高級中學(xué)名校試卷PAGEPAGE1陜西省咸陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】A【解析】由于是等差數(shù)列，故，所以.故選：A.2.某選修課有10門體育課程和7門科學(xué)課程可供選擇，甲從中選修一門課程，則甲不同的選擇情況共有（）A.17種 B.34種 C.35種 D.70種【答案】A【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理得，甲作出的不同的選擇情況共有種，故A正確.故選：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.10 D.5【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.4.下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：B5.下列說法正確的是（）A.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1B.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05D.若隨機(jī)變量，滿足，則【答案】C【解析】對于選項(xiàng)AB：若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故AB錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，根?jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可知：與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故C正確；對于選項(xiàng)D：因，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B. C.16 D.【答案】D【解析】，解得，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以.故選：D.8.若對任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則單調(diào)遞減，而在上恒成立，即在上恒成立，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布、，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）A.甲類水果的平均質(zhì)量B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)【答案】ABC【解析】由圖象可知，甲圖象關(guān)于直線對稱，乙圖象關(guān)于直線對稱，所以，故A，C正確；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因?yàn)橐覉D象的最大值為，即，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，，則（）A. B.C.異面直線與夾角的余弦值為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而，對于A，，故A正確；對于B，，，故B錯(cuò)誤；對于C，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故C正確；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（）A.a的范圍是 B.C. D.函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，由題可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以，A不正確；對于B，根據(jù)題意，為的兩個(gè)根，所以，B正確；對于C，因?yàn)?，且為的兩個(gè)根，所以由得或，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以成立，C正確；對于D，由以上分析可知的極大值為，當(dāng)趨于負(fù)無窮時(shí)，也趨于負(fù)無窮，所以存在充分小且，使得，由零點(diǎn)存定理可知，存在，使得，所以函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，則實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】-8【解析】由題意，解得.故答案為：-8.13.若直線與圓有公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值是_______.【答案】（答案不唯一）【解析】直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑，顯然點(diǎn)在圓外，直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，化簡得，解得.又，則或1或2.即的一個(gè)取值是.故答案為：（填或填也正確）14.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音階，排成一個(gè)沒有重復(fù)音階的五音音序，且商、角、徵不全相鄰，則可排成的不同音序有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】這五個(gè)音階的全排列數(shù)為，若商、角、徵全相鄰，則由捆綁法可知，共有種排法，故由間接法可知，滿足題意的排法數(shù)有種.故答案為：84.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知（，）的展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且各項(xiàng)系數(shù)之和為1.求：（1）的值；（2）的值；（3）展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：（1）僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.（2）令，則且，得.（3）由（1）（2）知，，，故二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，故，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.16.已知橢圓：的離心率為，焦距為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.解：（1）由題意得，從而可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，聯(lián)立，得，由，得，直線的斜截式方程為：.17.某植物科學(xué)研究所的最新研究表明：某種喬木類植物在沙漠中很難生存，主要原因是沙漠水土流失嚴(yán)重，土壤中的養(yǎng)料和水分相對貧瘠且該喬木類植物根系不發(fā)達(dá)．實(shí)驗(yàn)組調(diào)配出含鈣?鉀兩種促進(jìn)植物根系生長的生長液，將該種喬木類植物的幼苗放置在合適的環(huán)境下且每天加入等量的生長液進(jìn)行培養(yǎng)，并記錄前5天該喬木類幼苗的高度與天數(shù)的數(shù)據(jù)，如下表所示：（天）12345710121620（1）若該實(shí)驗(yàn)小組通過作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，試用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．（2）一般認(rèn)為當(dāng)該喬木類幼苗高度不小于時(shí)即可移栽到自然條件下進(jìn)行種植．若在不加生長液的條件下培養(yǎng)，該喬木類幼苗達(dá)到移栽標(biāo)準(zhǔn)的最短培養(yǎng)時(shí)間一般為18天，利用（1）中的回歸方程預(yù)測加了生長液后最短培養(yǎng)時(shí)間比不加生長液時(shí)縮短了多少天．參考公式：在經(jīng)驗(yàn)回歸方程中，．參考數(shù)據(jù)：．解：（1）由題意可得,,,故，故所求的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為.（2）設(shè)加了生長液后培養(yǎng)時(shí)間為天，則，解得，故，所以預(yù)測加了生長液后最短培養(yǎng)時(shí)間比不加生長液時(shí)縮短了天.18.某學(xué)校組織游戲活動(dòng)，規(guī)則是學(xué)生從盒子中有放回的摸球且每次只能摸取1個(gè)球，每次摸球結(jié)果相互獨(dú)立，盒中有1分和2分的球若干，摸到1分球的概率為，摸到2分球的概率為．（1）若學(xué)生甲摸球2次，其總得分記為，求隨機(jī)變量的分布列與期望；（2）學(xué)生甲、乙各摸5次球，最終得分若相同，則都不獲得獎(jiǎng)勵(lì)；若不同，則得分多者獲得獎(jiǎng)勵(lì)．已知甲前3次摸球得了6分，求乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率．解：（1）由題意知學(xué)生甲摸球2次總得分的取值為2，3，4，則，，，所以的分布列為：234所以．（2）記“甲最終得分為分”，；“乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)”．，．當(dāng)甲最終得9分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分，則；當(dāng)甲最終得8分時(shí)，乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)需要最終得10分或9分，則；故．即乙獲得獎(jiǎng)勵(lì)的概率為．19.已知函數(shù)，．（1）求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）討論的單調(diào)性；（3）證明：當(dāng)時(shí)，．解：（1）由題，令，，且切線斜率為，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，可化為.（2），當(dāng)，在上恒成立，故在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，令得（舍去）或；令得，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上所述：時(shí)增區(qū)間為；當(dāng)時(shí)單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.（3）由（2）知，當(dāng)時(shí)，有，所以證當(dāng)時(shí)，，即證恒成立，即證，即證，令，則，令，則，因?yàn)?，所以，所以在上單調(diào)遞增．所以，所以，所以在上單調(diào)遞減．因?yàn)?，所以，所以，即?dāng)時(shí)，．陜西省咸陽市2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末質(zhì)量檢測數(shù)學(xué)試題注意事項(xiàng)：1.本試題共4頁，滿分150分，時(shí)間120分鐘.2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上.3.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無效.4.考試結(jié)束后，監(jiān)考員將答題卡按順序收回，裝袋整理；試題不回收.第I卷（選擇題共58分）一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.在等差數(shù)列中，若，則（）A.5 B.7 C.9 D.10【答案】A【解析】由于是等差數(shù)列，故，所以.故選：A.2.某選修課有10門體育課程和7門科學(xué)課程可供選擇，甲從中選修一門課程，則甲不同的選擇情況共有（）A.17種 B.34種 C.35種 D.70種【答案】A【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理得，甲作出的不同的選擇情況共有種，故A正確.故選：A3.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則（）A.2 B. C.10 D.5【答案】C【解析】由題意可得：.故選：C.4.下列求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)不正確的是（）A. B.C. D.【答案】B【解析】A選項(xiàng)，，A正確；B選項(xiàng)，，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，，C正確；D選項(xiàng)，，D正確.故選：B5.下列說法正確的是（）A.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的值越接近于1B.若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于0C.根據(jù)分類變量與的成對樣本數(shù)據(jù)，計(jì)算得到，根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，可判斷與有關(guān)聯(lián),此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05D.若隨機(jī)變量，滿足，則【答案】C【解析】對于選項(xiàng)AB：若兩個(gè)隨機(jī)變量的線性相關(guān)性越強(qiáng)，則相關(guān)系數(shù)的絕對值越接近于1，故AB錯(cuò)誤；對于選項(xiàng)C：因?yàn)?，根?jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)可知：與有關(guān)聯(lián)，此推斷犯錯(cuò)誤的概率不超過0.05，故C正確；對于選項(xiàng)D：因，所以，故D錯(cuò)誤；故選：C.6.已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，則該雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】已知拋物線的焦點(diǎn)與雙曲線的一個(gè)焦點(diǎn)重合，所以，解得，所以雙曲線的漸近線方程為.故選：B.7.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則（）A.8 B. C.16 D.【答案】D【解析】，解得，當(dāng)時(shí)，，即，所以，所以.故選：D.8.若對任意的，，當(dāng)時(shí)，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，恒成立，即當(dāng)時(shí)，恒成立，設(shè)，則單調(diào)遞減，而在上恒成立，即在上恒成立，所以.故選：C.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯(cuò)的得0分.9.甲、乙兩類水果的質(zhì)量（單位：kg）分別服從正態(tài)分布、，其正態(tài)分布的密度曲線如圖所示，則下列說法正確的是（）A.甲類水果的平均質(zhì)量B.甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右C.甲類水果的平均質(zhì)量比乙類水果的平均質(zhì)量小D.乙類水果的質(zhì)量服從正態(tài)分布的參數(shù)【答案】ABC【解析】由圖象可知，甲圖象關(guān)于直線對稱，乙圖象關(guān)于直線對稱，所以，故A，C正確；因?yàn)榧讏D象比乙圖象更“高瘦”，所以甲類水果的質(zhì)量比乙類水果的質(zhì)量更集中于平均值左右，故B正確；因?yàn)橐覉D象的最大值為，即，所以，故D錯(cuò)誤；故選：ABC.10.如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，平面，，，則（）A. B.C.異面直線與夾角的余弦值為 D.點(diǎn)到平面的距離為【答案】ACD【解析】因?yàn)槠矫?，平面，所以，正方形中，有，所以兩兩互相垂直，所以以為坐?biāo)原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，而，從而，對于A，，故A正確；對于B，，，故B錯(cuò)誤；對于C，，所以異面直線與夾角的余弦值為，故C正確；對于D，，設(shè)平面的法向量為，則，令，解得，所以，又，所以點(diǎn)到平面的距離為，故D正確.故選：ACD.11.已知函數(shù)有兩個(gè)極值點(diǎn)，且，則（）A.a的范圍是 B.C. D.函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)【答案】BCD【解析】對于A，由題可得有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，所以，所以，A不正確；對于B，根據(jù)題意，為的兩個(gè)根，所以，B正確；對于C，因?yàn)椋覟榈膬蓚€(gè)根，所以由得或，由得，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以成立，C正確；對于D，由以上分析可知的極大值為，當(dāng)趨于負(fù)無窮時(shí)，也趨于負(fù)無窮，所以存在充分小且，使得，由零點(diǎn)存定理可知，存在，使得，所以函數(shù)至少有一個(gè)零點(diǎn)，正確；故選：BCD.第II卷（非選擇題共92分）三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分.12.若，且為直線的一個(gè)方向向量，為平面的一個(gè)法向量，則實(shí)數(shù)的值為_______.【答案】-8【解析】由題意，解得.故答案為：-8.13.若直線與圓有公共點(diǎn)，則的一個(gè)取值是_______.【答案】（答案不唯一）【解析】直線恒過定點(diǎn)，圓的圓心為，半徑，顯然點(diǎn)在圓外，直線與圓有公共點(diǎn)，則圓心到直線的距離，化簡得，解得.又，則或1或2.即的一個(gè)取值是.故答案為：（填或填也正確）14.中國古樂中的五聲音階依次為：宮、商、角、徵、羽，如果用這五個(gè)音階，排成一個(gè)沒有重復(fù)音階的五音音序，且商、角、徵不全相鄰，則可排成的不同音序有_______種.（用數(shù)字作答）【答案】84【解析】這五個(gè)音階的全排列數(shù)為，若商、角、徵全相鄰，則由捆綁法可知，共有種排法，故由間接法可知，滿足題意的排法數(shù)有種.故答案為：84.四、解答題：本題共5小題，共77分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟.15.已知（，）的展開式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，且各項(xiàng)系數(shù)之和為1.求：（1）的值；（2）的值；（3）展開式中的常數(shù)項(xiàng).解：（1）僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，.（2）令，則且，得.（3）由（1）（2）知，，，故二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)為，令，得，故，展開式中的常數(shù)項(xiàng)為.16.已知橢圓：的離心率為，焦距為4.（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若直線與橢圓相切，且直線與直線：平行，求直線的斜截式方程.解：（1）由題意得，從而可得，橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為.（2）設(shè)與直線平行的直線的方程為：，聯(lián)立，得，由，得，直線的斜截式方程為：.17.某植物科學(xué)研究所的最新研究表明：某種喬木類植物在沙漠中很難生存，主要原因是沙漠水土流失嚴(yán)重，土壤中的養(yǎng)料和水分相對貧瘠且該喬木類植物根系不發(fā)達(dá)．實(shí)驗(yàn)組調(diào)配出含鈣?鉀兩種促進(jìn)植物根系生長的生長液，將該種喬木類植物的幼苗放置在合適的環(huán)境下且每天加入等量的生長液進(jìn)行培養(yǎng)，并記錄前5天該喬木類幼苗的高度與天數(shù)的數(shù)據(jù)，如下表所示：（天）12345710121620（1）若該實(shí)驗(yàn)小組通過作散點(diǎn)圖發(fā)現(xiàn)與之間具有較強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系，試用最小二乘法求出關(guān)于的經(jīng)驗(yàn)回歸方程．（2）一般認(rèn)為當(dāng)該喬木類幼苗高度不小于時(shí)即可移栽到自然條件下進(jìn)行種植．若在