高級中學名校試卷PAGEPAGE1山東省威海市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為，，所以，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以或，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以或x>1，所以C錯誤，對于D，因為，所以，因為，所以，所以D正確.故選：D2.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，所以，解得.故選：B.3.若“”是“”的必要條件，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】或，“或”是的必要條件，所以，即實數(shù)的最大值為.故選：B.4.已知隨機變量，設隨機變量，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于隨機變量而言：它，注意到，所以對于隨機變量而言：它的，所以.故選：A.5.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,因為，所以,所以故選：C.6.甲、乙兩所學校從個研學基地中各自選擇個進行研學活動，則這兩所學校選擇的研學基地中恰好有個相同的選法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】依題意，這兩所學校選擇的研學基地中恰好有個相同的選法有種.故選：C7.若函數(shù)存在極大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，當時，二次函數(shù)開口向上，且，此時，即f'x所以在0,+∞上單調(diào)遞增，此時不存在極大值，故不滿足題意；當時，，當或時，f'x>0，當時，f'所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故滿足題意；當時，，當時，f'x>0，當時，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故符合題意；當時，或（舍去），當時，f'x>0，當時，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故滿足題意；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)定義域為，，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，則，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.在R上單調(diào)遞減 D.當時，【答案】ABD【解析】A選項，中，令中，令得，令得，即，A正確；B選項，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項，中，令，且，故，即，當時，，故，即，故R上單調(diào)遞增，C錯誤；D選項，由A知，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD10.若正實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，由，得到，當且僅當時取等號，即，所以，得到，所以，故選A錯誤，選項B正確，又由，得到，當且僅當時取等號，即，整理得到，解得，所以選項C正確，選項D錯誤，故選：BC.11.設隨機事件，，，，則（）A.若與獨立，且，，則B.若與互斥，且，，則C.若，則與獨立D.若，則與互斥【答案】AC【解析】對于A，因為,所以若與獨立,則與也相互獨立，所以,所以,故A正確;對于B，若A與B互斥,則全體樣本空間，所以故錯誤;對于C，,因,所以,即即所以和相互獨立，所以和也相互獨立，故C正確;對于D，,因為,所以當時，,即,此時未必互斥，故D錯誤.答案為：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32，則的系數(shù)為_______.【答案】【解析】在的展開式中，令得展開式各項系數(shù)和為，又二項式系和為，各項系數(shù)和與二項式系之比為32，即，∴，在的展開式中，通項公式為令，求得，∴的系數(shù)為，故答案為：．13.甲、乙兩人進行投籃比賽，每次投籃若一方投中且另一方未投中，則投中的一方獲勝，否則本次平局.已知每次投籃甲、乙投中的概率分別為和，且每次投籃甲、乙投中與否互不影響，各次投籃也互不影響，則次投籃甲至少獲勝次的概率為_______.【答案】【解析】設甲獲勝為事件,則，則次投籃甲至少獲勝次的概率為.故答案為：.14.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】函數(shù)定義域是0,+∞，令，得，令，令，令解得，所以hx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，h1=0當時，，所以，所以，所以當時，hx>0，即，單調(diào)遞增；當時，hx<0，即，單調(diào)遞減.，當時，，，所以，要使有兩個解，則需.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某校開設了科學、人文、藝體三類校本選修課程，每類課程開設的課程門數(shù)與學分設定如下表：科學類人文類藝體類課程門數(shù)334每門課程學分321學校要求學生從這門課程中選修門，假設學生選修每門課程的機會均等.（1）記事件為“學生甲選修的門課程中有且僅有門是科學類課程”，事件為“學生甲選修的門課程的總學分為分”，試判斷與是否獨立；（2）設學生甲選修的門課程的總學分為，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由題意知，，，，因為，所以與不獨立.（2）的取值范圍是，，，，，，從而的分布列為.16.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）設全集，，.（i）求實數(shù)的值；（ii）記集合，求中元素的個數(shù).解：（1）由題意知，，解得，所以，當時，，設，則，，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得，所以.（2）（i）因為，所以，可得，因為且，可得，所以，解得.（ii）由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，而，所以由的圖象可知，有且只有兩個實數(shù)，滿足，可得或，解得或，所以方程有兩個解，即中元素的個數(shù)為.17.近年來，為響應節(jié)能減排號召，國家相關部門重點扶持新能源汽車的發(fā)展，以純電動汽車為主力的新能源汽車逐漸成為中國汽車的新名片.據(jù)統(tǒng)計，2017年至2023年全國新能源汽車保有量（百萬輛）如下：年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567保有量1.92.84.14.45.710.612.5并計算得，，.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程；（2）根據(jù)回歸直線方程，預測2028年全國新能源汽車保有量；（3）根據(jù)往年的汽車銷售數(shù)據(jù)可知今年汽車保有量的增量為百萬輛，設新能源汽車保有量的年增量的估計值與今年汽車保有量的增量的比為，用作為今年購車的客戶購買新能源汽車概率的估計值.記某汽車銷售公司今年位客戶中，恰有位購買新能源汽車的概率為，求為何值時，有最大值.附：，.解：（1）法一：由題意知，，，，可得，所以，因此所求回歸直線方程為.法二：由題意知，，，，可得，所以，因此所求回歸直線方程為.（2）在回歸直線方程中令，得，因此預測2028年全國新能源汽車保有量為百萬輛.（3）由題意知，，，，法一：由二項式系數(shù)的性質(zhì)可得當時，最大，即有最大值.法二：當時，，可得，即，當時，，可得，即，可得當時，有最大值.18.設函數(shù).（1）若直線是曲線的切線，求實數(shù)的值；（2）討論的單調(diào)性；（3）當時，記函數(shù)，若，證明：.解：（1）設切點為，，所以切線方程為，因為直線是曲線的切線，所以，即，化簡切線方程得，所以，解得，所以.（2），當時，，所以在上單調(diào)遞增，當時，令，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，解得，所以在上單調(diào)遞減，綜上可知，當時，在上單調(diào)遞增，當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（3）由題意知，，令，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得，所以在上單調(diào)遞減，因為，所以，中至少有一個大于（否則若，有，這與矛盾），不妨設，，所以，所以，令，因為，所以，即，又，所以，即，可得，所以.19.信息熵是信息論中的一個重要概念，用來刻畫一些隨機事件的不確定程度.設隨機變量所有可能的取值為，且，定義的信息熵.（1）若隨機變量的分布列如下表所示.求的值；（2）若，求的最大值及對應的，的值；（3）若，隨機變量所有可能的取值為，，試判斷與的大小關系.解：（1）因為，解得，所以.（2）由題意知，，所以，令，，令，可得，所以，解得，所以在上單調(diào)遞增，令，可得，所以，解得，所以在上單調(diào)遞減，因此當時，取得最大值，即當時，的最大值為.（3）.，因為，所以，所以，同理因為，所以，所以，所以，所以.山東省威海市2023-2024學年高二下學期期末考試數(shù)學試題注意事項：1．答卷前，考生務必將自己的姓名、考生號等填寫在答題卡指定位置上.2．回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑.如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.3．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.設全集，集合，，則（）A. B.C. D.【答案】D【解析】對于A，因為，，所以，所以，所以A錯誤，對于B，因為，所以或，因為，所以，所以B錯誤，對于C，因為，，所以，所以或x>1，所以C錯誤，對于D，因為，所以，因為，所以，所以D正確.故選：D2.已知函數(shù)的導函數(shù)為，且，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】由，可得，所以，解得.故選：B.3.若“”是“”的必要條件，則實數(shù)的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】或，“或”是的必要條件，所以，即實數(shù)的最大值為.故選：B.4.已知隨機變量，設隨機變量，則（）A. B.C. D.【答案】A【解析】對于隨機變量而言：它，注意到，所以對于隨機變量而言：它的，所以.故選：A.5.已知函數(shù)則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】,因為，所以,所以故選：C.6.甲、乙兩所學校從個研學基地中各自選擇個進行研學活動，則這兩所學校選擇的研學基地中恰好有個相同的選法共有（）A.種 B.種 C.種 D.種【答案】C【解析】依題意，這兩所學校選擇的研學基地中恰好有個相同的選法有種.故選：C7.若函數(shù)存在極大值，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】，，當時，二次函數(shù)開口向上，且，此時，即f'x所以在0,+∞上單調(diào)遞增，此時不存在極大值，故不滿足題意；當時，，當或時，f'x>0，當時，f'所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故滿足題意；當時，，當時，f'x>0，當時，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故符合題意；當時，或（舍去），當時，f'x>0，當時，f所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以在時，取極大值，故滿足題意；綜上所述，實數(shù)的取值范圍為.故選：A.8.已知函數(shù)，記，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】函數(shù)定義域為，，則函數(shù)的圖象關于直線對稱，而函數(shù)在上單調(diào)遞增，函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，于是函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，則，所以.故選：B二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.9.已知定義在R上的函數(shù)滿足，當時，，，則（）A. B.為奇函數(shù)C.在R上單調(diào)遞減 D.當時，【答案】ABD【解析】A選項，中，令中，令得，令得，即，A正確；B選項，中，令得，解得，中，令得，故為奇函數(shù)，B正確；C選項，中，令，且，故，即，當時，，故，即，故R上單調(diào)遞增，C錯誤；D選項，由A知，，又，故，又在R上單調(diào)遞增，所以，D正確.故選：ABD10.若正實數(shù)，滿足，則（）A. B.C. D.【答案】BC【解析】因為，由，得到，當且僅當時取等號，即，所以，得到，所以，故選A錯誤，選項B正確，又由，得到，當且僅當時取等號，即，整理得到，解得，所以選項C正確，選項D錯誤，故選：BC.11.設隨機事件，，，，則（）A.若與獨立，且，，則B.若與互斥，且，，則C.若，則與獨立D.若，則與互斥【答案】AC【解析】對于A，因為,所以若與獨立,則與也相互獨立，所以,所以,故A正確;對于B，若A與B互斥,則全體樣本空間，所以故錯誤;對于C，,因,所以,即即所以和相互獨立，所以和也相互獨立，故C正確;對于D，,因為,所以當時，,即,此時未必互斥，故D錯誤.答案為：AC.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.在的展開式中，各項系數(shù)和與二項式系數(shù)和之比為32，則的系數(shù)為_______.【答案】【解析】在的展開式中，令得展開式各項系數(shù)和為，又二項式系和為，各項系數(shù)和與二項式系之比為32，即，∴，在的展開式中，通項公式為令，求得，∴的系數(shù)為，故答案為：．13.甲、乙兩人進行投籃比賽，每次投籃若一方投中且另一方未投中，則投中的一方獲勝，否則本次平局.已知每次投籃甲、乙投中的概率分別為和，且每次投籃甲、乙投中與否互不影響，各次投籃也互不影響，則次投籃甲至少獲勝次的概率為_______.【答案】【解析】設甲獲勝為事件,則，則次投籃甲至少獲勝次的概率為.故答案為：.14.若函數(shù)有兩個零點，則實數(shù)的取值范圍為_______.【答案】【解析】函數(shù)定義域是0,+∞，令，得，令，令，令解得，所以hx在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，，h1=0當時，，所以，所以，所以當時，hx>0，即，單調(diào)遞增；當時，hx<0，即，單調(diào)遞減.，當時，，，所以，要使有兩個解，則需.故答案為：四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.某校開設了科學、人文、藝體三類校本選修課程，每類課程開設的課程門數(shù)與學分設定如下表：科學類人文類藝體類課程門數(shù)334每門課程學分321學校要求學生從這門課程中選修門，假設學生選修每門課程的機會均等.（1）記事件為“學生甲選修的門課程中有且僅有門是科學類課程”，事件為“學生甲選修的門課程的總學分為分”，試判斷與是否獨立；（2）設學生甲選修的門課程的總學分為，求的分布列和數(shù)學期望.解：（1）由題意知，，，，因為，所以與不獨立.（2）的取值范圍是，，，，，，從而的分布列為.16.已知集合，集合.（1）當時，求；（2）設全集，，.（i）求實數(shù)的值；（ii）記集合，求中元素的個數(shù).解：（1）由題意知，，解得，所以，當時，，設，則，，令，，則，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，可得，所以.（2）（i）因為，所以，可得，因為且，可得，所以，解得.（ii）由（1）可知在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，因為，，而，所以由的圖象可知，有且只有兩個實數(shù)，滿足，可得或，解得或，所以方程有兩個解，即中元素的個數(shù)為.17.近年來，為響應節(jié)能減排號召，國家相關部門重點扶持新能源汽車的發(fā)展，以純電動汽車為主力的新能源汽車逐漸成為中國汽車的新名片.據(jù)統(tǒng)計，2017年至2023年全國新能源汽車保有量（百萬輛）如下：年份2017201820192020202120222023年份代碼1234567保有量1.92.84.14.45.710.612.5并計算得，，.（1）根據(jù)上表數(shù)據(jù)，求出關于的回歸直線方程；（2）根據(jù)回歸直線方程，預測2028年全國新能源汽車保有量；（3）根據(jù)往年的汽車銷售數(shù)據(jù)可知今年汽車保有量的增量為百萬輛，設新能源汽車保有量的年增量的估計值與今年汽車保有量的增量的比為，用作為今年購