全國卷1數(shù)學試題及答案

一、單項選擇題（每題2分，共10題）1.已知集合\(A=\{1,2,3\}\)，\(B=\{2,3,4\}\)，則\(A\capB=\)（）A.\(\{1,2,3,4\}\)B.\(\{2,3\}\)C.\(\{1,3,4\}\)D.\(\{1,2,4\}\)2.復(fù)數(shù)\(z=\frac{1+i}{1-i}\)（\(i\)為虛數(shù)單位）的虛部為（）A.\(0\)B.\(1\)C.\(-1\)D.\(2\)3.已知向量\(\overrightarrow{a}=(1,m)\)，\(\overrightarrow=(3,-2)\)，且\((\overrightarrow{a}+\overrightarrow)\perp\overrightarrow\)，則\(m=\)（）A.\(-8\)B.\(-6\)C.\(6\)D.\(8\)4.設(shè)\(x\inR\)，則“\(x^{2}-5x\lt0\)”是“\(\vertx-1\vert\lt1\)”的（）A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件5.已知\(\tan\alpha=2\)，則\(\frac{\sin\alpha+\cos\alpha}{\sin\alpha-\cos\alpha}\)的值為（）A.\(3\)B.\(\frac{1}{3}\)C.\(2\)D.\(\frac{1}{2}\)6.函數(shù)\(f(x)=\sin(2x+\frac{\pi}{3})\)的最小正周期為（）A.\(\pi\)B.\(2\pi\)C.\(\frac{\pi}{2}\)D.\(4\pi\)7.已知\(a=\log_{2}0.2\)，\(b=2^{0.2}\)，\(c=0.2^{0.3}\)，則（）A.\(a\ltb\ltc\)B.\(a\ltc\ltb\)C.\(c\lta\ltb\)D.\(b\ltc\lta\)8.一個圓柱的底面直徑與高都等于一個球的直徑，則圓柱的體積與球體積之比為（）A.\(3:2\)B.\(2:3\)C.\(1:2\)D.\(2:1\)9.雙曲線\(\frac{x^{2}}{4}-\frac{y^{2}}{12}=1\)的漸近線方程為（）A.\(y=\pm\sqrt{3}x\)B.\(y=\pm\frac{\sqrt{3}}{3}x\)C.\(y=\pm2x\)D.\(y=\pm\frac{1}{2}x\)10.已知函數(shù)\(f(x)\)是定義在\(R\)上的奇函數(shù)，當\(x\gt0\)時，\(f(x)=x^{2}-2x\)，則\(f(-1)=\)（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(3\)D.\(-3\)二、多項選擇題（每題2分，共10題）1.下列函數(shù)中，在區(qū)間\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增的是（）A.\(y=x^{\frac{1}{2}}\)B.\(y=2^{x}\)C.\(y=\log_{0.5}x\)D.\(y=\frac{1}{x}\)2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)的前\(n\)項和為\(S_{n}\)，若\(a_{3}=5\)，\(S_{3}=9\)，則（）A.\(a_{1}=1\)B.\(d=2\)C.\(a_{5}=9\)D.\(S_{5}=25\)3.下列說法正確的是（）A.若直線\(l_{1}\)，\(l_{2}\)的斜率相等，則\(l_{1}\parallell_{2}\)B.若直線\(l_{1}\perpl_{2}\)，則它們的斜率之積為\(-1\)C.直線\(l_{1}:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}=0\)與\(l_{2}:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}=0\)垂直的充要條件是\(A_{1}A_{2}+B_{1}B_{2}=0\)D.若兩條直線的傾斜角的差的絕對值為\(0^{\circ}\)，則這兩條直線平行4.已知\(a\gt0\)，\(b\gt0\)，且\(a+b=1\)，則（）A.\(a^{2}+b^{2}\geq\frac{1}{2}\)B.\(2^{a-b}\gt\frac{1}{2}\)C.\(\log_{2}a+\log_{2}b\geq-2\)D.\(\sqrt{a}+\sqrt\leq\sqrt{2}\)5.對于函數(shù)\(y=\cosx\)，下列說法正確的是（）A.它是偶函數(shù)B.它的最小正周期是\(2\pi\)C.它在\([0,\pi]\)上單調(diào)遞減D.它的圖象關(guān)于點\((\frac{\pi}{2},0)\)對稱6.已知圓\(C:x^{2}+y^{2}-2x-4y+1=0\)，直線\(l:y=kx\)，若直線\(l\)與圓\(C\)相交于\(A\)，\(B\)兩點，且\(\vertAB\vert=2\sqrt{3}\)，則\(k\)的值為（）A.\(0\)B.\(\frac{4}{3}\)C.\(\frac{3}{4}\)D.\(1\)7.已知函數(shù)\(f(x)=\begin{cases}x+1,x\leq0\\x^{2},x\gt0\end{cases}\)，若\(f(x)=1\)，則\(x\)的值可能為（）A.\(-2\)B.\(0\)C.\(1\)D.\(-1\)8.下列曲線中離心率為\(\sqrt{2}\)的是（）A.\(\frac{x^{2}}{2}-\frac{y^{2}}{2}=1\)B.\(x^{2}-\frac{y^{2}}{3}=1\)C.\(x^{2}-y^{2}=1\)D.\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{2}=1\)9.已知\(\triangleABC\)的內(nèi)角\(A\)，\(B\)，\(C\)所對的邊分別為\(a\)，\(b\)，\(c\)，若\(a=3\)，\(b=4\)，\(\sinB=\frac{4}{5}\)，則\(\sinA\)的值可能為（）A.\(\frac{3}{5}\)B.\(\frac{4}{5}\)C.\(\frac{9}{16}\)D.\(\frac{16}{9}\)10.已知函數(shù)\(y=f(x)\)的圖象關(guān)于直線\(x=1\)對稱，且在\((1,+\infty)\)上單調(diào)遞增，則下列結(jié)論正確的是（）A.\(f(0)\ltf(\frac{1}{2})\)B.\(f(-1)\ltf(3)\)C.\(f(-2)\ltf(2)\)D.\(f(2)\ltf(4)\)三、判斷題（每題2分，共10題）1.空集是任何集合的真子集。（）2.函數(shù)\(y=\frac{1}{x}\)的定義域是\(x\neq0\)。（）3.若\(a\gtb\)，則\(ac^{2}\gtbc^{2}\)。（）4.直線\(x=1\)的斜率不存在。（）5.函數(shù)\(y=\sin^{2}x\)的最小正周期是\(\pi\)。（）6.若向量\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)平行，則\(\overrightarrow{a}\)與\(\overrightarrow\)的方向相同或相反。（）7.橢圓\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)（\(a\gtb\gt0\)）的離心率\(e=\frac{c}{a}\)，其中\(zhòng)(c^{2}=a^{2}-b^{2}\)。（）8.函數(shù)\(y=\log_{a}x\)（\(a\gt0\)且\(a\neq1\)）在\((0,+\infty)\)上單調(diào)遞增。（）9.若\(a\)，\(b\)，\(c\)成等比數(shù)列，則\(b^{2}=ac\)。（）10.空間中垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。（）四、簡答題（每題5分，共4題）1.求函數(shù)\(y=2\sin(2x-\frac{\pi}{6})\)的單調(diào)遞增區(qū)間。-答案：令\(2k\pi-\frac{\pi}{2}\leq2x-\frac{\pi}{6}\leq2k\pi+\frac{\pi}{2}\)，\(k\inZ\)，解得\(k\pi-\frac{\pi}{6}\leqx\leqk\pi+\frac{\pi}{3}\)，\(k\inZ\)，所以單調(diào)遞增區(qū)間是\([k\pi-\frac{\pi}{6},k\pi+\frac{\pi}{3}]\)，\(k\inZ\)。2.已知等差數(shù)列\(zhòng)(\{a_{n}\}\)中，\(a_{1}=1\)，\(a_{3}=5\)，求其前\(n\)項和\(S_{n}\)。-答案：先求公差\(d\)，\(a_{3}=a_{1}+2d\)，即\(5=1+2d\)，得\(d=2\)。由等差數(shù)列求和公式\(S_{n}=na_{1}+\frac{n(n-1)}{2}d\)，將\(a_{1}=1\)，\(d=2\)代入得\(S_{n}=n^{2}\)。3.求過點\((1,2)\)且與直線\(2x-y+1=0\)平行的直線方程。-答案：已知直線斜率\(k=2\)，因為所求直線與之平行，斜率也為\(2\)。由點斜式\(y-y_{0}=k(x-x_{0})\)，將點\((1,2)\)，\(k=2\)代入得\(y-2=2(x-1)\)，整理得\(2x-y=0\)。4.已知\(a\)，\(b\)為單位向量，且\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\frac{1}{2}\)，求\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert\)。-答案：\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert^{2}=(\overrightarrow{a}+\overrightarrow)^{2}=\overrightarrow{a}^{2}+2\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow+\overrightarrow^{2}\)，因為\(a\)，\(b\)是單位向量，\(\overrightarrow{a}^{2}=\overrightarrow^{2}=1\)，又\(\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow=\frac{1}{2}\)，所以\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert^{2}=1+2\times\frac{1}{2}+1=3\)，則\(\vert\overrightarrow{a}+\overrightarrow\vert=\sqrt{3}\)。五、討論題（每題5分，共4題）1.在解析幾何中，直線與圓的位置關(guān)系有哪些判斷方法？-答案：一是幾何法，通過比較圓心到直線的距離\(d\)與圓半徑\(r\)的大小，\(d\gtr\)時相離，\(d=r\)時相切，\(d\ltr\)時相交；二是代數(shù)法，聯(lián)立直線與圓的方程，消元后根據(jù)判別式\(\Delta\)判斷，\(\Delta\lt0\)相離，\(\Delta=0\)相切，\(\Delta\gt0\)相交。2.如何理解函數(shù)的單調(diào)性在實際問題中的應(yīng)用？-答案：在實際問題中，函數(shù)單調(diào)性可用于分析變量間的變化趨勢。比如成本與產(chǎn)量、利潤與銷量等關(guān)系。通過確定函數(shù)單調(diào)性，能找到最值情況，如利潤最大時的產(chǎn)量、成本最小時的生產(chǎn)規(guī)模等，幫助做出合理決策。3.請討論等差數(shù)列與等比數(shù)列在通項公式和求和公式推導(dǎo)過程中的數(shù)學思想。-答案：等差數(shù)列通項公式推導(dǎo)用累加法，體現(xiàn)歸納思想，求和公式用倒序相加法，蘊含轉(zhuǎn)化思想；等比數(shù)列通項公式推導(dǎo)用累乘法，也是歸納思想，求和公式推導(dǎo)分\(q=1\)和\(q\neq1\)討論，用錯位相減法，有分類討論和轉(zhuǎn)化思想。4.舉例說明三角函數(shù)在物理學中的應(yīng)用。-答案：在簡諧振動中，位移隨時間變化關(guān)系常用正弦或余弦函數(shù)表示。如單擺的擺動，其位移\(x=A\sin(\omegat+\va