專題九計數(shù)原理9.1計數(shù)原理、排列與組合高考新風(fēng)向·創(chuàng)新考法思維引導(dǎo)回歸本質(zhì)(2024新課標(biāo)Ⅱ,14,5分,難)在下圖的4×4的方格表中選4個方格,要求每行和每列均恰有一個方格被選中,則共有種選法.在所有符合上述要求的選法中,選中方格中的4個數(shù)之和的最大值是.

創(chuàng)新點本題以4×4方格為背景進行命制,考查科學(xué)分步的邏輯思維能力,以及對實際問題進行表征分析和提煉數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng),需要用分步乘法計數(shù)原理將一個復(fù)雜問題的解決過程分解為若干“步驟”,先分析每個步驟,再組合為一個完整的過程,常用的排列組合的方法對本題不適用,學(xué)習(xí)過程中要注意掌握原理的本質(zhì).答案24;112五年高考考點1兩個計數(shù)原理1.(2023新課標(biāo)Ⅱ,3,5分,易)某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運動的情況,用比例分配的分層隨機抽樣方法作抽樣調(diào)查,擬從初中部和高中部兩層共抽取60名學(xué)生,已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生,則不同的抽樣結(jié)果共有()A.C400C.C400答案D2.(2023全國乙理,7,5分,中)甲、乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種,則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有()A.30種B.60種C.120種D.240種答案C(2023新課標(biāo)Ⅰ,13,5分,易)某學(xué)校開設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課,學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課,并且每類選修課至少選修1門,則不同的選課方案共有種(用數(shù)字作答).

答案64考點2排列與組合1.(2022新高考Ⅱ,5,5分,易)甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演,若甲不站在兩端,丙和丁相鄰,則不同的排列方式共有()A.12種B.24種C.36種D.48種答案B2.(2020新高考Ⅰ,3,5分,易)6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者,每名同學(xué)只去1個場館,甲場館安排1名,乙場館安排2名,丙場館安排3名,則不同的安排方法共有()A.120種B.90種C.60種D.30種答案C3.(2023全國甲理,9,5分,中)現(xiàn)有5名志愿者報名參加公益活動,在某一星期的星期六、星期日兩天,每天從這5人中安排2人參加公益活動,則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有()A.120種B.60種C.30種D.20種答案B4.(2021全國乙理,6,5分,中)將5名北京冬奧會志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個項目進行培訓(xùn),每名志愿者只分配到1個項目,每個項目至少分配1名志愿者,則不同的分配方案共有()A.60種B.120種C.240種D.480種答案C5.(2020課標(biāo)Ⅱ理,14,5分,易)4名同學(xué)到3個小區(qū)參加垃圾分類宣傳活動,每名同學(xué)只去1個小區(qū),每個小區(qū)至少安排1名同學(xué),則不同的安排方法共有種.

答案366.(2024上海,10,5分,中)設(shè)集合A中的元素皆為無重復(fù)數(shù)字的三位正整數(shù),且元素中任意兩者之積皆為偶數(shù),則集合中元素個數(shù)的最大值為.

答案329三年模擬基礎(chǔ)強化練1.(2025屆江蘇南京六校聯(lián)合調(diào)研,3)甲、乙、丙、丁去聽同時舉行的3個講座,每人可自由選擇聽其中一個講座,則恰好只有甲、乙兩人聽同一個講座的種數(shù)為()A.6B.12C.18D.24答案A2.(2025屆浙江名校聯(lián)考,5)將6棵高度不同的景觀樹種植在道路兩側(cè),要求每一側(cè)種植3棵,且每一側(cè)中間的景觀樹都要比兩邊的高,則不同的種植方法共有()A.20種B.40種C.80種D.160種答案C3.(2025屆廣東深圳中學(xué)調(diào)研,2)某高校要求學(xué)生除了學(xué)習(xí)第二語言英語,還要求同時進修第三語言和第四語言,其中第三語言可從A類語言:日語,韓語,越南語,柬埔寨語中任選一個,第四語言可從E類語言:法語,德語,俄語,西班牙語,意大利語中任選一個,則學(xué)生可選取的語言組合數(shù)為()A.20B.25C.30D.35答案A4.(2025屆四川成都名校聯(lián)考,7)某高中運動會設(shè)有8個項目,甲、乙兩名學(xué)生每人隨機選取3個項目,則至少選中2個相同項目的報名情況有()A.420種B.840種C.476種D.896種答案D5.(2025屆山西大同調(diào)研,5)五一小長假期間,某旅游公司為助力大同旅游事業(yè)的發(fā)展,計劃將2名金牌導(dǎo)游和5名銀牌導(dǎo)游分別派往云岡石窟、古城華嚴(yán)寺、北岳恒山三個景區(qū)承擔(dān)義務(wù)講解任務(wù),要求每個景區(qū)都要有銀牌導(dǎo)游前往,則不同的分配方法種數(shù)為()A.360B.640C.1350D.1440答案C6.(2025屆四川眉山仁壽一中月考,5)下列命題不正確的是()A.正十二邊形的對角線的條數(shù)是54B.身高各不相同的六位同學(xué),其中三位同學(xué)從左到右按照由高到矮的順序站,共有120種站法C.有5個元素的集合的子集共有32個D.6名同學(xué)被邀請參加晚會(至少一人參加),其中甲和乙兩位同學(xué)要么都去,要么都不去,共有32種情況答案D7.(多選)(2025屆廣東六校第二次聯(lián)考,9)現(xiàn)安排甲、乙、丙、丁、戊這5名同學(xué)參加志愿者服務(wù)活動,有翻譯、導(dǎo)游、禮儀、司機四項工作可以安排,且每人只安排一個工作,則下列說法正確的是()A.不同安排方案的種數(shù)為54B.若每項工作至少有1人參加,則不同安排方案的種數(shù)為CC.若司機工作不安排,其余三項工作至少有1人參加,則不同安排方案的種數(shù)為(C53D.若每項工作至少有1人參加,甲不能從事司機工作,則不同安排方案的種數(shù)為C答案BD8.(2025屆江蘇無錫玉祁高中月考,14)隨著杭州亞運會的舉辦,吉祥物“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”火遍全國.現(xiàn)有甲、乙、丙3位運動員要與“琮琮”“蓮蓮”“宸宸”站成一排拍照留念,則這3個吉祥物互不相鄰的排隊方法數(shù)為.(用數(shù)字作答)

答案144能力拔高練1.(2024安徽池州期中,5)我國數(shù)學(xué)家趙爽(約3世紀(jì)初)在為《周髀算經(jīng)》作注時驗證勾股定理的示意圖如圖,現(xiàn)在提供5種顏色給其中5個小區(qū)域涂色,規(guī)定每個區(qū)域只涂一種顏色,相鄰區(qū)域顏色不相同,則不同的涂色方案種數(shù)為()A.120B.26C.340D.420答案D2.(2025屆廣東深圳中學(xué)開學(xué)考,5)三名籃球運動員甲、乙、丙進行傳球訓(xùn)練(不能傳給自己),由丙開始傳,經(jīng)過5次傳遞后,球又被傳回給丙,則不同的傳球方式共有()A.6種B.10種C.11種D.12種答案B3.(2025屆江西上饒檢測,7)將1,2,3,4,5,6,7這七個數(shù)隨機地排成一個數(shù)列,記第i項為ai(i=1,2,…,7),若a1<a2<a3,a3>a4>a5,a5<a6<a7,則這樣的數(shù)列共有()A.70個B.71個C.80個D.81個答案B4.(2025屆河南南陽二中月考,7)用紅、黃、藍等6種顏色給如圖所示的五連圓涂色,要求相鄰兩個圓所涂顏色不能相同,且紅色至少要涂兩個圓,則不同的涂色方案種數(shù)為()A.25B.630C.605D.580答案B5.(2025屆浙江杭州十四中月考,7)現(xiàn)有三對雙胞胎共6人排成一排,則有且只有一對雙胞胎相鄰的排法種數(shù)是()A.180B.240C.288D.300答案C6.(2025屆廣東九校9月模擬,4)為了協(xié)調(diào)城鄉(xiāng)教育資源的平衡,政府決定派甲、乙、丙等六名教師去往包括希望中學(xué)在內(nèi)的三所學(xué)校支教(每所學(xué)校至少安排一名教師).受某些因素影響,甲、乙教師不被安排在同一所學(xué)校,丙教師不去往希望中學(xué),則不同的分配方法有()A.144種B.260種C.320種D.540種答案B創(chuàng)新風(fēng)向練1.(創(chuàng)新考法)(2025屆重慶開學(xué)考,14)有一個4行4列的表格,在每一個格中分別填入數(shù)字0或1,使得4行中所填數(shù)字之和恰好是1,2,3,4各一個,4列中所填數(shù)字之和恰好也是1,2,3,4各一個(如圖為其中一種填法),則符合要求的不同填法共有種.

0001001101111111答案5762.(創(chuàng)新情境)(2025屆湖南雅禮中學(xué)月考,14)小軍和小方兩人先后在裝有若干黑球的黑盒子與裝有若干白球的白盒子(黑球數(shù)少于白球數(shù))輪流取球,規(guī)定每次取球可以從某一盒子中取出任意多顆(至少取1顆),或者在兩個盒子中取出相同顆數(shù)的球(至少各取1顆),最后不能按規(guī)則取的人輸.已知兩盒中共有11個球,且兩人擲硬幣后決定由小軍先手取球.小方看了眼黑盒中的球,對小軍說:“你輸了!”若已知小方有必勝策略,則黑盒中球數(shù)為.

答案43.(多想少算)(2025屆湖南長沙長郡中學(xué)第一次調(diào)研,14)清代數(shù)學(xué)家明安圖所著《割圓密率捷法》中比西方更早提到了“卡特蘭數(shù)”(以比利時數(shù)學(xué)家歐仁·查理·卡特蘭的名字命名).有