高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1江蘇省淮安市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合中元素的個數(shù)為（）A.18 B.12 C.8 D.5【答案】A【解析】集合中元素的個數(shù)為.故選：A.2.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：D．3.已知空間向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】若向量，，共面，則，可得，解得，所以實數(shù)為.故選：B.4.已知隨機變量，若，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】因為，則，且，整理可得，解得或.故選：D.5.正方體中，為中點，則直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，可得，則，所以直線，所成角的余弦值為.故選：B.6.隨機變量的概率分布為，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意可得：，，所以.故選：D.7.三棱錐中，，均為邊長為2的等邊三角形，平面平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取中點，連接，則，，由平面平面，平面平面，平面，平面，得平面，平面，取的外心，的外心，分別過作平面、平面的垂線交于點，即為球心，連接，于是，四邊形為平行四邊形，，，因此三棱錐的外接球半徑，有，所以三棱錐的外接球表面積.故選：C8.函數(shù)，，若存在正數(shù)，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因為，則，由題意可得：，整理可得，即，又因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，構(gòu)建，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了探討學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系，從某批學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生的成績，并已計算出，物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程為，下列說法正確的有（）A.B.相關(guān)系數(shù)C.樣本數(shù)據(jù)的殘差為D.當(dāng)某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?00時，物理成績一定為92.5【答案】ABC【解析】對于選項A：因為線性回歸方程必過樣本中心點，由題意可得：，故A正確；對于選項B：因為，即線性回歸方程為的圖象是上升的，可知與滿足正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，故B正確；對于選項C：令，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的殘差為，故C正確；對于選項D：令，可得，但回歸方程只能用于預(yù)測結(jié)果，并不一定與實際結(jié)果完全相等，所以預(yù)測物理成績?yōu)?2.5，故D錯誤；故選：ABC.10.已知的展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，下列說法正確的有（）A. B.第3項的系數(shù)為66C.展開式中有理項共有3項 D.奇數(shù)項系數(shù)和為【答案】AC【解析】因為展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，可得,所以,A選項正確；第3項的系數(shù)為,B選項錯誤；展開式的通項公式為,當(dāng)時，展開式中有理項共有3項，C選項正確；展開式的奇數(shù)項系數(shù)和設(shè)為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和設(shè)為,則令,,展開式的奇數(shù)項系數(shù)和為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和為,則令,,所以奇數(shù)項系數(shù)和為,D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù),的定義域均為,若存在函數(shù),使得函數(shù),在上有,,，恒成立，則稱，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】由題意可知：，，等價于，；且，，等價于，.對于選項A：因為，，則在內(nèi)的值域為，可知不存在，使得恒成立，不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，對于，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時，趨近于0，可知；對于，則且，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故B正確；對于選項C：因為，，則，對于，，，取特值，可知，不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為，，，對于，此時，可得，且；對于，此時，可得，，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故D正確；故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨機變量，，若，則___________.【答案】【解析】因為，可知，若，可得，所以.故答案為：.13.已知，過點作的切線，若切線斜率為1，則______.【答案】3【解析】因為，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率，由題意可知，顯然當(dāng)時，則，可得，不合題意，可知，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以關(guān)于的方程的根為，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，所以.故答案為：3.14.已知甲?乙兩袋中裝有除顏色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只紅球，乙袋中有2只白球和3只紅球，先從甲袋中取2只球放入乙袋，再從乙袋中取2只球，則從乙取出的2只球都是紅球的概率為______.【答案】【解析】設(shè)從甲袋中取出2個球有（）個紅球為事件，從乙取出的2只球都是紅球為事件，則，，，，所以故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，為常數(shù).（1）若，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，在上的最小值為，求的值.解：（1）若，則，可得，且，令，可得；令，可得；所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可得：，若，，則，可得，可知在上單調(diào)遞減，則在上最小值為，解得.16.我國探月工程亦稱“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六號完成了人類首次月球背面智能采樣工作，并于6月下旬?dāng)y帶月球樣品返回地球，為人類進一步研究和利用月球資源提供了保證.為了解不同性別的學(xué)生對探月工程的關(guān)注程度（“十分關(guān)注”與“比較關(guān)注”），某校隨機抽取男生和女生各50名進行調(diào)查，數(shù)據(jù)表明：男生中有的同學(xué)“十分關(guān)注”，女生中有的同學(xué)“十分關(guān)注”，其他學(xué)生都是“比較關(guān)注”.（1）根據(jù)條件，列出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為對探月工程的關(guān)注程度與性別有關(guān)；（2）在以上“十分關(guān)注”的學(xué)生中運用分層抽樣的方法抽取10人組成科技興趣小組，再在這10人中隨機抽取3人進行重點培訓(xùn)，求這3人中至少有2名男生的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可知：“十分關(guān)注”的男、女生人數(shù)分別為、；據(jù)此可得列聯(lián)表，十分關(guān)注比較關(guān)注總計男生45550女生302050總計7525100可得，所以有的把握認(rèn)為對探月工程的關(guān)注程度與性別有關(guān).（2）因為抽取的男、女生人數(shù)分別為、，這3人中至少有2名男生的概率.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，.（1）證明：平面平面；（2）求二面角的余弦值；（3）求點到平面的距離.解：（1）因為平面，平面，則，又因為為矩形，則，且，平面，可得平面，且平面，所以平面平面.（2）由題意可知：平面，且，如圖，以A為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，由題意可得，解得，則，可得，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得；則，由題意可知：二面角為鈍角，所以二面角的余弦值為.（3）設(shè)平面的法向量為，則，令，則，可得，所以點到平面的距離.18.一只不透明的口袋中放有形狀?大小完全相同的4個黑球和2個白球，若每次摸一個球后，觀察其顏色，再放回袋中，摸到黑球得1分，摸到白球得分，用隨機變量表示k次摸球后得1分的總次數(shù)，用隨機變量X表示k次摸球后總得分.（1）若摸球100次.①求的數(shù)學(xué)期望；②求X的數(shù)學(xué)期望；（2）當(dāng)摸球次數(shù)k為何值時，的概率取得最大值.解：（1）①由題意可知：每次摸到黑球的概率均為，即得1分的概率均為，則，所以的數(shù)學(xué)期望；②因為，所以X的數(shù)學(xué)期望.（2）設(shè)摸到白球的次數(shù)為，則摸到黑球的次數(shù)為，則，則，由題意可得：，解得，且，可得，所以當(dāng)摸球次數(shù)時，的概率取得最大值.19.已知函數(shù).（1）若在其定義域內(nèi)單調(diào)遞增，求實數(shù)取值范圍；（2）若.①是否存在實數(shù)使得的圖象為軸對稱圖形，若存在，求的值，若不存在，說明理由；②函數(shù)在上有且僅有一個極值點，求正實數(shù)取值范圍.解：（1）由題可知，，令，解得，則得定義域為，，由題意知對恒成立，即，對恒成立，令，則根據(jù)二次函數(shù)性質(zhì)知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.則有，.（2）①定義域為，猜測對稱軸為，此時，下證結(jié)論成立.，存在，使得關(guān)于對稱.②定義域為，，令，，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，.若，則有，此時在上單調(diào)遞減，無極值，若，當(dāng)時，，，又在上單調(diào)遞增，，使得.且有時，時，則為的唯一極值點.綜上，.江蘇省淮安市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期6月期末調(diào)研測試數(shù)學(xué)試題注意事項考生在答題前請認(rèn)真閱讀本注意事項及各題答題要求1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名?準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3.考試結(jié)束后，只要將答題卡交回.一?選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.集合中元素的個數(shù)為（）A.18 B.12 C.8 D.5【答案】A【解析】集合中元素的個數(shù)為.故選：A.2.下列求導(dǎo)運算正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A：，故A錯誤；對于B：，故B錯誤；對于C：，故C錯誤；對于D：，故D正確；故選：D．3.已知空間向量，，，若向量，，共面，則實數(shù)為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】若向量，，共面，則，可得，解得，所以實數(shù)為.故選：B.4.已知隨機變量，若，則（）A. B.或 C. D.或【答案】D【解析】因為，則，且，整理可得，解得或.故選：D.5.正方體中，為中點，則直線，所成角的余弦值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】如圖，以D為坐標(biāo)原點，分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體的棱長為2，則，可得，則，所以直線，所成角的余弦值為.故選：B.6.隨機變量的概率分布為，，則（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】由題意可得：，，所以.故選：D.7.三棱錐中，，均為邊長為2的等邊三角形，平面平面，則三棱錐的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】如圖，取中點，連接，則，，由平面平面，平面平面，平面，平面，得平面，平面，取的外心，的外心，分別過作平面、平面的垂線交于點，即為球心，連接，于是，四邊形為平行四邊形，，，因此三棱錐的外接球半徑，有，所以三棱錐的外接球表面積.故選：C8.函數(shù)，，若存在正數(shù)，使得，則的最小值為（）A. B. C.1 D.【答案】B【解析】因為，則，由題意可得：，整理可得，即，又因為在內(nèi)單調(diào)遞減，則在內(nèi)單調(diào)遞減，可得，則，構(gòu)建，可得，當(dāng)時，；當(dāng)時，；可知在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增，則，所以的最小值為.故選：B.二?多選題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.為了探討學(xué)生的物理成績與數(shù)學(xué)成績之間的關(guān)系，從某批學(xué)生中隨機抽取10名學(xué)生的成績，并已計算出，物理成績關(guān)于數(shù)學(xué)成績的線性回歸方程為，下列說法正確的有（）A.B.相關(guān)系數(shù)C.樣本數(shù)據(jù)的殘差為D.當(dāng)某學(xué)生數(shù)學(xué)成績?yōu)?00時，物理成績一定為92.5【答案】ABC【解析】對于選項A：因為線性回歸方程必過樣本中心點，由題意可得：，故A正確；對于選項B：因為，即線性回歸方程為的圖象是上升的，可知與滿足正相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)，故B正確；對于選項C：令，可得，所以樣本數(shù)據(jù)的殘差為，故C正確；對于選項D：令，可得，但回歸方程只能用于預(yù)測結(jié)果，并不一定與實際結(jié)果完全相等，所以預(yù)測物理成績?yōu)?2.5，故D錯誤；故選：ABC.10.已知的展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，下列說法正確的有（）A. B.第3項的系數(shù)為66C.展開式中有理項共有3項 D.奇數(shù)項系數(shù)和為【答案】AC【解析】因為展開式第6項和第8項的二項式系數(shù)相等，可得,所以,A選項正確；第3項的系數(shù)為,B選項錯誤；展開式的通項公式為,當(dāng)時，展開式中有理項共有3項，C選項正確；展開式的奇數(shù)項系數(shù)和設(shè)為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和設(shè)為,則令,,展開式的奇數(shù)項系數(shù)和為展開式的偶數(shù)項系數(shù)和為,則令,,所以奇數(shù)項系數(shù)和為,D選項錯誤.故選：AC.11.已知函數(shù),的定義域均為,若存在函數(shù),使得函數(shù),在上有,,，恒成立，則稱，為一組“雙向奔赴”函數(shù).下列各組函數(shù)中，符合“雙向奔赴”函數(shù)的有（）A.，，B.，，C.，，D.，，【答案】BD【解析】由題意可知：，，等價于，；且，，等價于，.對于選項A：因為，，則在內(nèi)的值域為，可知不存在，使得恒成立，不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故A錯誤；對于選項B：因為，對于，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞減，且當(dāng)趨近于時，趨近于0，可知；對于，則且，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故B正確；對于選項C：因為，，則，對于，，，取特值，可知，不合題意，即不符合“雙向奔赴”函數(shù)，故C錯誤；對于選項D：因為，，，對于，此時，可得，且；對于，此時，可得，，可知當(dāng)，滿足題意，所以符合“雙向奔赴”函數(shù)，故D正確；故選：BD.三?填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.隨機變量，，若，則___________.【答案】【解析】因為，可知，若，可得，所以.故答案為：.13.已知，過點作的切線，若切線斜率為1，則______.【答案】3【解析】因為，則，設(shè)切點坐標(biāo)為，切線斜率，由題意可知，顯然當(dāng)時，則，可得，不合題意，可知，令，則，可知在內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以關(guān)于的方程的根為，即切點坐標(biāo)為，切線斜率，則切線方程為，所以.故答案為：3.14.已知甲?乙兩袋中裝有除顏色外其它完全相同的小球，甲袋中有1只白球和3只紅球，乙袋中有2只白球和3只紅球，先從甲袋中取2只球放入乙袋，再從乙袋中取2只球，則從乙取出的2只球都是紅球的概率為______.【答案】【解析】設(shè)從甲袋中取出2個球有（）個紅球為事件，從乙取出的2只球都是紅球為事件，則，，，，所以故答案為：四?解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.15.已知，為常數(shù).（1）若，求在上的單調(diào)區(qū)間；（2）若，在上的最小值為，求的值.解：（1）若，則，可得，且，令，可得；令，可得；所以在上的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）由題意可得：，若，，則，可得，可知在上單調(diào)遞減，則在上最小值為，解得.16.我國探月工程亦稱“嫦娥工程”，2024年6月3日，嫦娥六號完成了人類首次月球背面智能采樣工作，并于6月下旬?dāng)y帶月球樣品返回地球，為人類進一步研究和利用月球資源提供了保證.為了解不同性別的學(xué)生對探月工程的關(guān)注程度（“十分關(guān)注”與“比較關(guān)注”），某校隨機抽取男生和女生各50名進行調(diào)查，數(shù)據(jù)表明：男生中有的同學(xué)“十分關(guān)注”，女生中有的同學(xué)“十分關(guān)注”，其他學(xué)生都是“比較關(guān)注”.（1）根據(jù)條件，列出列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為對探月工程的關(guān)注程度與性別有關(guān)；（2）在以上“十分關(guān)注”的學(xué)生中運用分層抽樣的方法抽取10人組成科技興趣小組，再在這10人中隨機抽取3人進行重點培訓(xùn)，求這3人中至少有2名男生的概率.附：，其中.0.1000.0500.0100.0050.0012.7063.8416.6357.87910.828解：（1）由題意可知：“十分關(guān)注”的男、女生人數(shù)分別為、；據(jù)此可得列聯(lián)表，十分關(guān)注比較關(guān)注總計男生45550女生302050總計7525100可得，所以有的把握認(rèn)為對探月工程的關(guān)注程度與性別有關(guān).（2）因為抽取的男、女生人數(shù)分別為、，這3人中至少有2名男生的概率.17.如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面，，，.（1）證明：平面