高級(jí)中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1湖南省婁底市漣源市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為．故選：B．2.函數(shù)與的圖象（）A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱【答案】C【解析】令，則與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：C.3.求的展開式中的系數(shù)（）A.32 B. C.24 D.【答案】B【解析】的展開式的通項(xiàng)是，依題意，，因此，的系數(shù).故選：B．4.對(duì)于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（）．A.若，滿足，且與同向，則 B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，向量之間不能比較大小，故A錯(cuò)誤；由于，故C錯(cuò)誤；則，所以，即，故B正確；所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則的值為（）0120.36A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88【答案】A【解析】由概率之和為1，得，解得，或（舍），，，．故選：A．6.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．已知，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的是（）A.變量與獨(dú)立B.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05C.變量與不獨(dú)立D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05【答案】A【解析】由于，故變量與獨(dú)立，A正確，BCD均錯(cuò)誤.故選：A7.將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則的解析式是（）A. B.C D.【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向左平移單位后，得到函數(shù)的圖象．故選：C．8.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法1：令“玩手機(jī)超過(guò)1h的學(xué)生”，“玩手機(jī)不超過(guò)1h的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥；依題意，，；由全概率公式；即；；法2：設(shè)該校有100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：學(xué)生100人玩手機(jī)時(shí)間合計(jì)超1h不超1h近視103040不近視105060合計(jì)2080100依題意有：.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)天測(cè)得該地是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：的日均值，依次為，，，，，，，，，，則（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為或 D.這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，極差為，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)從小到大依次：，，，，，，，，，，所以眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ABD10.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說(shuō)法中正確的是（）A.兩個(gè)變量，的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程相對(duì)于點(diǎn)的殘差為C.在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好D.某人解答10個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A正確；對(duì)于B，殘差=觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值=，故B正確；對(duì)于，在回歸分析中，越接近于1，模型的擬合效果越好，∴為0.98的模型比為0.89的模型擬合的更好，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，，則（）A.是偶函數(shù)B.恒成立C.的值域是D.的值域是【答案】AB【解析】A，，故是偶函數(shù)，故A正確；B，，，故B正確；C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；D，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：AB三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)相差為2的概率是______.【答案】【解析】從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，所有可能結(jié)果有、、、、、共個(gè)結(jié)果；滿足兩個(gè)數(shù)相差為2的有、共個(gè)結(jié)果；所以兩個(gè)數(shù)相差為2的概率；故答案為：13.某市高二數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例將成績(jī)從高到低劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，則等級(jí)的最低分是_________分．【答案】75【解析】設(shè)考試成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量，則，所以，因?yàn)榘凑?6%，34%，34%，16%的比例將成績(jī)從高到低劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，所以等級(jí)和等級(jí)一共占，所以等級(jí)的最低分為75分.故答案為：7514.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率為______.【答案】【解析】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，當(dāng)時(shí)，，設(shè)“次傳球后球在甲手中”，則，則．即，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以5次傳球后球在甲手中的概率為．故答案為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式；（2）原式16.三角形的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1），，，，為三角形內(nèi)角，．-（2），，由余弦定理得；，即；，所以面積的最大值為．17.某學(xué)校高二年級(jí)有400名學(xué)生，將數(shù)學(xué)和語(yǔ)文期中考試成績(jī)的數(shù)據(jù)整理如表1：表1數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀7354127不優(yōu)秀61212273合計(jì)134266400表2數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀614不優(yōu)秀626合計(jì)40（1）根據(jù)表1數(shù)據(jù)，從400名學(xué)生中隨機(jī)選擇一人做代表．①求選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀且語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率；②在選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的條件下，求選到的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率．（2）從400名學(xué)生中獲取了容量為40的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本數(shù)據(jù)整理如表2，請(qǐng)?zhí)顚懲暾?數(shù)據(jù)，并根據(jù)表2數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？（，）解：（1）記事件“選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”，記事件“選到同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀”，則與相互獨(dú)立，①，②．（2）表2整理如下：數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀8614不優(yōu)秀62026合計(jì)142640零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)表2中的數(shù)據(jù)可得：-依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，我們可以推斷不成立；即認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)，該推斷犯錯(cuò)誤概率不超過(guò)．18.如圖，在四棱錐中，底面為菱形，，，側(cè)面是正三角形，側(cè)面底面．（1）求與底面所成角的正切值；（2）求側(cè)面與底面所成二面角的大小；（3）若是上的點(diǎn)，且平面，求四面體的體積．解：（1）如圖所示：設(shè)是的中點(diǎn)，連接；又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，又因?yàn)閭?cè)面底面，平面平面；平面ABCD，是與底面所成角；-在中，．（2）因?yàn)樵诹庑沃校?，所以為等邊三角形，又為的中點(diǎn)，所以，由（1）知，，且，所以平面，又平面，則，是側(cè)面與底面所成二面角的平面角；而在中，，所以；所以側(cè)面與底面所成二面角大小為．（3）連結(jié)交于點(diǎn)，連結(jié)，因?yàn)榈酌鏋榱庑?，且平面，平面平面，所以，又因?yàn)樵谥?，為中點(diǎn)，所以為中點(diǎn)．又平面，所以故點(diǎn)到平面距離等于點(diǎn)到平面的距離，即．由（1）知，平面平面，且平面平面，平面，所以底面，因?yàn)榈冗叺倪呴L(zhǎng)為2，所以．又因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，所以點(diǎn)到底面的距離為，因?yàn)闉檫呴L(zhǎng)為2的等邊三角形，所以三棱錐的體積為：．19.如圖，設(shè)，是平面內(nèi)相交成角的兩條數(shù)軸，，分別是與軸、軸正方向同向的單位向量．若向量，則把有序?qū)崝?shù)對(duì)叫做向量在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作．在此坐標(biāo)系中，若，，，是的中點(diǎn)，與交于兩點(diǎn)．（1）求；（2）求的坐標(biāo)；（3）若過(guò)點(diǎn)的直線分別與軸、軸正方向交于、兩點(diǎn)，求的最小值．解：（1）依題意可得，，-；（2），，，，，，，所以四邊形是平行四邊形，即，，是的中點(diǎn)，，，又，，；（3）設(shè)，，則，，因三點(diǎn)共線，則設(shè)，，，，，，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．或者：由，得，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為．湖南省婁底市漣源市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期7月期末考試數(shù)學(xué)試題一、單選題：（本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知為虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)，則的虛部為（）A.1 B. C. D.【答案】B【解析】為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的虛部為．故選：B．2.函數(shù)與的圖象（）A.關(guān)于x軸對(duì)稱 B.關(guān)于y軸對(duì)稱C.關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱 D.關(guān)于直線y=x對(duì)稱【答案】C【解析】令，則與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱.故選：C.3.求的展開式中的系數(shù)（）A.32 B. C.24 D.【答案】B【解析】的展開式的通項(xiàng)是，依題意，，因此，的系數(shù).故選：B．4.對(duì)于任意兩個(gè)向量和，下列命題中正確的是（）．A.若，滿足，且與同向，則 B.C. D.【答案】B【解析】對(duì)于A，向量之間不能比較大小，故A錯(cuò)誤；由于，故C錯(cuò)誤；則，所以，即，故B正確；所以，即，故D錯(cuò)誤.故選：B.5.已知離散型隨機(jī)變量的分布列如下表所示，則的值為（）0120.36A.0.68 B.0.6 C.0.2976 D.3.88【答案】A【解析】由概率之和為1，得，解得，或（舍），，，．故選：A．6.根據(jù)分類變量與的成對(duì)樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到．已知，依據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，以下結(jié)論正確的是（）A.變量與獨(dú)立B.變量與獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05C.變量與不獨(dú)立D.變量與不獨(dú)立，這個(gè)結(jié)論犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.05【答案】A【解析】由于，故變量與獨(dú)立，A正確，BCD均錯(cuò)誤.故選：A7.將函數(shù)的圖象向左平移后得到函數(shù)的圖象，則的解析式是（）A. B.C D.【答案】C【解析】函數(shù)的圖象向左平移單位后，得到函數(shù)的圖象．故選：C．8.長(zhǎng)時(shí)間玩手機(jī)可能影響視力．據(jù)調(diào)查，某校學(xué)生大約40%的人近視，而該校大約有20%的學(xué)生每天玩手機(jī)超過(guò)1h，這些人的近視率約為50%．現(xiàn)從每天玩手機(jī)不超過(guò)1h的學(xué)生中任意調(diào)查一名學(xué)生，則他近視的概率（）A. B. C. D.【答案】B【解析】法1：令“玩手機(jī)超過(guò)1h的學(xué)生”，“玩手機(jī)不超過(guò)1h的學(xué)生”，“任意調(diào)查一人，此人近視”，則，且互斥；依題意，，；由全概率公式；即；；法2：設(shè)該校有100名學(xué)生，整理得到如下列聯(lián)表：學(xué)生100人玩手機(jī)時(shí)間合計(jì)超1h不超1h近視103040不近視105060合計(jì)2080100依題意有：.故選：B．二、多項(xiàng)選擇題：（本大題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．）9.為調(diào)研某地空氣質(zhì)量，連續(xù)天測(cè)得該地是衡量空氣質(zhì)量的重要指標(biāo)，單位：的日均值，依次為，，，，，，，，，，則（）A.這組數(shù)據(jù)的極差為 B.這組數(shù)據(jù)的眾數(shù)為C.這組數(shù)據(jù)的中位數(shù)為或 D.這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為【答案】ABD【解析】對(duì)于A，極差為，故A正確；對(duì)于B，這組數(shù)據(jù)從小到大依次：，，，，，，，，，，所以眾數(shù)為，故B正確；對(duì)于C，這組數(shù)據(jù)從小到大依次是：，，，，，，，，，，所以中位數(shù)為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，因?yàn)?，所以這組數(shù)據(jù)的第百分位數(shù)為，故D正確．故選：ABD10.下列關(guān)于概率統(tǒng)計(jì)說(shuō)法中正確的是（）A.兩個(gè)變量，的相關(guān)系數(shù)為，則越小，與之間的相關(guān)性越弱B.經(jīng)驗(yàn)回歸方程相對(duì)于點(diǎn)的殘差為C.在回歸分析中，為0.89的模型比為0.98的模型擬合得更好D.某人解答10個(gè)問(wèn)題，答對(duì)題數(shù)為，，則【答案】ABD【解析】對(duì)于A項(xiàng)，兩個(gè)變量的相關(guān)系數(shù)為，越小，與之間的相關(guān)性越弱，故A正確；對(duì)于B，殘差=觀測(cè)值減去預(yù)測(cè)值=，故B正確；對(duì)于，在回歸分析中，越接近于1，模型的擬合效果越好，∴為0.98的模型比為0.89的模型擬合的更好，故C錯(cuò)誤；對(duì)于，某人在10次答題中，答對(duì)題數(shù)為，則數(shù)學(xué)期望，故D正確．故選：ABD.11.已知函數(shù)，，則（）A.是偶函數(shù)B.恒成立C.的值域是D.的值域是【答案】AB【解析】A，，故是偶函數(shù)，故A正確；B，，，故B正確；C，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，故C錯(cuò)誤；D，，當(dāng)時(shí)，，故D錯(cuò)誤．故選：AB三、填空題：（本大題共3小題，每小題5分，共15分．）12.從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，則兩個(gè)數(shù)相差為2的概率是______.【答案】【解析】從2，3，4，5四個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，所有可能結(jié)果有、、、、、共個(gè)結(jié)果；滿足兩個(gè)數(shù)相差為2的有、共個(gè)結(jié)果；所以兩個(gè)數(shù)相差為2的概率；故答案為：13.某市高二數(shù)學(xué)統(tǒng)考，假設(shè)考試成績(jī)服從正態(tài)分布．如果按照16%，34%，34%，16%的比例將成績(jī)從高到低劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，則等級(jí)的最低分是_________分．【答案】75【解析】設(shè)考試成績(jī)?yōu)殡S機(jī)變量，則，所以，因?yàn)榘凑?6%，34%，34%，16%的比例將成績(jī)從高到低劃分為，，，四個(gè)等級(jí)，所以等級(jí)和等級(jí)一共占，所以等級(jí)的最低分為75分.故答案為：7514.甲、乙、丙三人相互做傳球訓(xùn)練，第1次由甲將球傳出，每次傳球時(shí)，傳球者都等可能的將球傳給另外兩個(gè)人中的任何一人，則5次傳球后球在甲手中的概率為______.【答案】【解析】設(shè)次傳球后球在甲手中的概率為，當(dāng)時(shí)，，設(shè)“次傳球后球在甲手中”，則，則．即，所以，，且，所以，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列，所以，所以，所以5次傳球后球在甲手中的概率為．故答案為：.四、解答題：（本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟．）15.計(jì)算下列各式的值：（1）；（2）．解：（1）原式；（2）原式16.三角形的內(nèi)角、、所對(duì)的邊分別為，，，．（1）求；（2）若，求面積的最大值．解：（1），，，，為三角形內(nèi)角，．-（2），，由余弦定理得；，即；，所以面積的最大值為．17.某學(xué)校高二年級(jí)有400名學(xué)生，將數(shù)學(xué)和語(yǔ)文期中考試成績(jī)的數(shù)據(jù)整理如表1：表1數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀7354127不優(yōu)秀61212273合計(jì)134266400表2數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀614不優(yōu)秀626合計(jì)40（1）根據(jù)表1數(shù)據(jù)，從400名學(xué)生中隨機(jī)選擇一人做代表．①求選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀且語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率；②在選到的同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的條件下，求選到的同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀的概率．（2）從400名學(xué)生中獲取了容量為40的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，樣本數(shù)據(jù)整理如表2，請(qǐng)?zhí)顚懲暾?數(shù)據(jù)，并根據(jù)表2數(shù)據(jù)，依據(jù)的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)有關(guān)聯(lián)？（，）解：（1）記事件“選到同學(xué)數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀”，記事件“選到同學(xué)語(yǔ)文成績(jī)優(yōu)秀”，則與相互獨(dú)立，①，②．（2）表2整理如下：數(shù)學(xué)成績(jī)語(yǔ)文成績(jī)合計(jì)優(yōu)秀不優(yōu)秀優(yōu)秀8614不優(yōu)秀62026合計(jì)142640零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績(jī)與語(yǔ)文成績(jī)無(wú)關(guān)聯(lián)，根據(jù)表2