第=page11頁，共=sectionpages11頁幾何最值問題探究(類型一：線段和最值→將軍飲馬）1.如圖，在矩形ABCD中，AB=10，BC=5.若點M、N分別是線段AC，AB上的兩個動點，則BM+MN的最小值為(

)

A.10 B.8 C.53 2.如圖，∠AOB=30°，點M、N分別是射線OA、OB上的動點，OP平分∠AOB，且OP=6，當△PMN的周長取最小值時，四邊形PMON的面積為______．

(類型二：單線段最值→垂線段最短)3.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AC=12，P為斜邊AB上一動點，過點P分別作PE/?/BC交AC于點E，作PF/?/AC交BC于點F.則EF的最小值為______．(類型三：費馬點最值問題)4.法國數(shù)學家費馬提出：在△ABC內存在一點P，使它到三角形頂點的距離之和最?。藗兎Q這個點為費馬點，此時PA+PB+PC的值為費馬距離．經研究發(fā)現(xiàn)：在銳角△ABC中，費馬點P滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，如圖，點P為銳角△ABC的費馬點，且PA=3，PC=4，∠ABC=60°，則費馬距離為______．

5.定義：若P為△ABC內一點，且滿足∠APB=∠BPC=∠CPA=120°，則點P叫做△ABC的費馬點．(1)如圖1，若點O是等邊△ABC的費馬點，且OA+OB+OC=18，則這個等邊三角形的高的長度為

；(2)如圖2，已知△ABC，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于點P，連接AP，求證：點P是△ABC的費馬點；(3)應用探究：已知有A、B、C三個村莊的位置如圖3所示，能否在合適的位置建一個污水處理站Q，使得該處理站分別連接這三個村莊的水管長度之和最?。咳绻?，請你說明該如何確定污水處理站Q的位置，并證明該位置滿足設計要求．(類型四：數(shù)形結合)6.“數(shù)形結合”和“建模思想”是數(shù)學中的兩個很重要的思想方法，先閱讀以下材料，然后解答問題．求代數(shù)式x2解題思路：如圖，C為線段BD上一動點，分別過B，D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC，EC.已知AB=1，DE=2，BD=4.設BC=x，則AC=x(1)上述x2(2)用幾何構圖法求代數(shù)式x2(3)用幾何構圖法解方程9?x2(類型五：逆等線問題)7.綜合與實踐【問題情境】在數(shù)學綜合實踐課上，同學們以特殊三角形為背景．探究動點運動的幾何問題．如圖，在△ABC中，點M，N分別為AB，AC上的動點(不含端點)，且AN=BM．【初步嘗試】(1)如圖1，當△ABC為等邊三角形時，小顏發(fā)現(xiàn)：將MA繞點M逆時針旋轉120°得到MD，連接BD，則MN=DB，請思考并證明；【類比探究】(2)小梁嘗試改變三角形的形狀后進一步探究：如圖2，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，AE⊥MN于點E，交BC于點F，將MA繞點M逆時針旋轉90°得到MD，連接DA，DB.試猜想四邊形AFBD的形狀，并說明理由；【拓展延伸】(3)孫老師提出新的探究方向：如圖3，在△ABC中，AB=AC=4，∠BAC=90°，連接BN，CM，請直接寫出BN+CM的最小值．(類型六：隱問題圓)8.【學習心得】學習完《圓》這一章內容后，有一些幾何問題，如果添加輔助圓，可以使問題變得容易.我們把這個過程稱為“化隱圓為顯圓”.這類題目主要是兩種類型．

(1)①類型一，“定點+定長”.如圖1，在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一點，且AD=AC，求∠BDC的度數(shù)．

解：若以點A(定點)為圓心，AB(定長)為半徑作輔助⊙A(請你在圖1上畫圓)，則點C，D必在⊙A上，∠BAC是⊙A的圓心角，而∠BDC是圓周角，從而可容易得到∠BDC=______°.(填寫具體數(shù)值)

②類型二，“定角+定弦”.如圖2，在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，P是△ABC內部的一個動點，且滿足∠PAB=∠PBC，求線段CP的長的最小值．

解：∵∠ABC=90°．

∴∠ABP+∠PBC=90°．

∵∠PAB=∠PBC，

∴∠BAP+∠ABP=90°，

∴∠APB=______，(定角)

∴點P在以AB(定弦)為直徑的⊙O上.易求得CP的長的最小值為______．

【問題解決】

(2)如圖3，在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，P是邊BC上的一動點(點P不與點B，C重合)，連接AP，作點B關于直線AP的對稱點M，則線段MC的最小值為______．

【問題拓展】

(3)如圖4，在正方形ABCD中，AD=10，動點E，F(xiàn)分別在邊DC，CB上移動，且滿足DE=CF，連接AE，DF，交于點P．

①請你寫出AE與DF的數(shù)量關系和位置關系，并說明理由

②當點E從點D開始運動到點C時，點P也隨之運動，請求出點P的運動路徑長．

(類型七：阿氏圓)9.【基礎鞏固】(1)如圖，在△ABC中，D為AB上一點，∠ACD=∠B.求證：AC【嘗試應用】(2)如圖2，在菱形ABCD中，E，F(xiàn)分別為BC，DC上的點，且∠EAF=12∠BAD，射線AE交DC的延長線于點M，射線AF交BC的延長線于點N.若AF=4，CF=2求：①CM的長；②FN的長．【拓展進步】(3)如圖3，在菱形ABCD中，AB=6，∠B=60°，以點B為圓心作半徑為3的圓，其中點P是圓上的動點，請直接寫出PD+12(類型八：胡不歸問題)10.如圖，二次函數(shù)y=ax2+bx+1的圖象交x軸于A(?2,0)，B(1,0)兩點，交y軸于點C，點D是第四象限內拋物線上的一個動點，過點D作DE/?/y軸交x軸于點E，線段CB的延長線交DE于點M，連接OM，BD交于點N．

(1)求二次函數(shù)的表達式；

(2)當S△OEM=S△DBE時，求點D的坐標及sin∠DAE的值；

(3)在(2)的條件下，點P是x

1.【答案】B

【解析】【分析】

本題考查最短路徑問題，關鍵確定何時路徑最短，然后運用勾股定理和相似三角形的性質求得解．

過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，EF就是所求的線段．

【解答】

解：過B點作AC的垂線，使AC兩邊的線段相等，到E點，過E作EF垂直AB交AB于F點，BE和AC交于點H，

則EF就是所求的線段和的最小值．

根據(jù)勾股定理得AC=55，

在直角三角形ABC中，AC邊上的高BH=AB?BCAC=25，

所以BE=2BH=45.AH=100?20=452.【答案】36【解析】【分析】

此題主要考查軸對稱一最短路線問題，涉及軸對稱的性質、等邊三角形的判定與性質、三角形的面積、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，熟知兩點之間線段最短是解答此題的關鍵.

分別作點P關于OA，OB的對稱點P′，P″，連接P′P″分別交OA，OB，OP于點M，N，D，此時△PMN周長等于P′P″最小，然后利用已知條件求解即可．

【解答】

解：如圖，分別作點P關于OA，OB的對稱點P′，P″，連接P′P″分別交OA，OB，OP于點M，N，D，此時△PMN周長等于P′P″最小，

∵∠AOB=30°，OP平分∠AOB，

∴∠AOP=∠BOP=12∠AOB=15°，

由對稱性知OP′=OP=OP′′，∠AOP′=∠AOP=15°，∠BOP′′=∠BOP=15°，

∴∠P′OP′′=60°

∴△OP′P″是等邊三角形，

∴∠OP′P′′=∠OP′′P′=60°，P′P′′=OP′=OP′′=6，

∴OD⊥P′P″，P′D=P′′D=33.【答案】6013【解析】解：連接PC，

∵PE/?/BC，PF/?/AC，

∴四邊形PFCE是平行四邊形，

∵∠ACB=90°，

∴四邊形PFCE是矩形，

∴EF=PC，

∴當PC最小時，EF最小，當PC⊥AB時，PC最小，

∵∠C=90°，BC=5，AC=12，

∴AB=BC2+AC2=13，

當PC⊥AB時，△ABC的面積=12BC?AC=12AB?PC，

∴13×PC=12×5，

∴PC=6013．

∴EF的最小值為6013．

故答案為：6013．

判定四邊形PFCE是矩形，推出EF=PC4.【答案】7+2【解析】解：

如圖：

∵∠APB=∠BPC=∠CPA=120，∠ABC=60°，

∴∠1+∠3=60°，∠1+∠2=60°，∠2+∠4=60°，

∴∠1=∠4，∠2=∠3，

∴△BPC∽△APB

∴PCPB=PBPA，

即PB2=12

∴PB=23．

∴PA+PB+PC=7+25.【答案】(1)9；

(2)證明：如圖2，作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD交點為G．

∵△ABD與△ACE都是等邊三角形，

∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠EAC=60°，

∴∠CAD=∠EAB，

∴△CAD≌△EAB(SAS)，

∴∠ADC=∠ABE，CD=BE，S△CAD=S△EAB，

又∵∠ADC+∠DAG=∠ABE+∠GPB，

∴∠GPB=∠DAG=60°，

∴∠BPC=∠DPE=120°，∠EPC=60°，

∵S△CAD=12CD?AM，S△EAB=12BE?AN，

∴12CD?AM=12BE?AN，

∴AM=AN，

∴AP平分∠DPE，

∴∠APD=∠APE=60°，

∴∠APB=∠APC=120°=∠BPC，

∴點P是△ABC的費馬點；

(3)解：能，如第(2)小題那樣，分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于一點，由(2)小題知該點是△ABC的費馬點，即為所要建的污水處理站Q的位置．

證明：如圖3，設點Q是△ABC內一點，連接QA、QB、QC，并在QB同側作等邊△ABD與等邊△QBK，連接DK．

∵△ABD與△QBK都是等邊三角形，

∴BA=BD，BQ=BK=QK，∠ABD=∠QBK=60°，

∴∠KBD=∠QBA，

∴△KBD≌△QBA(SAS)，

∴∠DKB=∠AQB，DK=AQ，

∴QA+QB+QC=DK+KQ+QC≥DC．

當D、K、Q、C四點共線時，QA+QB+QC=DC為最小值，

又∵∠BKQ=∠BQK=60°，

∴這時∠DKB=∠AQB=120°，∠CQB=120°，【解析】(1)解：∵△ABC是等邊三角形，

∴AB=BC，∠ABC=60°，

∴∠ABO+∠CBO=60°．

∵點O是等邊△ABC的費馬點，

∴∠AOB=∠BOC=∠AOC=120°，

∴∠BAO+∠ABO=60°，

∴∠BAO=∠CBO，

∴△ABO≌△BOC(AAS)，

∴OA=OB=OC，

∴點O是三邊垂直平分線的交點，

∴∠OBD=12∠ABC=30°．

∵OA+OB+OC=18，

∴OA=OB=OC=6．

∴延長AO交BC于點D，如圖1，

∴OD=12OB=3，

∴AD=6+3=9．

故答案為：9；

(2)見答案；

(3)見答案．

(1)根據(jù)AAS證明△ABO≌△BOC得OA=OB=OC，從而點O是三邊垂直平分線的交點，延長AO交BC于點D，根據(jù)30度角的性質求出OD=3即可求解；

(2)作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，設AB與CD交點為G.根據(jù)SAS證明△CAD≌△EAB得∠ADC=∠ABE，CD=BE，S△CAD=S△EAB，然后證明AP平分∠DPE，可得∠APD=∠APE=60°，進而可證結論成立；

(3)分別以AB、AC為邊向外作等邊△ABD與等邊△ACE，線段CD、BE交于一點，該點即為所求的點，根據(jù)SAS證明△KBD≌△QBA得∠DKB=∠AQB，DK=AQ，從而可判斷當D、K、Q6.【答案】解：(1)5;

(2)如圖2，取線段BD=12，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，且AB=2，DE=3，連接AE，則AE為x2+4+(12?x)2+9(x≥0)的最小值，

過點A作AF⊥ED交ED的延長線于F.則四邊形ABDF是矩形，

∴AF=BD=12，AB=DF=2，

∵DE=3，

∴EF=5，

∴AE=AF2+EF2=52+122=13．

(3)如圖，構造△ABC，CD⊥AB于D，當AC=3，BC=4，CD=x，【解析】【分析】

本題考查軸對稱求最短距離，熟練掌握軸對稱求最短距離的方法，靈活應用勾股定理是解題的關鍵．

(1)由題意可得AE=5，即可求解;

(2)仿照例題，求出AE=52+122=13，即可求解;

(3)構造△ABC，CD⊥AB于D，AC=3，BC=4，設CD=x，則AD=9?x2，BD=16?x2，AB=

9?x2+16?x2=5，判斷出∠ACB=90°，再由面積法得出方程，即可解答．

【解答】

解：(1)如圖1中，C為線段BD上一動點，分別過B、D作AB⊥BD，ED⊥BD，連接AC、EC.已知AB=1，DE=2，BD=4.設BC=x，則AC=x2+1，CE=(4?x)2+4，則問題轉化成求AC+CE的最小值．

過點A作AF⊥ED交ED的延長線于7.【答案】解：(1)∵△ABC為等邊三角形，

∴∠A=60°，AB=AC，

∵MA繞點M逆時針旋轉120°得到MD，

∴DM=AM，∠AMD=120°，

∴∠DMB=60°，

∵AN=BM，∠DMB=∠A=60°，

∴△ANM≌△MBD(SAS)，

∴MN=DB，

(2)四邊形AFBD為平行四邊形，理由如下：

∵AB=AC，∠BAC=90°，

∴∠ABC=45°，

∵MA繞點M逆時針旋轉90°得到MD，

∴MA=MD，∠MAD=∠MDA=45°，∠DMA=∠DMB=90°，

∴∠MAD=∠ABF=45°，則AD/?/BF，

在△ANM和△MBD中，

MA=DM∠MAN=∠DMB,AN=MB

∴△ANM≌△MBD(SAS)，

∴∠AMN=∠MDB，

∵AE⊥MN，

∴∠AMN+∠MAE=90°，

∵∠MDB+∠MBD=90【解析】解：(1)見答案；

(2)見答案；

(3)解：如圖，過點A作∠BAG=45°，使AG=CB，連接GM、GC，BG，過點G作GO⊥CB交CB的延長線于點O，

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴∠ABC=∠ACB=45°，

∴∠GAM=∠BCN=45°，

∵AN=BM，

∴AM=CN，

又∵AG=CB，

∴△GAM≌△BCN(SAS)，

∴GM=BN，

∴BN+CM=GM+CM≥CG，

∴當點G、M、C三點共線時，BN+CM的值最小，最小值為CG的值，

∵∠GAM=∠ABC=45°，

∴AG//BC，

∵AG=BC，

∴四邊形AGBC是平行四邊形，

∴BG//AC，BG=AC=4，

∴∠BAC=∠ABG=90°，

∴∠GBO=180°?∠ABG?∠ABC=45°，

∴∠OGB=45°，

∴OG=OB，

∴GB=2OB=2OG，

∴OG=OB=22，

∵AB=AC=4，∠BAC=90°，

∴BC=42，

∴OC=62，

在Rt△GOC中，GC=(22)2+(62)2=45，

∴BN+CM的最小值為45．

故答案為：45．

本題考查全等三角形的判定與性質、平行線的判定與性質、勾股定理、平行四邊形的判定和性質、旋轉的性質、兩點之間線段最短的性質及等邊三角形的性質，熟練掌握相關定理得出當點G、M、C三點共線時，BN+CM的值最小，最小值為CG的值是解題的關鍵．

(1)證明△ANM≌△MBD(SAS)，即可得到MN=DB；

(2)證明AD/?/BF，DB//AF，得出四邊形AFBD為平行四邊形；

(3)過點A作∠BAG=45°，使AG=CB，連接GM、GC，BG，過點G作GO⊥CB交CB8.【答案】①28°；

②90°；4；

4；

①AE=DF，AE⊥DF，理由見解析；

②點P的運動路徑長為5π2．【解析】解：(1)①在△ABC中，AB=AC，∠BAC=56°，D是△ABC外的一點，且AD=AC，

∴點B，點C，點D在以點A為圓心，AB為半徑的圓上，如圖1，

∴∠BDC=12∠BAC=28°，

故答案為：28；

②在Rt△ABC中，AB⊥BC，AB=12，BC=8，

∴∠ABC=90°，

∴∠ABP+∠PBC=90°，

∵∠PAB=∠PBC，

∴∠BAP+∠ABP=90°，

∴∠APB=90°，

∴點P在以AB(定弦)為直徑的⊙O上，

如圖2，連接OC交⊙O于點P，此時PC最小，

∵點O是AB的中點，

∴OA=OB=6，

在Rt△BCO中，∠OBC=90°,BC=8,OB=12AB=6，

由勾股定理得：OC=BC2+OB2=10，

∴PC=OC?OP=10?6=4，

∴PC最小值為4，

故答案為：90°；4；

(2)如圖3，連接AC，AM，

∵點B，點M關于直線AP對稱，

∴AB=AM，

∴點M在以點A為圓心，AB為半徑的圓上運動，

∴當點M在線段AC上時，MC有最小值，

在直角三角形ABC中，AB=6，BC=8，

由勾股定理得：AC=AB2+BC2=10，

∴MC的最小值為10?6=4，

故答案為：4；

(3)①AE=DF，AE⊥DF；理由如下：

∵四邊形ABCD是正方形，

∴AD=DC，∠ADE=∠DCF=90°，

∵DE=CF，

在△ADE和△DCF中，

AD=DC∠ADE=∠DCFDE=CF，

∴△ADE≌△DCF(SAS)，

∴AE=DF，∠DAE=∠CDF，

∵∠ADE=90°，

∴∠ADP+∠DCF=90°，

∴∠ADP+∠DAE=90°，

∴∠APD=180°?90°=90°，

∴AE⊥DF；

②如圖4，連接AC，BD交于點O，

∵點P在運動中保持∠APD=90°，

∴點P的運動路徑是以AD為直徑的圓的DPO，

∴點P的運動路徑長為90π×5180=52π．

(1)①根據(jù)圓的定義、構造輔助圓，運用圓周角定理計算即可；

②根據(jù)直角三角形的三個頂點在以斜邊為直徑的圓上、構造輔助圓，運用圓的性質計算即可；

(2)根據(jù)圓的定義、構造輔助圓，運用圓的性質計算即可解答；

(3)①首先推導出△ADE≌△DCF(SAS)，得到AE=DF，∠DAE=∠CDF，利用角的關系推導出9.【答案】(1)證明：如圖1，

∵∠ACD=∠B，∠A=∠A，

∴△ADC∽△ACB，

∴ADAC=ACAB，

∴AC2=AD?AB．

(2)①解：如圖2，連接AC，

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB/?/CD，∠BAC=∠CAD=12∠BAD，

∵∠EAF=12∠BAD，

∴∠BAC=∠EAF，

即∠BAM+∠MAC=∠MAC+∠CAF，

∴∠BAM=∠CAF，

∵AB/?/CD，

∴∠BAM=∠M，

∴∠CAF=∠M，

∵∠AFC=∠MFA，

∴△FAC∽△FMA，

∴AFCF=FMAF=AMAC，

∵AF=4，CF=2，AM=10，

∴42=FM4=10AC，

∴FM=8，AC=5，

∴CM=FM?CF=8?2=6；

②∵四邊形ABCD是菱形，

∴AD//BC，∠BAC=∠CAD=12∠BAD，

∵∠EAF=12∠BAD，

∴∠CAD=∠EAF，

即∠DAN+∠NAC=∠NAC+∠CAM，

∴∠DAN=∠CAM【解析】【分析】

此題是相似形綜合題，主要考查了相似三角形的判定與性質，菱形的性質等知識，解直角三角形，正確作出輔助線熟練掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵．

(1)證明△ADC∽△ACB，