiàn)有A，B，C型號卡片各8張，且，從中選取張拼正方形，每種卡片至少選一張，當(dāng)所拼正方形邊長最大時(shí)，的最大值為_____；(4)選取1張圖②中的D型卡片，3張B型卡片，不重疊的放在長方形內(nèi)（如圖③），當(dāng)?shù)拈L度不變，的長度變化時(shí)，兩塊陰影部分（均為長方形）的面積差S始終為定值，探索a與b的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)21(4)，見解析【分析】本題考查了完全平方公式的幾何背景，多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式，解決本題的關(guān)鍵是掌握完全平方公式．（1）根據(jù)多項(xiàng)式與多項(xiàng)式相乘的法則即可進(jìn)行計(jì)算；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)即可解決問題；（3）利用正方形的面積即可解決問題；（4）設(shè)，根據(jù)題意可得，根據(jù)，列出等式，整理后得，進(jìn)而可以解決問題．．【詳解】（1）解：；1張型卡片，4張型卡片，則應(yīng)選取4張型卡片，才能用它們拼成一個(gè)新的正方形，新的正方形邊長為，故答案為：；（2）根據(jù)題意可知：，故答案為：；（3）1張型卡片的面積為張型卡片的面積為張型卡片的面積為，因此這張卡片的面積為，而，因此可以拼成一個(gè)邊長為的正方形，而卡片一共只有，，至少選7張型卡片，要使最大，則8張型卡全用上，，因此的值為，故答案為：21；（4）設(shè)，根據(jù)題意，得，，∵根據(jù)，，，，，，，或，∴與的關(guān)系為．覆蓋訓(xùn)練14:平行線的折線模型35．如圖1，，過點(diǎn)作，可得．利用平行線的性質(zhì)，可得：與，之間的數(shù)量關(guān)系是，．利用上面的發(fā)現(xiàn)，解決下列問題：（1）如圖2，，點(diǎn)是和平分線的交點(diǎn)，，求的度數(shù)；（2）如圖3，，平分，，平分，若比大，則的度數(shù)是．【答案】，；（1）；（2）．【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，解答此題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確識圖，熟練掌握平行線的性質(zhì)，難點(diǎn)是類比思想、方程思想在解題中的應(yīng)用．（1）由已知得，根據(jù)平行線的性質(zhì)得，，據(jù)此可得出與，之間的數(shù)量關(guān)系；先由得，，據(jù)此可得出的度數(shù)；（2）設(shè)，，則，，由（1）的結(jié)論得，，進(jìn)而得，據(jù)此可得的度數(shù)；（3）設(shè)，則，，，由（1）的結(jié)論及得，進(jìn)而得，再由（1）的結(jié)論得，然后根據(jù)比大得，據(jù)此可求出的度數(shù)．【詳解】解：與，之間的數(shù)量關(guān)系是：．理由如下：，，，，，，即：；，理由如下：，，，，即：，故答案為：，；（2）平分，平分，設(shè)，，，，由（1）的結(jié)論得：，，又，，，；（3）設(shè)，平分，，，，由（1）的結(jié)論得：，，，，，，平分，，，比大，，即：，解得：，．故答案為：．36．【感知】（1）如圖①，，求的度數(shù)．小樂想到了以下方法，請幫忙完成推理過程．解：如圖①，過點(diǎn)P作，【探究】（2）如圖②，，求的度數(shù)；【應(yīng)用】（3）如圖③，在以上【探究】條件下，的平分線和的平分線交于點(diǎn)G，求的度數(shù)．（4）已知直線，點(diǎn)A，B在直線a上，點(diǎn)C，D在直線b上（點(diǎn)C在點(diǎn)D的左側(cè)），連接，的平分線與的平分線所在的直線交于點(diǎn)E，設(shè)，請畫出圖形并求出的度數(shù)（用含的式子表示）．【答案】（1）；推理過程見解析；（2）；（3）；（4）的度數(shù)為或或或或．【詳解】本題主要考查了平行線的判定與性質(zhì)、平行公理及推論，角平分線的性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是掌握平行線的判定與性質(zhì)．（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)與判定可求解；（2）過點(diǎn)P作，根據(jù)平行的性質(zhì)求出，，由即可求解；（3）依據(jù)題意，根據(jù)的平分線和的平分線交于點(diǎn)G，可得的度數(shù)；（4）畫出圖形，分點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)和點(diǎn)A在點(diǎn)B右側(cè)，兩種情況，分別求解．解：（1）如圖①所示，過點(diǎn)P作，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），，（平行于同一直線的兩條直線平行），（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)），，，，即；（2）如圖②，過點(diǎn)P作，∴，∵，∴，∴．∴；（3）如圖③所示，是的平分線，是的平分線，，，過點(diǎn)G作，（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）．（已知），（平行于同一條直線的兩直線平行），（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等），；（4）當(dāng)點(diǎn)A在B左側(cè)時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作，則，，平分平分，，，．當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在上方時(shí)，如圖，過點(diǎn)E作，則，，平分平分，，，．當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在和外時(shí)，點(diǎn)E在下方時(shí)，同理可求．當(dāng)點(diǎn)A在B右側(cè)時(shí)，點(diǎn)E在和內(nèi)時(shí)，過點(diǎn)E作，則，，平分平分，，，，，或，綜上，的度數(shù)為或或或或．覆蓋訓(xùn)練15:三角板旋轉(zhuǎn)平行求t或角度37．如圖1，將一副三角板按圖中所示位置擺放，點(diǎn)在直線上，且，與相交于點(diǎn)，其中，，，，．(1)求此時(shí)的度數(shù)；(2)如圖2，若三角板繞點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，當(dāng)時(shí)，求此時(shí)的度數(shù)；(3)在（2）的條件下，三角板繞點(diǎn)按逆時(shí)針方向以每秒的速度旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為秒，當(dāng)時(shí)，在這個(gè)旋轉(zhuǎn)過程中，是否還存在三角板的某一條邊與平行的情況？若存在，請求出所有滿足題意的值；若不存在，請說明理由．【答案】(1)(2)(3)存在，的值為15秒或45秒或60秒【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)、一元一次方程的應(yīng)用，熟練掌握平行線的性質(zhì)，注意分情況討論是解題的關(guān)鍵．（1）過G作，由平行線的性質(zhì)得出，再由計(jì)算即可得出答案；（2）過F作．由平行線的性質(zhì)得出，再由計(jì)算即可得出答案；（3）分三種情況：當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，分別利用平行線的性質(zhì)建立方程，解方程即可得出答案．【詳解】（1）解：如圖，過G作，，，，，；（2）解：如圖，F(xiàn)作，，，，，；（3）解：分三種情況：當(dāng)時(shí)，如圖：，，，，，解得；當(dāng)時(shí)，如圖：，，，，解得；當(dāng)時(shí)，過F作，，，，，，；，解得；綜上，三角板旋轉(zhuǎn)的時(shí)間為15秒或45秒或60秒時(shí)，存在三角板的某一條邊與平行的情況．38．綜合與探究在綜合與實(shí)踐課上，老師讓同學(xué)們以“兩條平行線和一副三角板的擺放”為主題展開活動．

(1)如圖1，將兩塊三角板的一直角邊重合，含有角的直角三角板的斜邊與重合，含角的直角三角板的一個(gè)頂點(diǎn)在直線上，已知，求的度數(shù)．(2)如圖2，在圖1的基礎(chǔ)上，直角三角板固定不動，讓直角三角板繞著點(diǎn)逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn)恰好在上，邊與交于點(diǎn)，猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(3)在圖1的基礎(chǔ)上，如圖3，仍然讓直角三角板固定不動，直角三角板繞著點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)度數(shù)小于），設(shè)邊（或的延長線）與相交于點(diǎn)，當(dāng)斜邊與另一直角三角板的某一邊平行時(shí)，直接寫出（即）的度數(shù)．【答案】(1)(2)(3)或【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)與判定，三角板中角度的計(jì)算；（1）過點(diǎn)作，則，，根據(jù)，進(jìn)而根據(jù)平行線的性質(zhì)，即可求解；（2）過點(diǎn)作，得出，根據(jù)，即可求解；（3）分三種情況討論，分別畫出圖形，，，，根據(jù)平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】（1）解：如圖，過點(diǎn)作，

∵，∴，，∴，∵，∴∴（2），理由如下，過點(diǎn)作，

∵，∴∴，，∴即，∵，∴，即，∴，∴，（3）解：如圖所示，當(dāng)時(shí)，則

∵∴∴∴；當(dāng)時(shí)，如圖所示，延長交于點(diǎn)，過點(diǎn)作

∵∴∴∵∴∴∵∴∵∴，當(dāng)時(shí)如圖所示，

此時(shí)旋轉(zhuǎn)度數(shù)大于，不合題意綜上所述，或覆蓋訓(xùn)練16:平方差公式與幾何圖形39．某數(shù)學(xué)興趣小組在學(xué)習(xí)了“平方差公式”后，分別構(gòu)造了以下四種圖形，想用“等面積法”來驗(yàn)證“平方差公式”：(1)【探究】以上四種方法中能夠驗(yàn)證“平方差公式”的有___________；（填序號）(2)【應(yīng)用】利用“平方差公式”計(jì)算；(3)【拓展】計(jì)算：．【答案】(1)①③(2)1(3)【分析】本題考查平方差公式的幾何背景，平方差公式的運(yùn)用，有理數(shù)的混合運(yùn)算，掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征是正確解答的關(guān)鍵．（1）用不同的方法分別用代數(shù)式表示各個(gè)圖形中左圖、右圖陰影部分面積即可得出等式，再進(jìn)行判斷即可；（2）利用平方差公式進(jìn)行計(jì)算即可；（3）利用平方差公式將原式化為計(jì)算即可．【詳解】（1）解：圖①中，左圖陰影部分可以看作兩個(gè)正方形的面積差，即，拼成的右圖是底為，高為的平行四邊形，因此面積為，所以有，因此圖①可以驗(yàn)證平方差公式；圖②中，左側(cè)圖形陰影部分的面積為，右側(cè)圖形陰影部分的面積為，不可驗(yàn)證平方差公式；圖③中，左側(cè)陰影部分的面積為，右側(cè)陰影部分是2個(gè)梯形面積，即，∴，可驗(yàn)證平方差公式；圖④中，左側(cè)陰影部分的面積，右側(cè)陰影部分的面積為，無法驗(yàn)證平方差公式；故答案為：①③（2）；（3）．40．【知識生成】（1）用兩種不同方法計(jì)算同一圖形的面積，可以得到一個(gè)等式，圖1是用長為x，寬為y（）的四個(gè)完全相同的長方形拼成的一個(gè)大正方形，用兩種不同的方法計(jì)算陰影部分（小正方形）的面積，可以得到三者之間的等量關(guān)系式：_____