/河北省唐山市2023?2024學(xué)年高一下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題（本大題共8小題）1．已知復(fù)數(shù)，則的虛部為（

）A． B．1 C． D．32．某學(xué)校高一、高二、高三年級學(xué)生人數(shù)之比為，利用分層抽樣的方法抽取容量為35的樣本，則從高一年級抽取學(xué)生人數(shù)為（

）A．7 B．10 C．15 D．203．已知圓錐的高為2，其底面圓的半徑為1，則圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．4．若一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為5，方差為2，將每一個數(shù)都乘以2，再減去1，得到一組新數(shù)據(jù)，則新數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為（

）A．9，3 B．9，8 C．9，7 D．10，85．已知是兩個隨機(jī)事件且概率均大于，則下列說法正確的為（

）A．若與互斥，則與對立B．若與相互獨(dú)立，則與互斥C．若與互斥，則與相互獨(dú)立D．若與相互獨(dú)立，則與相互獨(dú)立6．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則（

）A．若，，則 B．若，，則C．若，，則 D．若，，則7．在正四面體中，是棱的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（

）A． B． C． D．8．已知銳角的面積為，則邊的取值范圍是（

）A． B． C． D．二、多選題（本大題共3小題）9．已知復(fù)數(shù)，則（

）A． B．C． D．表示的點(diǎn)在第一象限10．已知平行四邊形的兩條對角線交于點(diǎn)，則（

）A． B．C． D．11．在直三棱柱中，高為，下列說法正確的是（

）A．B．若存在一個球與棱柱的每個面都相切，則C．若，則三棱錐外接球的體積為D．若，以為球心作半徑為2的球，則球面與三棱柱表面的交線長度之和為三、填空題（本大題共3小題）12．已知向量的夾角為，且，則.13．如圖，將各面都涂了油漆的正方體分割為125個同樣大小的小正方體，經(jīng)過攪拌后從中隨機(jī)取一個小正方體，則取到小正方體的油漆面數(shù)為0的概率為.14．如圖，從樓頂點(diǎn)測得地面兩點(diǎn)的俯角分別為，已知兩點(diǎn)的距離為，則樓高約等于.（用四舍五入法將結(jié)果精確到個位.參考數(shù)據(jù)：）四、解答題（本大題共5小題）15．已知向量.(1)若，求；(2)若，求.16．甲?乙兩人獨(dú)立做一道數(shù)學(xué)題，他們解答正確的概率分別為和.(1)求兩人解答都正確的概率；(2)求至多一人解答正確的概率；(3)求至少一人解答正確的概率.17．在中，是邊上的中線.(1)求的面積；(2)求中線的長.18．某消防隊(duì)為了了解市民對“消防基本常識”的認(rèn)知程度，針對本市不同年齡的人舉辦了一次“消防之星”知識競賽，滿分100分（95分及以上為“消防之星”），共有100人榮獲“消防之星”稱號，將其按年齡分成以下五組：第一組，第二組，第三組，第四組，第五組，得到如圖所示的頻率分布直方圖.(1)根據(jù)頻率分布直方圖，估計(jì)這些人的平均年齡和第80百分位數(shù)；(2)若從第三組，第四組，第五組三組中分層抽取6人，再從這6人中隨機(jī)抽取2人，求抽取的2人年齡在不同組的概率；(3)若第三組的年齡的平均數(shù)與方差分別為36和2，第四組的年齡的平均數(shù)與方差分別為46和4，據(jù)此計(jì)算這100人中第三組與第四組所有人的年齡的方差.附：19．如圖，在三棱柱中，，側(cè)面為矩形.(1)記平面與平面交線為，證明：；(2)證明：為等邊三角形；(3)若，且為棱的中點(diǎn)，求平面與平面所成二面角的正弦值.

答案1．【正確答案】A【分析】根據(jù)虛部的概念即可得到答案.【詳解】因?yàn)?，則其虛部為.故選A.2．【正確答案】C【分析】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)即可得到答案.【詳解】根據(jù)分層抽樣的特點(diǎn)知高一年級抽取學(xué)生人數(shù)為人.故選C.3．【正確答案】C【分析】利用勾股定理得到圓錐的母線長，那么圓錐的側(cè)面積底面周長母線長.【詳解】因?yàn)閳A錐的高為2，其底面圓的半徑為1，由勾股定理的圓錐的母線長為，圓錐底面圓的周長為，所以圓錐的側(cè)面積為.故選C.【思路導(dǎo)引】根據(jù)題目條件計(jì)算出圓錐的母線長和底面圓的周長，再利用側(cè)面積計(jì)算公式即可計(jì)算出圓錐的側(cè)面積.4．【正確答案】B【分析】根據(jù)給定條件，利用平均數(shù)、方差公式計(jì)算即得.【詳解】設(shè)這組數(shù)據(jù)為，依題意，，所得新數(shù)據(jù)為，新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為.故選B. 5．【正確答案】D【分析】根據(jù)互斥，對立事件的定義，以及事件的相互獨(dú)立性，逐項(xiàng)判斷即可.【詳解】由題意，①互斥事件指的是不能同時發(fā)生的兩個事件；②對立事件指的是在試驗(yàn)中必有一個發(fā)生的兩個互斥事件；③相互獨(dú)立事件指的是事件是否發(fā)生對事件發(fā)生的概率沒有影響，滿足等式：；對于A，互斥事件不一定對立，例：投擲一枚骰子的試驗(yàn)中，事件“擲出點(diǎn)數(shù)為”，事件“擲出點(diǎn)數(shù)為”，事件與事件互斥但不對立，故A錯誤；對于B，相互獨(dú)立事件不一定互斥，例：拋擲兩枚硬幣的試驗(yàn)中，事件“第一次正面朝上”，事件“第二次反面朝上”，事件發(fā)生與否對事件發(fā)生的概率沒有影響，即事件與事件相互獨(dú)立，但事件與事件不互斥，故B錯誤；對于C，互斥事件不一定相互獨(dú)立，例：拋擲一枚硬幣的試驗(yàn)中，事件“正面朝上”，事件“反面朝上”，事件與事件互斥，但，，所以不滿足相互獨(dú)立事件的定義，故C錯誤；對于D，因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以，又，所以，所以事件與事件也相互獨(dú)立，故D正確.故選D.6．【正確答案】B【分析】根據(jù)空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系逐一判斷選項(xiàng)即可.【詳解】對于A,若,則，或，或，或與相交，故A錯誤；對于B，若，，則，故B正確；對于C，若，，則或，故C錯誤；對于D，若，，則或，故D錯誤.故選B.7．【正確答案】D【分析】取的中點(diǎn)為，確定異面直線與所成的角，再求出等腰三角形底角的余弦即可.【詳解】設(shè)正四面體的棱長為2，取的中點(diǎn)，連接，由是棱的中點(diǎn)，得，則為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），在中，，，則，所以異面直線與所成角的余弦值為.故選D.

【思路導(dǎo)引】假設(shè)正四面體的棱長為2，取的中點(diǎn)為，結(jié)合題目條件可知，則為異面直線與所成的角（或其補(bǔ)角），計(jì)算出各邊長度，利用余弦定理即可得出答案.8．【正確答案】C【分析】由為銳角三角形，得到，利用三角形面積公式以及正弦定理化簡可得：，由，求出的范圍，從而得到結(jié)果.【詳解】設(shè)銳角的三個內(nèi)角，，所對的邊分別為，，，

因?yàn)樵阡J角中，，則，，，則，由正弦定理可得：，則，所以，即因?yàn)?，所以所以，因?yàn)?，則，則，即，所以，所以，即，故選C.【思路導(dǎo)引】結(jié)合題目條件可知則，，利用三角形面積公式得到，再利用正弦定理化簡可得，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°化簡可得，從而得到的范圍，即可計(jì)算出邊的取值范圍.9．【正確答案】BCD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模計(jì)算，共軛復(fù)數(shù)的定義，以及復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算依次判斷選項(xiàng)即可.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，則，故A錯誤；由于，則，故B正確；則，故C正確；，對于點(diǎn)的坐標(biāo)為在第一象限，故D正確.故選BCD.10．【正確答案】AD【分析】利用向量加法、減法的幾何意義求解即可.【詳解】平行四邊形的兩條對角線交于點(diǎn)，作出圖形如下：

由圖可得：，故A正確；，故D正確.故選AD.11．【正確答案】ACD【分析】由柱體、錐體體積公式計(jì)算判斷A；利用體積法求出內(nèi)切球半徑判斷B；求出外接球半徑，進(jìn)而求出球的體積判斷C；分析球面在三棱柱各個面上的交線，進(jìn)而求出交線長判斷D.【詳解】對于A，直三棱柱的體積，，則，A正確；對于B，直三棱柱的表面積，顯然此棱柱內(nèi)切球半徑為，因此，即，解得，B錯誤；對于C，三棱錐的外接球即為直三棱柱的外接球，球心到平面的距離為，而外接圓半徑為，則三棱錐的外接球半徑，此球體積為，C正確；對于D，以為球心作半徑為2的球面，與三棱柱的棱的交點(diǎn)依次為，可算得，，因此球面與矩形的交線是為圓心，半徑為2，圓心角為，間的圓弧，球面與的交線是為圓心，半徑為1，圓心角為，間的圓弧，球面與矩形的交線是為圓心，半徑為2，圓心角為，間的圓弧，球面與矩形的交線是為圓心，半徑為1，圓心角為，間的圓弧，球面與的交線是為圓心，半徑為2，圓心角為，間的圓弧，所以球面與三棱柱表面的交線長度之和為，D正確.故選ACD.12．【正確答案】【分析】由平面向量數(shù)量積的定義可得，再由，結(jié)合平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律即可得解.【詳解】因?yàn)橄蛄?，的夾角為，，所以，所以，所以.故答案為.13．【正確答案】/0.216【分析】求出沒有油漆面的小正方體的個數(shù)，再利用古典概率求解即得.【詳解】依題意，去掉原正方體每個面上涂了油漆的那一層小正方體，余下是的正方體，分割成的小正方體任何一面都沒有油漆，共27個，所以取到小正方體的油漆面數(shù)為0的概率為.故/0.216.14．【正確答案】77【分析】根據(jù)條件可得，，，在中，由正弦定理可求出，從而得到樓高.【詳解】因?yàn)閺臉琼旤c(diǎn)測得地面兩點(diǎn)的俯角分別為，所以，，，在中，由正弦定理可得：，即，所以，在中，,所以，故77.【思路導(dǎo)引】由圖可得，，，結(jié)合正弦定理計(jì)算出中邊的長度，代入到在中計(jì)算出的長度.15．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可；（2）根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可得到方程，解出即可.【詳解】（1）若，則，顯然不合題意，則，因?yàn)椋?（2）若，則，顯然不合題意，則，因?yàn)?，所?16．【正確答案】(1)；(2)；(3).【分析】（1）設(shè)事件表示“甲解答正確”，事件表示“乙解答正確”，則，，由此利用相互獨(dú)立事件乘法公式求出兩人解答都正確的概率；（2）利用相互獨(dú)立事件乘法公式求出至多一人解答正確的概率；（3）利用相互獨(dú)立事件乘法公式求出至少一人解答正確的概率.【詳解】（1）（1）設(shè)事件表示“甲解答正確”，事件表示“乙解答正確”，則，，因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，所以兩人解答都正確的概率為.（2）則至多一人解答正確的概率為.（3）因?yàn)槭录c事件相互獨(dú)立，則事件與事件相互獨(dú)立，則至少一人解答正確的概率為.17．【正確答案】(1)；(2).【分析】（1）利用正弦定理求出，從而得到，最后利用三角形面積公式即可；（2）首先求得，再利用余弦定理即可.【詳解】（1）在中，由正弦定理得，所以，解得.因?yàn)?，所以，所以，所以，又，所以的面積.（2）在中，，因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，由余弦定理得，.所以.18．【正確答案】(1)平均年齡為34.5歲，第80百分位數(shù)為45；(2)；(3)26.8.【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的平均值公式和百分位數(shù)的求法即可；（2）利用古典概型公式，列出所有情況和滿足題意的情況即可；（3）根據(jù)分層方差公式計(jì)算即可.【詳解】（1）這些人的平均年齡為(歲).由頻率分布直方圖可知，年齡在的頻率為，在的頻率為，則第80百分位數(shù)為，由，解得.所以估計(jì)這些人的平均年齡為34.5歲，第80百分位數(shù)為45.（2）第三組，第四組，第五組的頻率分別為0.3，0.2，0.1，若從這三組中分層抽取6人，則從第三組抽取3人，記為；第四組抽取2人，記為；第五組抽取1人，記為；對應(yīng)的樣本空間，，所以；設(shè)事件為“從6人中隨機(jī)抽取兩人，所抽取的2人年齡在不同組”，則，，所以，所以.（3）設(shè)第三組、第四組的年齡的平均數(shù)分別為，方差分別為.則.由第三組有30人，第四組有20人，設(shè)第三組和第四組所有人的年齡平均數(shù)為，方差為，則，.所以這100人中第三組與第四組所有人的年齡的方差為26.8.19．【正確答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3).【分析】（1）首先證明平面，由線面平行的性質(zhì)即可證明；（2）取的中點(diǎn)，棱的中點(diǎn)，證明平面，得到，從而證明為等邊三角形；（3）連接，交于，可得平面與平面，所成二面角為或的補(bǔ)角，利用余弦定理即可求解.【詳解】（1）因?yàn)樵谌庵?，，由于平面，平面，所以平面，又因?yàn)槠矫?，平面平面，所?（2）取的中點(diǎn)，棱的中點(diǎn)，連接，，因?yàn)?，為的中點(diǎn)，所以，又因?yàn)閭?cè)面為矩形.，為的中點(diǎn)，為棱的中點(diǎn)，所以，因?yàn)?，平面，平面?/p>