高級中學名校試卷PAGEPAGE1湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學年高二下學期6月期末考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知隨機變量服從二項分布，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由隨機變量服從二項分布，可得.故選：D.2.已知變量x與y的回歸直線方程為，變量y與z負相關，則（）A.x與y負相關，x與z負相關 B.x與y正相關，x與z正相關C.x與y負相關，x與z正相關 D.x與y正相關，x與z負相關【答案】D【解析】根據(jù)回歸方程可知變量x與y正相關，又變量y與z負相關，由正相關、負相關的定義可知，x與z負相關.故選：D3.設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B4.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由于函數(shù)，則其導函數(shù)為：，代入，可得：，解得：，所以，所以.故選：D5.某校5名同學到A、B、C三家公司實習，每名同學只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學.若同學甲去A公司，則不同的安排方法共有（）A.18種 B.30種 C.42種 D.60種【答案】B【解析】若只有同學甲去A公司，則共有種可能，若除同學甲外還有一名同學去A公司，則共有種可能，故共有種可能.故選：B.6.有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將4個盒子按順序拆開有種方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.故選：B7.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由圖象可知，，，，時，，解得，故，故.故選：D.8.已知,若對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)可知，令，可得為上的增函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)得，而當時，，當且僅當，即時取等號，故最大值為，所以，所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設A、是一個隨機試驗中的兩個事件,若，，，則下列選項一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，，所以，故A正確，B錯誤；又且，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC10.設，這兩個正態(tài)曲線如圖所示.則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因為，兩曲線分別關于和對稱，所以由圖可知，，所以A錯誤；因為X分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以，所以B正確；由正態(tài)分布在區(qū)間上的概率的幾何意義，有，C錯誤；，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】ABC【解析】A：，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以時取得極值，故A正確；B：因為，，，所以函數(shù)只在上有一個零點，即函數(shù)只有一個零點，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意，多項式的展開式中含有的項為：，所以的系數(shù)為．故答案為：.13.已知函數(shù)，曲線在點處切線也是曲線的切線．則a的值是__________【答案】3【解析】由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，其中，則，解得，將代入切線方程，得，則，解得；故答案為：314.某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是_____小時．【答案】24【解析】由題意得，即，所以該食品在的保鮮時間是：．故答案為：24.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調區(qū)間和最小值.解：（1）當時，，則，故，，故切線方程為，即，（2）且，當時，，的單調增區(qū)間為，；當時，當時，，當時，，所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，；當時，，所以的單調減區(qū)間為，16.在中，內角對邊分別為．已知，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）∵，∴，又＝．整理得：．（2）由為三角形內角且，．又由正弦定理知：，故．又.∴的面積為：．17.某學校舉辦數(shù)學建模知識競賽，每位參賽者要答3道題，第一題分值為40分，第二、三題分值均為30分，若答對，則獲得題目對應分值，若答錯，則得0分，參賽者累計得分不低于70分即可獲獎．已知甲答對第一、二、三題的概率均為，乙答對第一、二、三題的概率分別為，，，且甲、乙每次答對與否互不影響．（1）求甲的累計得分的分布列和期望；（2）在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率．解：（1）由題意知：甲累計得分的可能取值有：，所以，，，，，，的分布列為：030406070100.（2）法一：根據(jù)題意得：得分不低于70分即可獲獎，由（1）知：甲獲獎的概率為，乙獲獎的概率為：，乙只得70分的概率為：，所以甲、乙兩人同時獲獎的概率為：，甲、乙均獲獎且甲累計得分比乙高的概率為：，所以，在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率為：.法二：已知得分不低于70分才可獲獎，即甲、乙的得分應為70或100，共計4種情況，其中，甲比乙高的情況，只有甲獲得100分，乙獲得70分時一種情況，故概率為：.18.如圖，在四棱錐，，，E為PC的中點．（1）證明：直線平面PAD；（2）若平面平面ABCD，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．解：（1）取CD的中點M，連接EM，BM，因為，所以．因為，，所以，，．又因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD因為E為PC的中點，M為CD的中點，所以．又因為平面PAD，平面PAD，所以平面PAD又因為，，所以平面平面PAD．而平面BEM，故平面PAD．（2）因為平面平面ABCD，連接AC交BD于點O，連PO，由對稱性知，O為BD中點，且．如圖，以O為坐標原點，的方向為x軸正方向，的方向為y軸正方向，過點O作平面ABCD的垂線為z軸，建立空間直角坐標系，則，，，．設，則，，得，，．設平面PCD的一個法向量為，由于，，則得令，得，，故，設直線AB與平面PCD所成角為，由于，則，故直線AB與平面PCD所成角的正弦值為．19.為考察藥物對預防疾病以及藥物對治療疾病的效果，科研團隊進行了大量動物對照試驗．根據(jù)個簡單隨機樣本的數(shù)據(jù)，得到如下列聯(lián)表：（單位：只）藥物疾病未患病患病合計未服用服用合計（1）依據(jù)的獨立性檢驗，分析藥物對預防疾病的有效性；（2）用頻率估計概率，現(xiàn)從患病的動物中用隨機抽樣的方法每次選取只，用藥物進行治療．已知藥物的治愈率如下：對未服用過藥物的動物治愈率為，對服用過藥物的動物治愈率為．若共選取次，每次選取的結果是相互獨立的．記選取的只動物中被治愈的動物個數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．附：，.0.1000.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828解：（1）零假設為藥物對預防疾病無效果，根據(jù)列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)，經(jīng)計算得到，根據(jù)小概率值的獨立性檢驗，我們推斷零假設不成立，即認為藥物對預防疾病有效果．（2）設A表示藥物的治愈率，表示對未服用過藥物，表示服用過藥物，由題意可得，，且，，，藥物的治愈率，則，所以，，，，所以，隨機變量的分布列如下表所示：X0123P．湖南省株洲市炎陵縣2023-2024學年高二下學期6月期末考試數(shù)學試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是正確的．請把正確的選項填涂在答題卡相應的位置上.1.已知隨機變量服從二項分布，則（）A. B. C. D.【答案】D【解析】由隨機變量服從二項分布，可得.故選：D.2.已知變量x與y的回歸直線方程為，變量y與z負相關，則（）A.x與y負相關，x與z負相關 B.x與y正相關，x與z正相關C.x與y負相關，x與z正相關 D.x與y正相關，x與z負相關【答案】D【解析】根據(jù)回歸方程可知變量x與y正相關，又變量y與z負相關，由正相關、負相關的定義可知，x與z負相關.故選：D3.設函數(shù)，則下列函數(shù)中為奇函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由題意可得，對于A，不是奇函數(shù)；對于B，是奇函數(shù)；對于C，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù)；對于D，，定義域不關于原點對稱，不是奇函數(shù).故選：B4.已知函數(shù)，則（）A.1 B. C.2 D.【答案】D【解析】由于函數(shù)，則其導函數(shù)為：，代入，可得：，解得：，所以，所以.故選：D5.某校5名同學到A、B、C三家公司實習，每名同學只能去1家公司，每家公司至多接收2名同學.若同學甲去A公司，則不同的安排方法共有（）A.18種 B.30種 C.42種 D.60種【答案】B【解析】若只有同學甲去A公司，則共有種可能，若除同學甲外還有一名同學去A公司，則共有種可能，故共有種可能.故選：B.6.有4個外包裝相同的盒子，其中2個盒子分別裝有1個白球，另外2個盒子分別裝有1個黑球，現(xiàn)準備將每個盒子逐個拆開，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】將4個盒子按順序拆開有種方法，若恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中，則前兩個盒子都是白球或都是黑球，有種情況，則恰好拆開2個盒子就能確定2個白球在哪個盒子中的概率為.故選：B7.函數(shù)的圖象如圖所示，則（）A. B.1 C. D.【答案】D【解析】由圖象可知，，，，時，，解得，故，故.故選：D.8.已知,若對任意兩個不等的正實數(shù),都有恒成立，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】根據(jù)可知，令，可得為上的增函數(shù)，所以恒成立，分離參數(shù)得，而當時，，當且僅當，即時取等號，故最大值為，所以，所以的取值范圍是.故選：A.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.設A、是一個隨機試驗中的兩個事件,若，，，則下列選項一定正確的是（）A. B.C. D.【答案】AC【解析】因為，，所以，故A正確，B錯誤；又且，所以，故C正確，D錯誤.故選：AC10.設，這兩個正態(tài)曲線如圖所示.則（）A. B.C. D.【答案】BD【解析】因為，兩曲線分別關于和對稱，所以由圖可知，，所以A錯誤；因為X分布曲線“高瘦”，Y的分布曲線“矮胖”，所以，所以B正確；由正態(tài)分布在區(qū)間上的概率的幾何意義，有，C錯誤；，D正確.故選：BD11.已知函數(shù)，則（）A.有兩個極值點B.有一個零點C.點是曲線的對稱中心D.直線是曲線的切線【答案】ABC【解析】A：，令得或，令得，所以在，上單調遞增，上單調遞減，所以時取得極值，故A正確；B：因為，，，所以函數(shù)只在上有一個零點，即函數(shù)只有一個零點，故B正確；C：令，該函數(shù)的定義域為，，則是奇函數(shù)，是的對稱中心，將的圖象向上移動一個單位得到的圖象，所以點是曲線的對稱中心，故C正確；D：令，可得，又，當切點為時，切線方程為，當切點為時，切線方程為，故D錯誤.故選：ABC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.的展開式中的系數(shù)為______（用數(shù)字作答）【答案】【解析】由題意，多項式的展開式中含有的項為：，所以的系數(shù)為．故答案為：.13.已知函數(shù)，曲線在點處切線也是曲線的切線．則a的值是__________【答案】3【解析】由題意知，，，，則在點處的切線方程為，即，設該切線與切于點，其中，則，解得，將代入切線方程，得，則，解得；故答案為：314.某食品的保鮮時間（單位：小時）與儲存溫度（單位：）滿足函數(shù)關系（為自然對數(shù)的底數(shù)，為常數(shù)）．若該食品在0的保鮮時間設計192小時，在22的保鮮時間是48小時，則該食品在33的保鮮時間是_____小時．【答案】24【解析】由題意得，即，所以該食品在的保鮮時間是：．故答案為：24.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù).（1）若，求曲線在處的切線方程；（2）求函數(shù)在上的單調區(qū)間和最小值.解：（1）當時，，則，故，，故切線方程為，即，（2）且，當時，，的單調增區(qū)間為，；當時，當時，，當時，，所以的單調減區(qū)間為，單調增區(qū)間為，；當時，，所以的單調減區(qū)間為，16.在中，內角對邊分別為．已知，．（1）求的值；（2）若，求的面積．解：（1）∵，∴，又＝．整理得：．（2）由為三角形內角且，．又由正弦定理知：，故．又.∴的面積為：．17.某學校舉辦數(shù)學建模知識競賽，每位參賽者要答3道題，第一題分值為40分，第二、三題分值均為30分，若答對，則獲得題目對應分值，若答錯，則得0分，參賽者累計得分不低于70分即可獲獎．已知甲答對第一、二、三題的概率均為，乙答對第一、二、三題的概率分別為，，，且甲、乙每次答對與否互不影響．（1）求甲的累計得分的分布列和期望；（2）在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率．解：（1）由題意知：甲累計得分的可能取值有：，所以，，，，，，的分布列為：030406070100.（2）法一：根據(jù)題意得：得分不低于70分即可獲獎，由（1）知：甲獲獎的概率為，乙獲獎的概率為：，乙只得70分的概率為：，所以甲、乙兩人同時獲獎的概率為：，甲、乙均獲獎且甲累計得分比乙高的概率為：，所以，在甲、乙兩人均獲獎的條件下，求甲的累計得分比乙高的概率為：.法二：已知得分不低于70分才可獲獎，即甲、乙的得分應為70或100，共計4種情況，其中，甲比乙高的情況，只有甲獲得100分，乙獲得70分時一種情況，故概率為：.18.如圖，在四棱錐，，，E為PC的中點．（1）證明：直線平面PAD；（2）若平面平面ABCD，求直線AB與平面PCD所成角的正弦值．解：（1）取CD的中點M，連接EM，BM，因為，所以．因為，，所以，，．又因為平面PAD，平面P