高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1福建省福清市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后、再選涂其它答案標(biāo)號(hào).第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答，答案無效；3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，，則（）A.7 B.8 C.10 D.11【答案】A【解析】依題意，得，，故選：A2.福廈高鐵全線共設(shè)8個(gè)客運(yùn)站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州東、泉州南、廈門北、漳州，則鐵路部門應(yīng)為福廈高鐵線上的這8個(gè)站間準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為（）A.28 B.56 C.64 D.112【答案】B【解析】火車票是要分出發(fā)站與到達(dá)站，是有順序的，故不同的火車票的種數(shù)為：，故選：B3.已知函數(shù)，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，則，得，故選：C4.將4個(gè)不同的小球全部投入3個(gè)不同的盤子（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則所有的投放方法數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】每個(gè)小球都有3種不同的選擇，根據(jù)乘法原理可知，所求即為.故選：A.5.已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】法一：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令得，解得，令得，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，則，解得，故，綜上，，由于是的真子集，則“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.法二：由題可得在上恒成立，即恒成立，又，所以，下面同解法一.故選：A6.地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.A.84 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A7.在等差數(shù)列中，，則（）A.7 B.11 C.14 D.16【答案】C【解析】設(shè)公差為，則，所以故.故選：C8.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑒t當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值，又由，得，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，為常數(shù)，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，則，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.的極大值點(diǎn)為 B.的極大值為C.有兩個(gè)零點(diǎn) D.直線是曲線的一條切線【答案】ABD【解析】AB選項(xiàng)，的定義域?yàn)?，，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)為，極大值為，AB正確；C選項(xiàng)，由于極大值為，當(dāng)時(shí)，恒成立，趨向于0時(shí)，趨向于，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，，，故，顯然，故為方程的一個(gè)根，故切點(diǎn)為，故切線方程為，故D正確.故選：ABD11.如圖，滿足，，以的斜邊為第2個(gè)直角三角形的直角邊，且，再以的斜邊為第3個(gè)直角三角形的直角邊，且，依此方法一直繼續(xù)下去，記第個(gè)直角三角形為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)題意得、、、、構(gòu)成相似三角形，其相似比等于．對(duì)于A，在中，，在中，，可知A項(xiàng)正確；對(duì)于B，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理得，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，由前面的分析，可知，可知C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，根據(jù)題意得、、、、的長度成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比，結(jié)合，可得，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，，則__________【答案】4【解析】在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)都是同號(hào)的，則，由，得，故答案為：413.有4人到甲?乙?丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人恰被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】根據(jù)題意，四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；故答案為：36．14.已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)橛星覂H有一個(gè)零點(diǎn)，顯然不是零點(diǎn)，故只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，其大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，符合題意．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.（1）在5件產(chǎn)品中，有3件正品，2件次品，從這5件產(chǎn)品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少種？（ⅱ）抽出3件中至少有1件次品的抽法有多少種？（2）現(xiàn)有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法.（?。┤?，之間恰有一人，有多少種不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少種不同的排法？解：（1）（?。┏槌龅?件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，則有種不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有兩種情況：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（?。┑糜?件次品抽法為種不同的抽法，只1件次品的抽法為種不同的抽法，共有種不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法數(shù)，是在5件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法數(shù)，減去抽出的3件產(chǎn)品全是正品的抽法數(shù)，所以共有種不同的抽法；（2）（?。、某人、B看作一個(gè)整體，進(jìn)行捆綁，再將另外兩人一起排列，所以一共有36種排法；（ⅱ）解法一：因?yàn)?個(gè)人全排列有排法，且A站左端有種排法，B站右端有種排法，A站左端且B站右端有種排法，所以A不站左端，且B不站右端有種排法；解法二：依題意可得：整件事可分為B站左端，和B不站左端．若B站左端，則其他4人全排列，有種排法；若B不站左端，則其他3人中選出1人站在左端，有種選法，又由于B不站左端，也不站右端，有種排法，剩下3人有有種排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.16.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）當(dāng)時(shí)，，則，因?yàn)棰伲詴r(shí)，②，由①－②得，時(shí)，，即，因?yàn)?，所以，即，故是?為首項(xiàng)，1為公差等差數(shù)列；（2）由（1），得，所以，.17.設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，若方程有實(shí)數(shù)解，則稱點(diǎn)為的“拐點(diǎn)”.經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個(gè)三次函數(shù)都有“拐點(diǎn)”且“拐點(diǎn)”就是三次函數(shù)圖象的對(duì)稱中心.已知三次函數(shù)的對(duì)稱中心為.（1）求實(shí)數(shù)，的值；（2）求的極值.解：（1）因，所以，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的對(duì)稱中心為，所以，即，解得.（2）由（1）知，，所以，由，得或，·當(dāng)變化時(shí)，，的變化情況如下表所示：12002因此，的極大值為，極小值為.18.已知數(shù)列與等差數(shù)列，若，，.（1）求，的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.解：（1）因?yàn)?，所以，又，得，所以?shù)列是以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，所以，故，則，設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，解得，所以．（2）由（1）知，，，所以，所以，，兩式相減，得，故．19.已知函數(shù).（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線的斜率；（2）若，討論的單調(diào)性；（3）若，且時(shí)，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1）因?yàn)?，，所以，又因?yàn)楹瘮?shù)的圖象過點(diǎn)，所以，即，故，解得，所以，故，即曲線在點(diǎn)處的切線的斜率為.（2）因?yàn)椋?，所以，?dāng)時(shí)，，在區(qū)間R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令，解得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，所以函數(shù)在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.綜上：當(dāng)時(shí)，在區(qū)間R上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增.（3）因?yàn)椋?，所以，設(shè)，則，所以，時(shí)，所以在上單調(diào)遞增，且；①當(dāng)時(shí)，，即，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，所以符合題意，.②當(dāng)時(shí)，又在上單調(diào)遞增，且，當(dāng)時(shí)，，，使得，，，即，所以在上單調(diào)遞減；，，即，所以在上單調(diào)遞增，所以，所以不合題意.綜上，實(shí)數(shù)的取值范圍為.福建省福清市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.答題前，考生務(wù)必在試題卷、答題卡規(guī)定的地方填寫自己的準(zhǔn)考證號(hào)、姓名，考生要認(rèn)真核對(duì)答題卡上粘貼的條形碼的“準(zhǔn)考證號(hào)、姓名”與考生本人準(zhǔn)考證號(hào)、姓名是否一致.2.第Ⅰ卷每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后、再選涂其它答案標(biāo)號(hào).第Ⅱ卷用0.5毫米黑色簽字筆在答題卡上書寫作答.在試題卷上作答，答案無效；3.考試結(jié)束，考生必須將答題卡交回.第Ⅰ卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知數(shù)列滿足，，則（）A.7 B.8 C.10 D.11【答案】A【解析】依題意，得，，故選：A2.福廈高鐵全線共設(shè)8個(gè)客運(yùn)站：福州南、福清西、莆田、泉港、泉州東、泉州南、廈門北、漳州，則鐵路部門應(yīng)為福廈高鐵線上的這8個(gè)站間準(zhǔn)備不同的火車票的種數(shù)為（）A.28 B.56 C.64 D.112【答案】B【解析】火車票是要分出發(fā)站與到達(dá)站，是有順序的，故不同的火車票的種數(shù)為：，故選：B3.已知函數(shù)，則（）A.0 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】，令，得，得，則，得，故選：C4.將4個(gè)不同的小球全部投入3個(gè)不同的盤子（每個(gè)盒子容納的小球的個(gè)數(shù)不限），則所有的投放方法數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】每個(gè)小球都有3種不同的選擇，根據(jù)乘法原理可知，所求即為.故選：A.5.已知函數(shù)，則“”是“在上單調(diào)遞增”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】法一：因?yàn)?，所以，?dāng)時(shí)，，此時(shí)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，令得，解得，令得，解得，故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，要想在上單調(diào)遞增，則，解得，故，綜上，，由于是的真子集，則“”是“在上單調(diào)遞增”的充分不必要條件.法二：由題可得在上恒成立，即恒成立，又，所以，下面同解法一.故選：A6.地圖涂色是一類經(jīng)典的數(shù)學(xué)問題.如圖，用4種不同的顏色涂所給圖形中的4個(gè)區(qū)域，要求相鄰區(qū)域的顏色不能相同，則不同的涂色方法有（）種.A.84 B.72 C.48 D.24【答案】A【解析】將圖形區(qū)域氛圍上下左右，若上下顏色相同，則上有4種，左有3種，右有3種，共有種；若上下顏色不同，則上有4種，下有3種，左右各有兩種，共有種，所以共有種，故選：A7.在等差數(shù)列中，，則（）A.7 B.11 C.14 D.16【答案】C【解析】設(shè)公差為，則，所以故.故選：C8.已知函數(shù)，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】由得：，因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則當(dāng)時(shí)，，所以在和上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，所以在上單調(diào)遞減；所以當(dāng)時(shí)，有極大值，又由，得，所以.故選：D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)是符合題目要求的.全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列求導(dǎo)運(yùn)算正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】BC【解析】對(duì)于A項(xiàng)，為常數(shù)，則，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B項(xiàng)，，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，，則，故C項(xiàng)正確；對(duì)于D項(xiàng)，，故D項(xiàng)錯(cuò)誤，故選：BC10.已知函數(shù)，則（）A.的極大值點(diǎn)為 B.的極大值為C.有兩個(gè)零點(diǎn) D.直線是曲線的一條切線【答案】ABD【解析】AB選項(xiàng)，的定義域?yàn)椋?，令得，令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故的極大值點(diǎn)為，極大值為，AB正確；C選項(xiàng)，由于極大值為，當(dāng)時(shí)，恒成立，趨向于0時(shí)，趨向于，故在上存在一個(gè)零點(diǎn)，在上無零點(diǎn)，綜上，函數(shù)只有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，設(shè)切點(diǎn)，，，故，顯然，故為方程的一個(gè)根，故切點(diǎn)為，故切線方程為，故D正確.故選：ABD11.如圖，滿足，，以的斜邊為第2個(gè)直角三角形的直角邊，且，再以的斜邊為第3個(gè)直角三角形的直角邊，且，依此方法一直繼續(xù)下去，記第個(gè)直角三角形為，則（）A. B.C. D.【答案】ABD【解析】根據(jù)題意得、、、、構(gòu)成相似三角形，其相似比等于．對(duì)于A，在中，，在中，，可知A項(xiàng)正確；對(duì)于B，在中，，在中，，在中，，，，由余弦定理得，所以，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C，由前面的分析，可知，可知C項(xiàng)不正確；對(duì)于D，根據(jù)題意得、、、、的長度成等比數(shù)列，其中首項(xiàng)，公比，結(jié)合，可得，故D項(xiàng)正確．故選：ABD．第Ⅱ卷三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分.12.在等比數(shù)列中，，，則__________【答案】4【解析】在等比數(shù)列中，奇數(shù)項(xiàng)都是同號(hào)的，則，由，得，故答案為：413.有4人到甲?乙?丙三所學(xué)校去應(yīng)聘，若每人恰被一所學(xué)校錄用，每所學(xué)校至少錄用其中1人，則所有不同的錄用情況種數(shù)為__________.（用數(shù)字作答）【答案】36【解析】根據(jù)題意，四人都被錄取，需要先將4人分為3組，再將分好的3組安排給3所學(xué)校，有種不同的錄用情況；故答案為：36．14.已知函數(shù)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________.【答案】【解析】因?yàn)橛星覂H有一個(gè)零點(diǎn)，顯然不是零點(diǎn)，故只有一個(gè)非零實(shí)數(shù)根，令，，則，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，，，，當(dāng)時(shí)，，，其大致圖象如圖所示，結(jié)合函數(shù)圖象可知，當(dāng)時(shí)，符合題意．故答案為：．四、解答題：本大題共5小題，共7分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.按要求列出式子，再計(jì)算結(jié)果，用數(shù)字作答.（1）在5件產(chǎn)品中，有3件正品，2件次品，從這5件產(chǎn)品中任意抽取3件.（ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少種？（ⅱ）抽出3件中至少有1件次品的抽法有多少種？（2）現(xiàn)有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少種不同的排法.（ⅰ）若，之間恰有一人，有多少種不同的排法？（ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少種不同的排法？解：（1）（ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品，則有種不同的抽法；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有兩種情況：只有1件次品的抽法和2件次品的抽法，由（ⅰ）得有2件次品抽法為種不同的抽法，只1件次品的抽法為種不同的抽法，共有種不同的抽法；解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法數(shù)，是在5件產(chǎn)品中任意抽出3件的抽法數(shù)，減去抽出的3件產(chǎn)品全是正品的抽法數(shù)，所以共有種不同的抽法；（2）（?。、某人、B看作一個(gè)整體，進(jìn)行捆綁，再將另外兩人一起排列，所以一共有36種排法；（ⅱ）解法一：因?yàn)?個(gè)人全排列有排法，且A站左端有種排法，B站右端有種排法，A站左端且B站右端有種排法，所以A不站左端，且B不站右端有種排法；解法二：依題意可得：整件事可分為B站左端，和B不站左端．若B站左端，則其他4人全排列，有種排法；若B不站左端，則其他3人中選出1人站在左端，有種選法，又由于B不站左端，也不站右端，有種排法，剩下3人有有種排法，所以B不站左端有排法；所以A不站左端，且B不站右端有排法.16.設(shè)為數(shù)列的前項(xiàng)和，已知，.（1）求證：是等差數(shù)列；（2）