...wd......wd......wd...江西師大附中、臨川一中2016屆高三第一次聯考數學〔理〕試卷命題人：萬炳金審題人：廖涂凡2015.12一、選擇題〔本大題共12小題，每題5分，共60分.在每題給出的四個選項中，只有一項為哪一項符合題意.〕1．集合，則等于〔〕A．〔2，5〕B．C．{2，3，4}D．{3，4，5}【答案】C【命題意圖】此題主要考察不等式的解法,集合的運算,屬容易題.【解析】，={2，3，4},選C.2．以下函數中，既是偶函數又在上單調遞增的是〔〕A．y＝exB．y＝lnx2C．y＝eq\r(x)D．y＝sinx【答案】B【命題意圖】此題主要考察函數性質：單調性、奇偶性等屬容易題.【解析】y＝eq\r(x)，y＝ex為(0，＋∞)上的單調遞增函數，但是不是偶函數，故排除A，C；y＝sinx在整個定義域上不具有單調性，排除D；y＝lnx2滿足題意，應選B.3．{an}是等差數列，a10＝10，其前10項和S10＝70，則其公差d為〔〕A．－eq\f(2,3)B．－eq\f(1,3)C．eq\f(1,3)D．eq\f(2,3)【答案】D【命題意圖】此題主要考察等差數列通項及前n項和公式,屬容易題.【解析】a10＝a1＋9d＝10，S10＝10a1＋eq\f(10×9,2)d＝10a1＋45d＝70，解得d＝eq\f(2,3).應選D.4．函數f(x)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x3，x<0，,－tanx，0≤x<\f(π,2)，))則〔〕A．2B．1C．D．【答案】C【命題意圖】此題主要考察復合函數求值，屬容易題.【解析】∵eq\f(π,4)∈[0，eq\f(π,2))，∴f(eq\f(π,4))＝－taneq\f(π,4)＝－1.∴f(f(eq\f(π,4)))＝f(－1)＝2×(－1)3＝－2.5．假設命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0〞為假命題，則實數m的取值范圍是〔〕A．B．C．D．【答案】A【命題意圖】此題主要考察用特稱命題的否認解決問題，屬中等題.【解析】∵命題“?x0∈R，使得xeq\o\al(2,0)＋mx0＋2m－3<0〞為假命題，∴命題“?x∈R，使得x2＋mx＋2m－3≥0〞為真命題，∴Δ≤0，即m2－4(2m－3)≤0，∴2≤m≤6.6．將函數y＝sin(2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移eq\f(π,8)個單位后，得到一個函數的圖像，則“是偶函數〞是“φ＝eq\f(π,4)〞的〔〕A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】B【命題立意】此題考察三角函數的圖像變換以及充分必要條件，屬中等題.【解析】把函數y＝sin(2x＋φ)的圖像向左平移eq\f(π,8)個單位后，得到的圖像的解析式是y＝sin(2x＋eq\f(π,4)＋φ)，該函數是偶函數的充要條件是eq\f(π,4)＋φ＝kπ＋eq\f(π,2)，k∈Z，所以則“f(x)是偶函數〞是“φ＝eq\f(π,4)〞的必要不充分條件，選B.7．右圖是一個幾何體的三視圖，則該幾何體體積是〔〕A．14B．15C．16D．18【答案】B【命題立意】此題考察由三視圖構造幾何體的直觀圖并求其體積，屬中等題.【解析】三棱柱體積—三棱錐體積.8．是等差數列的前n項和，且，給出以下五個命題：①；②；③；④數列中的最大項為；⑤.其中正確命題的個數是〔〕A．5B．4C．3D．1【答案】C【命題立意】此題主要考察等差數列相關知識及前n項和增減性等，推理等相關知識，屬中等題.【解析】，①②⑤正確9．過雙曲線的左焦點F作圓的切線，設切點為M，延長FM交雙曲線于點N，假設點M為線段FN的中點，則雙曲線C1的離心率為〔〕A． B． C．+1 D．【答案】A【命題立意】此題考察圓錐曲線離心率，屬中等題.【解析】則.10．過球面上三點A、B、C的截面到球心距離等于球半徑的一半，且，，則球面面積為〔〕A．B．C．D．【答案】C【命題立意】此題考察立體幾何中的球的切接和球的外表積問題，屬中等偏難題.【解析】外接圓的半徑，.11．點C為線段上一點，為直線外一點，PC是角的平分線，為PC上一點，滿足，，，則的值為〔〕A.B.3C.4D.【答案】B【命題立意】此題主要考察向量運算，數量積及其幾何意義、圓的切線長等，屬難題.【解析】，PC是角的平分線，又，即，所以I在∠BAP的角平分線上，由此得I是△ABP的內心，過I作IH⊥AB于H，I為圓心，IH為半徑，作△PAB的內切圓，如圖，分別切PA,PB于E、F，，，，在直角三角形BIH中，，所以.12．函數，則函數的零點個數是〔〕A．1B．2C．3D．4【答案】A【命題立意】此題考察分段及復合函數零點問題，屬難題.【解析】利用數形結合知僅在內有一零點.二、填空題〔本大題共4小題，每題5分，共20分.〕13．等比數列的各項均為正數，且，則＝________.【答案】50【命題立意】此題考察等比數列性質問題，屬中等題.【解析】因為{an}為等比數列，所以由可得a10a11＝a9a12＝a1a20＝e5.于是lna1＋lna2＋…＋lna20＝ln(a1a2a3…a20)．而a1a2a3…a20＝(a1a20)10＝(e5)10＝e50，因此lna1＋lna2＋…＋lna20＝lne50＝50.14．函數滿足，函數關于點對稱，，則_________.【答案】2【命題立意】此題考察函數周期、圖像平移、對稱、奇偶性等性質問題，屬中等題.【解析】由于，，故函數的周期為12，把函數的圖象向右平移1個單位，得，因此的圖象關于對稱，為奇函數，.15．設滿足約束條件，則的取值范圍是__________.【答案】【命題立意】此題考察線型規(guī)劃、斜率等問題，屬中等題.【解析】，可行域內點與點〔-1，-1〕斜率的2倍加1.16．對于函數，假設在其定義域內存在，使得成立，則稱為函數的“反比點〞.以下函數中具有“反比點〞的是_________.①；②；③，；④；⑤.【答案】=1\*GB3①②=4\*GB3④【命題立意】此題考察方程、函數零點、導數求最值，屬中等偏難題.【解析】①由x=1得：，所以①具有“反比點〞.②設，∵h(0)=-1<0,,∴在上有解，所以②具有“反比點〞.③由，所以③不具有“反比點〞；=4\*GB3④假設令=4\*GB3④具有“反比點〞=5\*GB3⑤假設在上有解，令，可得h(x)在有最小值，而，所以=5\*GB3⑤不具有“反比點〞三、解答題〔本大題共8小題，共70分.解容許寫出文字說明、證明過程或演算步驟.〕17．〔本小題總分值12分〕在中，角A、B、C所對的邊為a、b、c，，.〔1〕求的值；〔2〕假設，D為的中點，求CD的長.【命題立意】此題考察誘導公式；同角三角函數關系；正弦定理；余弦定理.屬中等題.【解析】〔1〕且，∴．---------2分----------------3分．--------------6分 〔2〕由〔1〕可得．--------------8分 由正弦定理得，即，解得．------------10分 在中，，， 所以．-------------------------12分18．〔本小題總分值12分〕袋中裝有黑球和白球共7個，從中任取2個球都是白球的概率為eq\f(1,7)?，F在甲、乙兩人從袋中輪流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……，取后不放回，直到兩人中有一人取到白球為止，每個球在每一次被取出的時機是相等的，用ξ表示終止時所需要的取球次數．〔1〕求袋中原有白球的個數；〔2〕求隨機變量ξ的概率分布列及期望．【命題立意】此題考察概率及概率分布.屬中等題.【解析】(1)設袋中原有n個白球，由題意知eq\f(1,7)＝eq\f(Ceq\o\al(2,n),Ceq\o\al(2,7))＝eq\f(\f(n〔n－1〕,2),\f(7×6,2))＝eq\f(n〔n－1〕,7×6)，--------3分所以n(n－1)＝6，解得n＝3或n＝－2(舍去)．即袋中原有3個白球．-------------------6分(2)由題意知ξ的可能取值為1，2，3，4，5.P(ξ＝1)＝eq\f(3,7)；P(ξ＝2)＝eq\f(4×3,7×6)＝eq\f(2,7)；P(ξ＝3)＝eq\f(4×3×3,7×6×5)＝eq\f(6,35)；P(ξ＝4)＝eq\f(4×3×2×3,7×6×5×4)＝eq\f(3,35)；P(ξ＝5)＝eq\f(4×3×2×1×3,7×6×5×4×3)＝eq\f(1,35).所以取球次數ξ的概率分布如下表所示：ξ12345Peq\f(3,7)eq\f(2,7)eq\f(6,35)eq\f(3,35)eq\f(1,35)-------------------12分(第2問每個答案一分)PAGBCDFE19．〔本小題總分值12分〕如圖，在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG⊥平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG＝4，，BG⊥GC，GB＝PAGBCDFE〔1〕求異面直線GE與PC所成角的余弦值；

〔2〕假設F點是棱PC上一點，且DF⊥GC，求的值．

【命題立意】此題考察立體幾何的問題.屬中等題.【解析】(1)以G點為原點，為x軸、y軸、z軸建設空間直角坐標系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，＝(1，1，0)，＝(0，2，4)-------2分----4分∴GE與PC所成角的余弦值為．-------------------6分(2)解：設F(0，y，z)，則∵，∴，即，∴，-------------------8分又，即(0，，z－4)＝λ(0，2，－4)，∴z=1，故F(0，，1)，-------------------10分，∴-------------------12分20．〔本小題總分值12分〕橢圓〔〕的離心率，過點的直線與橢圓交于兩點，且.〔1〕當直線的傾斜角為時，求三角形的面積；〔2〕當三角形的面積最大時，求橢圓的方程．【命題立意】此題考察橢圓標準方程的求解及研究直線和橢圓相交時對應三角形面積的最值.屬中等題.【解析】由得，所以．-------------------2分設，則由，，得---------3分由知直線斜率存在設為,得直線的方程，代入得，由知，且解得，-------------------6分-------------------8分〔1〕代入得-------------------10分〔2〕〔時〕時三角形的面積最大，把代入得．于是橢圓的方程為．-------------------12分注：其他書寫酌情給分，原則上每一問6分.21.〔本小題總分值12分〕函數，．〔1〕〔=1\*romani〕求證：；〔=2\*romanii〕設，當，時，求實數的取值范圍；〔2〕當時，過原點分別作曲線與的切線，，兩切線的斜率互為倒數，證明：．【命題立意】此題考察用導數求證不等式、求參數范圍、含參討論等，屬難題?！窘馕觥俊?〕〔=1\*romani〕令，則時，時，所以，即;-----------------2分〔=2\*romanii〕，．①當時，由〔1〕知，所以，在上遞增，恒成立，符合題意．------------------4分②當時，因為，所以在上遞增，且，則存在，使得．所以在上遞減，在上遞增，又，所以不恒成立，不合題意．綜合①②可知，所求實數的取值范圍是．------------------6分〔2〕設切線的方程為，切點為，則，，所以，，則．由題意知，切線的斜率為，的方程為．設與曲線的切點為，則，所以，．又因為，消去和后，整理得-------9分令，則，在上單調遞減，在上單調遞增．假設，因為，，所以，而在上單調遞減，所以．假設，因為在上單調遞增，且，則，所以〔舍去〕．綜上可知，．------------------12分請考生在第22、23、24三題中任選一題做答，如果多做，則按所做的第一題記分．做答時用2B鉛筆在答題卡上把所選題目對應題號上方的方框涂黑．22．〔本小題總分值10分〕選修4-1：幾何證明選講A，B，C，D為圓O上的四點，直線DE為圓O的切線，D為切點，AC∥DE，AC與BD相交于H點．〔1〕求證：BD平分∠ABC；〔2〕假設AB＝4，AD＝6，BD＝8，求AH的長．證明：〔1〕，又切圓于點，，，而，，即BD平分∠ABC；-------------5分〔2〕由〔1〕知，又，又為公共角，∴與相似，，∵AB＝4，AD＝6，BD＝8，∴AH=3．-------------10分23．〔此題總分值10分〕選修4-4：坐標系與參數方程在極坐標系中，圓C的圓心C，半徑r＝3.〔1〕求圓C的極坐標方程；〔2〕假設點Q在圓C上運動，P在OQ的延長線上，且|OQ|∶|QP|＝3∶2，求動點P的軌跡方程．【解析】(1)設M(ρ，θ)為