10.3二項分布、超幾何分布及正態(tài)分布高考新風(fēng)向·回顧教材思維引導(dǎo)回歸本質(zhì)(多選)(2024新課標(biāo)Ⅰ,9,6分,中)隨著“一帶一路”國際合作的深入,某茶葉種植區(qū)多措并舉推動茶葉出口.為了解推動出口后的畝收入(單位:萬元)情況,從該種植區(qū)抽取樣本,得到推動出口后畝收入的樣本均值x=2.1,樣本方差s2=0.01,已知該種植區(qū)以往的畝收入X服從正態(tài)分布N(1.8,0.12),假設(shè)推動出口后的畝收入Y服從正態(tài)分布N(x,s2),則(若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(Z<μ+σ)≈0.8413) ()A.P(X>2)>0.2B.P(X>2)<0.5C.P(Y>2)>0.5D.P(Y>2)<0.8本題是對正態(tài)分布的考查,此類問題多利用正態(tài)分布曲線的對稱性,本題也不例外.題目給出的實際上是兩個隨機(jī)變量,它們都滿足正態(tài)分布,分析出它們對應(yīng)的μ和σ,結(jié)合題目給出的概率數(shù)據(jù),利用對稱性就可以分析出四個選項中相應(yīng)概率的范圍.答案BC五年高考考點1二項分布1.(2019課標(biāo)Ⅰ理,15,5分,中)甲、乙兩隊進(jìn)行籃球決賽,采取七場四勝制(當(dāng)一隊贏得四場勝利時,該隊獲勝,決賽結(jié)束).根據(jù)前期比賽成績,甲隊的主客場安排依次為“主主客客主客主”.設(shè)甲隊主場取勝的概率為0.6,客場取勝的概率為0.5,且各場比賽結(jié)果相互獨立,則甲隊以4∶1獲勝的概率是.

答案0.182.(2018課標(biāo)Ⅰ理,20,12分,易)某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝,每箱200件,每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗,如檢驗出不合格品,則更換為合格品.檢驗時,先從這箱產(chǎn)品中任取20件作檢驗,再根據(jù)檢驗結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品作檢驗.設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為p(0<p<1),且各件產(chǎn)品是不是不合格品相互獨立.(1)記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p),求f(p)的最大值點p0.(2)現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗了20件,結(jié)果恰有2件不合格品,以(1)中確定的p0作為p的值.已知每件產(chǎn)品的檢驗費用為2元,若有不合格品進(jìn)入用戶手中,則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費用.(i)若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗,這一箱產(chǎn)品的檢驗費用與賠償費用的和記為X,求EX;(ii)以檢驗費用與賠償費用和的期望值為決策依據(jù),是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗?解析(1)20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f(p)=C202p2(1-p)因此f'(p)=C202[2p(1-p)18-18p2(1-p)17]=2C202p(1-p)17·(1-10p).令f'(p)=0,得p=0.1,當(dāng)p∈(0,0.1)時,f'(當(dāng)p∈(0.1,1)時,f'(p)<0.所以f(p)的最大值點為p0=0.1.(2)由(1)知,p=0.1,(i)令Y表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù),依題意知Y~B(180,0.1),X=20×2+25Y,即X=40+25Y,所以EX=E(40+25Y)=40+25EY=490.(ii)如果對余下的產(chǎn)品作檢驗,則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗費為400元.由于EX>400,故應(yīng)該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗.3.(2020北京,18,14分,中)某校為舉辦甲、乙兩項不同活動,分別設(shè)計了相應(yīng)的活動方案:方案一、方案二.為了解該校學(xué)生對活動方案是否支持,對學(xué)生進(jìn)行簡單隨機(jī)抽樣,獲得數(shù)據(jù)如下表:男生女生支持不支持支持不支持方案一200人400人300人100人方案二350人250人150人250人假設(shè)所有學(xué)生對活動方案是否支持相互獨立.(1)分別估計該校男生支持方案一的概率、該校女生支持方案一的概率;(2)從該校全體男生中隨機(jī)抽取2人,全體女生中隨機(jī)抽取1人,估計這3人中恰有2人支持方案一的概率;(3)將該校學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p0.假設(shè)該校一年級有500名男生和300名女生,除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率估計值記為p1.試比較p0與p1的大小.(結(jié)論不要求證明)解析(1)設(shè)“該校男生支持方案一”為事件A,“該校女生支持方案一”為事件B.依題意知,抽取的樣本中共有男生600人,其中支持方案一的有200人,故P(A)=200600=13;故P(B)=300400(2)由(1)可知,“該校男生支持方案一”的概率估計值為13;“該校女生支持方案一”的概率估計值為3設(shè)“抽取的該校2個男生和1個女生中,支持方案一的恰有2人”為事件C,該事件包括“2個男生均支持方案一而女生不支持方案一”“2個男生中有且只有1人支持方案一且女生支持方案一”,故所求概率為P(C)=13(3)p1<p0.由樣本的頻率估計總體概率,該校學(xué)生支持方案二的概率估計值為p0=350+150600+400該校一年級男生中支持方案二的約有350350+250×500≈292人,該校一年級女生中支持方案二的約有150250+150×300≈113人,假設(shè)一年級學(xué)生中支持方案二的概率為p2,則p2=(292+113)÷(500+300)=81160則p2>p0,故可知該校除一年級外其他年級學(xué)生支持方案二的概率應(yīng)低于平均概率,即p1<p0.考點2超幾何分布1.(2022浙江,15,6分,中)現(xiàn)有7張卡片,分別寫上數(shù)字1,2,2,3,4,5,6.從這7張卡片中隨機(jī)抽取3張,記所抽取卡片上數(shù)字的最小值為ξ,則P(ξ=2)=,E(ξ)=.

答案1635;2.(2023全國甲理,19,12分,中)一項試驗旨在研究臭氧效應(yīng),試驗方案如下:選40只小白鼠,隨機(jī)地將其中20只分配到試驗組,另外20只分配到對照組,試驗組的小白鼠飼養(yǎng)在高濃度臭氧環(huán)境,對照組的小白鼠飼養(yǎng)在正常環(huán)境,一段時間后統(tǒng)計每只小白鼠體重的增加量(單位:g).(1)設(shè)X表示指定的兩只小白鼠中分配到對照組的只數(shù),求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.(2)試驗結(jié)果如下:對照組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為15.218.820.221.322.523.225.826.527.530.132.634.334.835.635.635.836.237.340.543.2試驗組的小白鼠體重的增加量從小到大排序為7.89.211.412.413.215.516.518.018.819.219.820.221.622.823.623.925.128.232.336.5(i)求40只小白鼠體重的增加量的中位數(shù)m,再分別統(tǒng)計兩樣本中小于m與不小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù),完成如下列聯(lián)表:<m≥m對照組試驗組(ii)根據(jù)(i)中的列聯(lián)表,能否有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異?附:K2=n(P(K2≥k)0.1000.0500.010k2.7063.8416.635.解析(1)依題意得,X的所有可能取值為0,1,2,則P(X=0)=C20P(X=1)=C20P(X=2)=C20∴X的分布列為X012P192019∴E(X)=0×1978+1×(2)(i)依題意可得m=23.2+23.62=23.4則對照組樣本中小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)為6,試驗組樣本中小于m的數(shù)據(jù)的個數(shù)為14,則列聯(lián)表為<m≥m對照組614試驗組146(ii)由(i)中列聯(lián)表可得K2=40×(6×6?14×14)220×20×20×20=6.4>3∴有95%的把握認(rèn)為小白鼠在高濃度臭氧環(huán)境中與在正常環(huán)境中體重的增加量有差異.考點3正態(tài)分布1.(2021新高考Ⅱ,6,5分,易)某物理量的測量結(jié)果服從正態(tài)分布N(10,σ2),則下列結(jié)論中不正確的是()A.σ越小,該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.1)內(nèi)的概率越大B.該物理量一次測量結(jié)果大于10的概率為0.5C.該物理量一次測量結(jié)果大于10.01的概率與小于9.99的概率相等D.該物理量一次測量結(jié)果落在(9.9,10.2)內(nèi)的概率與落在(10,10.3)內(nèi)的概率相等答案D2.(2022新高考Ⅱ,13,5分,易)已知隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,σ2),且P(2<X≤2.5)=0.36,則P(X>2.5)=.

答案0.143.(2017課標(biāo)Ⅰ理,19,12分,中)為了監(jiān)控某種零件的一條生產(chǎn)線的生產(chǎn)過程,檢驗員每天從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取16個零件,并測量其尺寸(單位:cm).根據(jù)長期生產(chǎn)經(jīng)驗,可以認(rèn)為這條生產(chǎn)線在正常狀態(tài)下生產(chǎn)的零件的尺寸服從正態(tài)分布N(μ,σ2).(1)假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常,記X表示一天內(nèi)抽取的16個零件中其尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件數(shù),求P(X≥1)及X的數(shù)學(xué)期望.(2)一天內(nèi)抽檢零件中,如果出現(xiàn)了尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件,就認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.(i)試說明上述監(jiān)控生產(chǎn)過程方法的合理性;(ii)下面是檢驗員在一天內(nèi)抽取的16個零件的尺寸:9.9510.129.969.9610.019.929.9810.0410.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95經(jīng)計算得x=116i=116xi=9.97,116i=116(xi?x)2=116用樣本平均數(shù)x作為μ的估計值μ^,用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s作為σ的估計值σ^,利用估計值判斷是否需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查.剔除(μ^?3σ^,μ^+3σ附:若隨機(jī)變量Z服從正態(tài)分布N(μ,σ2),則P(μ-3σ<Z<μ+3σ)=0.9974.0.997416≈0.9592,0.008≈0.09.解析(1)抽取的一個零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之內(nèi)的概率為0.9974,從而零件的尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率為0.0026,故X~B(16,0.0026).因此P(X≥1)=1-P(X=0)=1-0.997416≈0.0408.X的數(shù)學(xué)期望為EX=16×0.0026=0.0416.(2)(i)如果生產(chǎn)狀態(tài)正常,一個零件尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的概率只有0.0026,一天內(nèi)抽取的16個零件中,出現(xiàn)尺寸在(μ-3σ,μ+3σ)之外的零件的概率只有0.0408,發(fā)生的概率很小.因此一旦發(fā)生這種情況,就有理由認(rèn)為這條生產(chǎn)線在這一天的生產(chǎn)過程可能出現(xiàn)了異常情況,需對當(dāng)天的生產(chǎn)過程進(jìn)行檢查,可見上述監(jiān)控生產(chǎn)過程的方法是合理的.(ii)由x=9.97,s≈0.212,得μ的估計值為μ^=9.97,σ的估計值為σ^=0.212,由樣本數(shù)據(jù)可以看出有一個零件的尺寸在(μ^?3σ^,剔除(μ^?3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的平均數(shù)為115×(16×9.97-9.22)=10i=116xi2=16×0.2122+16×9.97剔除(μ^?3σ^,μ^+3σ^)之外的數(shù)據(jù)9.22,剩下數(shù)據(jù)的樣本方差為115×(1591.134-9.222因此σ的估計值為0.008≈0.09.三年模擬基礎(chǔ)強(qiáng)化練1.(2025屆江蘇前黃中學(xué)檢測,4)已知(1+2x)n=a0+a1x+a2x2+a3x3+…+anxn,隨機(jī)變量ξ~N(μ,σ2),其正態(tài)密度曲線如圖所示,若a1a2=E(ξ)D(ξ),則n的值為(A.5B.8C.9D.14答案A2.(2024湖南師大附中月考六,4)某群體中的每位成員使用移動支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨立,設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動支付的人數(shù),D(X)=2.4,P(X=4)<P(X=6),則p=()A.0.7B.0.6C.0.4D.0.3答案B3.(2024廣東江門二模,7)一箱蘋果共有12個蘋果,其中有n(2<n<7)個是爛果,從這箱蘋果中隨機(jī)抽取3個,恰有2個爛果的概率為3n55,則n=(A.3B.4C.5D.6答案B4.(2024河南開封第三次質(zhì)量檢測,6)在某項測驗中,假設(shè)測驗數(shù)據(jù)服從正態(tài)分布N(78,16).如果按照16%,34%,34%,16%的比例將測驗數(shù)據(jù)從大到小分為A,B,C,D四個等級,則等級為A的測驗數(shù)據(jù)的最小值可能是()(附:若X~N(μ,σ2),則P(|X-μ|≤σ)≈0.6827,P(|X-μ|≤2σ)≈0.9545)A.94B.86C.82D.78答案C5.(2025屆重慶實驗外國語學(xué)校第三次考試,16)某校機(jī)器人社團(tuán)為了解市民對歷年“數(shù)博會”科技成果的關(guān)注情況,在市內(nèi)隨機(jī)抽取了1000名市民進(jìn)行問卷調(diào)查,問卷調(diào)查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3.(1)估計抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù);(2)若本次問卷調(diào)查得分超過80分,則認(rèn)為該市民對“數(shù)博會”的關(guān)注度較高,現(xiàn)從市內(nèi)隨機(jī)抽取3名市民,記對“數(shù)博會”關(guān)注度較高的市民人數(shù)為隨機(jī)變量X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.解析(1)由問卷調(diào)查的成績ξ近似服從正態(tài)分布N(77,σ2),且P(77≤ξ≤80)=0.3,得P(ξ>80)=P(ξ≥77)-P(77≤ξ≤80)=0.5-0.3=0.2,1000×0.2=200,所以抽取市民中問卷成績在80分以上的市民人數(shù)約為200.(2)由(1)知,事件“對‘?dāng)?shù)博會’的關(guān)注度較高”的概率為P=15X的可能取值為0,1,2,3,易知X~B3,1則P(X=0)=C3P(X=1)=C3P(X=2)=C3P(X=3)=C3所以X的分布列為X0123P6448121X的數(shù)學(xué)期望為E(X)=3×15能力拔高練1.(2025屆湖北新高考協(xié)作體開學(xué)考,8)小明有一枚質(zhì)地不均勻的骰子,每次擲出后出現(xiàn)1點的概率為p(0<p<1),他擲了k次骰子,最終有6次出現(xiàn)1點,但他沒有留意自己一共擲了多少次骰子.設(shè)隨機(jī)變量X表示每擲N次骰子出現(xiàn)1點的次數(shù),現(xiàn)以使P(X=6)最大的N值估計N的取值并計算E(X).(若有多個N使P(X=6)最大,則取其中的最小N值)下列說法正確的是()A.E(X)>6B.E(X)<6C.E(X)=6D.E(X)與6的大小無法確定答案B2.(2024遼寧省三所重點中學(xué)第三次模擬,19)某自然保護(hù)區(qū)經(jīng)過幾十年的發(fā)展,某種瀕臨滅絕動物數(shù)量有大幅度增加.已知這種動物P擁有兩個亞種(分別記為A種和B種).為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目,某動物研究小組計劃在該區(qū)域中捕捉100只動物P,統(tǒng)計其中A種的數(shù)目后,將捕獲的動物全部放回,作為一次試驗結(jié)果.重復(fù)進(jìn)行這個試驗共20次,記第i次試驗中A種的數(shù)目為隨機(jī)變量Xi(i=1,2,…,20).設(shè)該區(qū)域中A種的數(shù)目為M,B種的數(shù)目為N(M,N均大于100),每一次試驗均相互獨立.(1)求X1的分布列.(2)記隨機(jī)變量X=120i=120Xi.已知E(Xi+Xj)=E(Xi)+E(Xj),D(Xi+Xj)=D(Xi)+(i)證明:E(X)=E(X1),D(X)=120D(X1(ii)該小組完成所有試驗后,得到Xi的實際取值分別為xi(i=1,2,…,20).數(shù)據(jù)xi(i=1,2,…,20)的平均值x=30,方差s2=1.采用x和s2分別代替E(X)和D(X),給出M,N的估計值.已知隨機(jī)變量X服從超幾何分布記為X~H(P,n,Q)(其中P為總數(shù),Q為某類元素的個數(shù),n為抽取的個數(shù)),則D(X)=nQP1?解析(1)依題意,X1服從超幾何分布,故X1的分布列為P(X1=k)=CMkCN100?kCM+X101…99100PCC…CC(2)(i)證明:由題可知Xi(i=1,2,…,20)均服從完全相同的超幾何分布,所以E(X1)=E(X2)=…